Geraden-Abbildungen,die den Flächeninhalt 1 von Dreiecken erhalten

Zusammenfassung und Vorwort Zu jeder Geometrie, in der Geraden definiert sind, gehört eine Geradengeometrie, in der interessante Fragestellungen auftauchen. Die klassische Frage in der Liniengeometrie Plückers lautet: Gegeben sei ein dreidimensionaler projektiver Raum. Wie lauten diejenigen bijektiven Geradenabbildungen, für die sich zwei Geraden genau dann schneiden, wenn sich deren Bilder schneiden? Eine solche Abbildung ist entweder induziert durch eine Kollineation des projektiven Raumes oder eine Dualität. W. L. Chow und H. Brauner haben in [5] und [4] diese Fragestellung verallgemeinert. W. Benz hat in [1] die klassische Frage Plückers im ⁿ fürn 3 beantwortet. J. Lester sucht in [6] diejenigen Geradenabbildungen des dreidimensionalen euklidischen Raumes, die den Abstand 1 von Geraden in beiden Richtungen erhalten.In meiner Arbeit bestimme ich diejenigen Geradenabbildungen desn-dimensionalen reellen euklidischen Raumes, die den Inhalt 1 von Dreiecken unverändert lassen (n 2). Dieser Frage hat sich auch schon Frau Lester gewidmet ([8]), aber unter der zusätzlichen, starken Voraussetzung, daß bijektiv sein soll. Ich werde zeigen, daß diese Forderung unnötig ist; der Nachweis der Surjektivität beinhaltet die eigentliche Schwierigkeit.

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Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

Three-vortex motion with zero total circulation: Addendum

Summary Beginning with general remarks on vortex systems with zero net circulation, the three-vortex problem is considered and solved explicitly in the following special cases: 1. The distance between two vortices is small compared to the distance to the third, with two subcases: the neighboring vortices (i) have the same sign, (ii) have opposite signs. 2. The impulse of the system is small compared to the product of a typical vortex strength and the biggest distance found (at any time) between vortices. Formulas and rules for the construction of the orbits in case 2 are given; they include the circular paths that are found for zero impulse.These special cases are typical for the orbits in the different regions found between the separatrices of the Hamiltonian. Transitional paths are discussed in the case where the vortex circulations have the ratio 11–2. In this case, it is shown (by inspection) that the Hamiltonian is a harmonic function.Actually, the Hamiltonian is a harmonic function whenever the sum of the three circulations is zero, as shown in an Addendum by Prof. Hassan Aref. This is an essential result for the full understanding of the problem under consideration.

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Zusammenfassung Anschliessend zu einigen allgemeinen Bemerkungen über Wirbelsysteme mit verschwindender totaler Zirkulation wird der Fall von drei Wirbeln betrachtet. Explizite Lösungen werden in den folgenden Fällen gegeben: 1. Der Abstand zwischen zwei Wirbeln ist klein im Vergleich zum Abstand vom dritten Wirbel; es gibt zwei Kategorien: die benachbarten Wirbel haben (i) gleiche oder (ii) ungleiche Vorzeichen. 2. Der ImpulsI des Systems ist klein im Vergleich zum Produkt einer typischen Wirbelstärke und dem allzeitigen grössten Abstand zwischen Wirbeln. Im Fall 2 werden Formeln und Instruktionen zur Konstruktion von Wirbelbahnen gegeben, einschliesslich der Kreisbahnen die im FallI=0 auftreten.Dies Spezialfälle sind typisch für die Bahnen in den verschiedenen (durch Separatrizen abgegrenzten) Regionen der Hamilton-Funktion. Bahnen in den Übergangsfällen werden diskutiert für Wirbelstärken die im Verhältnis 11–2 stehen. Für diese Verhältnisse findet man auch (durch Inspektion) dass die Hamilton-Funktion harmonisch ist.In Wirklichkeit sind aber alle Hamilton-Funktionen für drei Wirbel mit verschwindender totaler Zirkulation harmonisch. Dies wird von Prof. Hassan Aref im Addendum gezeigt. Dieses bemerkenswerte Ergebnis ist wesentlich für das volle Verständnis des behandelten Problemes.

