Objective constitutive relations in elasticity and viscoelasticity

Summary The compatibility between the objectivity principle and affine constitutive equations for the elastic Cauchy and Piola-Kirchhoff stress tensors with non-zero residual stress is examined. It is found that the Cauchy stress is allowed to be only a constant tensor, proportional to the identity tensor, while the Piola-Kirchhoff stress may be a linear function on the deformation gradient thus generalizing previous results by Fosdick and Serrin. The same conclusions are arrived at also by starting from viscoelasticity. Finally, in the case of Maxwell-like materials, the solutions to the objective evolution equations are shown to be objective functionals.

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Sommario Si esamina la compatibilità tra il principio di obiettività ed equazioni costitutive affini per i tensori di stress elastici di Cauchy a Piola-Kirchhoff con stress residuo non nullo. Generalizzando risultati di Fosdick e Serrin si prova che il tensore di Cauchy può essere soltanto un tensore costante, proporzionale al tensore identità, mentre il tensore di Piola-Kirchhoff può essere una funzione lineare del gradiente di deformazione. Alle stesse conclusioni si perviene anche partendo dal funzionale della viscoelasticità. Infine si mostra che, per materiali tipo Maxwell, le soluzioni di equazioni di evoluzione obiettive sono funzionali obiettivi.

     

On periodic flow of non linear viscoelastic liquids

Summary After brief reference to energetical principles in order to find suitable constitutive equations for non-linear viscoelastic fluids, the behaviour of stress components is examined, for a simple shear motion with sinusoidal time time varying displacements of a liquid with an oscillating fading memory.

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Sommario Dopo aver richiamato brevemente un possibile procedimento per la determinazione della equazione costitutiva per liquidi viscoelastici nel caso di grandi deformazioni, si esamina il comportamento delle componenti del tensore degli sforzi nel caso di un moto periodico a filetti rettilinei e paralleli, supposto che il liquido abbia una memoria debole e oscillante nel tempo.

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Research supported by C.N.R., Gruppo nazionale per la fisica matematica.     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.

     

Breakup régimes and self-sustained pulsations in coaxial jets

We report on a new flow pattern transition observed in a coaxial jet configuration. Above a critical momentum ratio between the outer and the inner stream, it is found experimentally that the inner potential core breaks down into an unsteady recirculation bubble. The origin of the transition is explained and an expression for the critical velocity ratio is derived. The nature and the features of the pulsation of the bubble are discussed using an original evolution equation which relies on the interplay between the linear growth rate of the jet mixing layer disturbances and the recirculating flow induced delay of the non-linear saturation.

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Sommario In questo articolo si discute di un nuovo tipo di transizione di flusso osservata in una configurazione di getto coassiale. Si stabilisce sperimentalmente che il potenziale interno disgrega la parte interna del flusso in una ricircolazione instabile a bolla oltre un valore critico nel rapporto tra la corrente interna e quella esterna. Viene spiegata l'origine della transizione e viene derivata l'espressione della velocità critica. Sono discusse, inoltre, la natura e le caratteristiche della pulsazione della bolla, avendo a disposizione una equazione di evoluzione originale che evidenzia l'influenza reciproca tra la crescita lineare dei disturbi dello strato di mescolamento del getto ed il flusso ricircolante, che induce il ritardo della saturazione non-lineare.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

Decay of vortices in a visco-elastic liquid

Summary Decay of vortices in the flow of a certain class of visco-elastic liquids (incompressible second-order fluids) is investigated. It is found that in the flow of double array of vortices, the vortices decay much faster in such a liquid than in ordinary viscous liquids. For the flow in the wake of such a liquid past a two-dimensional grid, a pair of bound eddies occur behind the single elements of the grid as in the viscous case but their scale diminishes with increase in the elastic parameter.

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Sommario Si studia l'attenuazione dei vortici nel flusso di una certa classe di liquidi viscosi (fluidi incompressibili di secondo ordine).Si trova che nel flusso di una schiera di vortici, i vortici si attenuano molto più rapidamente in tali liquidi che nei liquidi viscosi ordinari. Per il flusso nella scia di un reticolo bidimensionale si formano una coppia di vortici limitati dietro i singoli elementi del reticolo come nel caso viscoso, ma la loro scala diminuisce con l'aumentare del parametro elastico.

     

Anelastic deformation as an internal parameter

Summary We consider continua for which a local configuration exists, whence the instantaneous elastic strain must be measured. Relations involving stress, strain and strain rate are indicated, which are compatible with objectivity and with the Clausius-Duhem inequality. Definitions and a theorem of Coleman and Gurtin regarding continua with internal parameters are adapted to advantage.

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Sommario Si studiano continui per i quali esiste una configurazione locale (variabile nel tempo) e a partire dalla quale va misurata istante per istante la deformazione elastica. Si specificano le relazioni permesse dalla disguaglianza di Clausius Duhem e dal principio di obbiettività e si adattano al caso alcune definizioni ed un teorema di Coleman e Gurtin sui continui con parametri interni.

     

A note on planar kineto-elasto-dynamics

Summary Dynamic analyses of flexible linkages are generally performed by considering small displacements from a predefined reference configuration. A reference mechanism is commonly defined for this purpose. The definition of a reference mechanism is subjected to some restricting conditions which are analyzed here for planar articulated linkages. A second part of this note documents a simplified form of the equations of motion for flexible planar mechanisms. The virtual displacement is approximated in the same way as accelerations, when secondary terms are neglected. A comparison between experimental findings and results of numerical integrations shows that, in the present case-study, the introduced approximation only corresponds to a light stiffening of the mathematical model.

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Sommario L'analisi dinamica di meccanismi flessibili viene generalmente eseguita nell'ipotesi di piccoli spostamenti da una configurazione di riferimento. A questo scopo si definisce comunemente un meccanismo di riferimento composto da membri rigidi. La definizione di tale meccanismo é soggetta ad alcune condizioni restrittive che vengono qui analizzate nel caso di meccanismi articolati piani. La seconda parte di questa nota illustra una forma semplificata di equazioni del moto per meccanismi piani a membri flessibili. Lo spostamento virtuale é approssimato con lo stesso criterio con il quale si approssimano le accelerazioni nel caso che si trascurino i termini secondari. Un paragone tra dati sperimentali e risultati numerici evidenzia come, nel caso in esame, le approssimazioni introdotte corrispondano solamente ad un leggero irrigidimento del modello matematico.

     

On the compatibility conditions in a curved membrane

Summary Compatibility conditions for a membrane taking on the shape of a surface with given non-constant Gaussian curvature K are deduced. The system for the unknown displacement in general coordinates is integrated, by making use of the non-holonomic basis formed by the unit vectors tangent to the lines K=const. and to the associated orthogonal trajectories. This method unifies the discussion for rotation surfaces, geodesically parallel surfaces and general surfaces. In particular it is proved that, in the case of geodesically parallel surfaces, the integrability conditions reduce to two and involve explicitly the strain and its derivatives up to the third and fifth order respectively.

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Sommario Vengono dedotte le condizioni di congruenza per una membrana tesa su una superficie a curvatura gaussiana assegnata non costante. Il procedimento utilizzato consente di integrare il sistema nello spostamento in un generico sistema di coordinate, usando la base anolonoma costituita dai versori delle linee di ugual curvatura e delle traiettorie ortogonali. Tale metodo unifica la discussione per le superficie di rotazione, le superficie geodeticamente parallele e le superficie generali. In particolare nel caso di superficie geodeticamente parallel vengono stabilite due sole condizioni di integrabilità nel tensore di deformazione, una alle derivate terze ed una alle derivate quinte.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research (C.N.R.), Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica (GNFM).     

On the equations of balance for mixtures constructed by means of classical statistical mechanics

Summary We use the techniques of an earlier paper to construct gross quantities and equations of balance for each constituent of a mixture as well as for the whole mixture. The equations of balance for mass, linear momentum and energy for the constituents are similar to those proposed by TRUESDELL, but here growth terms are absent and the peculiar stress tensor and heat flux vector have different interpretations than TRUESDELL's. We also show that the gross fields for the mixture, and the equations they satisfy, can be obtained by suitably adding their analogues for the constituents. In spite of the fact that the internal forces on the ^th constituent are described by means of a peculiar stress tensor T, we show that this theory does not give rise to the paradox considered and resolved by GURTIN, OLIVER & WILLIAMS.

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Sommario Mediante tecniche presentate in un precedente lavoro costruisco campi macroscopici ed equazioni di bilancio per ogni componente di una miscela cosi come per la miscela nel suo complesso. Le equazioni di bilancio per la massa, la quantità di moto e l'energia per i costituenti sono simili a quelle proposte da TRUESDELL, ma qui mancano i termini di sorgente, inoltre il tensore degli sforzi e il vettore flusso termico hanno interpretazioni diverse da quelle di TRUESDELL. Mostro che i campi macroscopici, e le equazioni che essi soddisfano, si ottengono sommando opportunamente gli analoghi costruiti per i componenti. Malgrado le forze interne su un componente vengano rappresentate mediante un tensore degli sforzi, mostro che questa teoria non da luogo al paradosso analizzato e risolto da GURTIN, OLIVER & WILLIAMS.

     

The Kuhn-Tucker relations as variationality testing conditions for unilaterally-constrained extremum problems

Summary To each unilaterally constrained quadratic extremum operational problem may be associated an integrability or variationality condition which follows from the corresponding Lagrangian functional. The variationality test for the admissible solution is satisfied if, and only if, the corresponding Kuhn-Tucker relations are met.If such is the case, the posed problem allows for a variational formulation with respect to the only admissible solutions.

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Sommario Si dimostra che a ciascun problema operazionale quadratico di minimo, a vincoli unilateri o bilateri, può associarsi una condizione di integrabilità derivabile dalla corrispondente lagrangiana.Il test di integrabilità della soluzione ammissibile è soddisfatta se e solo se, in condizioni di continuità e differenziabilità della lagrangiana, sono soddisfatte le condizioni di Kuhn-Tucker. Se questo è il caso, il posto problema ammette formulazione variazionale rispetto alle sole soluzioni ammissibili dell'associata formulazione programmatica primale-duale.

     

On the suppression of the vorticity in an electrically conducting fluid by means of an applied magnetic field

Summary The aim of this work is to investigate the effects of the application of a transverse magnetic on a fluid capable to support electrical current. It has been supposed that the flow could be represented by the vorticity model of Stuart.It turns out that, when a suitable magnetic parameter exceeds a peculiar value, the vorticity tends to decay in the long run; at the same time the inflexions in the velocity profiles tend to disappear, becoming smoother and smoother. Consequently the majority of the velocity gradient inclines to be transferred to the wall.Finally this work analyzes the thin boundary layer originated near the wall because of the smoothing of the velocity profiles.

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Sommario Scopo di questo lavoro è lo studio degli effetti dell'applicazione di un campo magnetico trasversale su di una corrente di fluido conduttore di elettricità che segue nel suo moto il modello di vorticità di Stuart. Si trova che, per valori sufficientemente grandi di un opportuno parametro magnetico, la vorticità tende a spegnersi nel tempo e i flessi nei profili di velocità tendono a smorzarsi, comportando un progressivo appiattimento nella forma di questi, con conseguente trasferimento a parete della maggior parte del gradiente di velocità.Viene inoltre studiato lo strato limite viscoso di limitato spessore che si forma a parete come conseguenza dell'appiattimento dei profili di velocità.

     

Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

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Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

Periodic axisymmetrical laminar flow of second-order liquids in cylindrical pipes of circular cross section

Summary After a few basic remarks, equations of unsteady slow of second-order incompressible fluids are given for the axifymmetrical case. The solution is worked out to give the expression of velocity and discharge, when the hydraulic slope represents any periodic function of time; the average energy dissipated in a period is also calculated. Particularly, when the hydraulic slope reduces to the expression a sin t+b cos t only, the dependence of pressure on r is also given, and it is recognized and emphasized that some components of the stress tensor oscillate with a frequency which is twice the frequency of motion.

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Sommario Dopo brevi richiami, si scrivono le equazioni del moto vario per un fluido incomprimibile del secondo ordine, nel caso di simmetria assiale. Viene trovata la soluzione, esprimendo la velocità e la portata, nel caso in cui la pendenza motrice sia una qualsiasi funzione periodica del tempo; si calcola anche l'energia dissipata mediamente in un periodo. Nel caso particolare in cui la pendenza motrice si riduca all'espressione a sin t+b cos t, si dà la dipendenza della pressione da r, riconoscendo e mettendo in evidenza che alcune componenti del tensore degli sforzi oscillano con frequenza doppia rispetto a quella del moto.