     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part II: Asymptotic forms of the solutions when the minimum clearance between the spheres approaches zero

Zusammenfassung In dieser Arbeit handelt es sich um eine Analyse der asymptotischen Formen für die Lösung von Problemen der langsamen zähen Strömung, die durch die Bewegung von zwei starren sphärischen Grenzen verursacht wird, wenn diese sich entweder entlang von Axen bewegen, die senkrecht zu der Verbindungslinie ihrer Zentren liegen, oder sich um diese drehen, Es wird der Grenzfall untersucht, bei dem der den Mindestspielraum zwischen den Sphären definierende Parameter sich Null nähert. Es wird gezeigt, dass für Kugeln, die ausserhalb einander liegen, die Kräfte und die Momente, die auf jede der beiden Kugeln einwirken, singulär werden, und zwar wie log für 0, für alle Werte der Radien. Wenn eine Kugel die andere einschliesst, findet man im allgemeinen dasselbe Verhalten, aber wenn eine stationäre Kugel eine drehende einschliesst, so verschwinden die Kräfte für »0, wenn der Radius der äusseren Kugel viermal so gross als der der inneren ist. Ein entsprechendes Verhalten zeigen auch die Momente, wenn sich die innere Kugel fortbewegt.     

Über Stabilität und Isoliertheit der Lösungen des Klassischen Plateauproblems

Zusammenfassung Satz 10.10 ist das Ergebnis dieser Arbeit. Wenn wir auch hier nicht zeigen können, daß alle Minimalflächen isolierte Lösungen des ihnen zugeordneten Plateau-problems sind, so haben wir doch in der Menge allerC -Minimalflächen eineC -offene undC -dichte Teilmenge, nämlich die strikt typischen Minimalflächen gefunden, die in der Tat diese Eigenschaft haben.Um von einer Minimalflächex, die von einer regulärenC -Kurveg berandet wird, zu entscheiden, ob sie strikt typisch ist, sind zwei Dinge notwendig:Man muß den komplexen Gradienten vonx berechnen und prüfen, ob die in ihr auftretenden Funktionen die verschiedenen Bedingungen 4.7, 5.1 und 7.7 erfüllt. Außerdem muß man prüfen, ob der Raum der Jacobifelder zux bezüglichg minimale Dimension im Sinne von [1] hat. Es wäre natürlich wünschenswert, daß gezeigt wird, daß fast alle Randkurveng:g: B ³ nur Lösungen des Plateau-problems haben, die ihrerseits strikt typische Minimalflächen sind.Dieses Problem jedoch kann man in einem Zusammenhang mit dem Sardschen Theorem sehen. In einem gewissen Sinne sind die strikt typischen Minimalflächen die regulären Punkte für die Zuordnung der Minimalflächen zu ihren Randkurven. In diesem Sinne wäre dann eine Randkurveg ein regulärer Wert für diese Abbildung , wenng nur strikt typische Minimalflächen berandet. Es ist aber ein zusätzliches Problem, aus der Existenz von vielen regulären Punkten für die Abbildung auf die Existenz vieler regulärer Werte von zu schließen.     

Note on the Rayleigh problem for a visco-elastic fluid

Zusammenfassung Der Mangel an nichtstationären Lösungen für viskoelastische Strömungen hat den Autor veranlasst, das (aufRayleigh zurückgehende) Problem der plötzlich beschleunigten Platte für eine spezielle, vonOldroyd beschriebene viskoelastische Flüssigkeit zu untersuchen.Es wird eine lineare partielle Differentialgleichung erhalten, die, teilweise durch numerische Integretion, für den Bereich 0...1 der Variablen ₂/₁ gelöst wird (₂: Retardationszeit, ₁: Relaxationszeit). Einige Beispiele werden graphisch ausgewertet, und es wird das asymptotische Verhalten angegeben. Zwischen den Fällen ₂/₁=1 (Diffusionsgleichung) und ₂/₁=0 (gedämpfte Wellen) besteht ein kontinuierlicher Übergang. An einer gegebenen Stelle nimmt die Geschwindigkeit anfänglich langsamer und später rascher zu als im viskosen Fall. Dies lässt sich durch Speicherung und Abgabe von elastischer Energie erklären.     

Mathematik durch Modellierung

Zusammenfassung. Studierende des höheren Lehramtes suchen - oft erzwungen durch unsere Prüfungsordnungen - häufig ihr Heil in einführenden Veranstaltungen wie Zahlentheorie, Algebra oder Geometrie und bringen sich damit um einige der für den schulischen Unterricht wichtigsten Einsichten: Mathematik ist auf unglaublich breiter Basis anwendbar! Seit drei Jahren gibt es daher an der TU Braunschweig die Vorlesung Angewandte Mathematik, Modellierung und Informatik, in der Studierende den Blick über den Tellerrand in die Anwendungen hinein werfen sollen. Flankierende Maßnahmen in der Lehrerfortbildung und Arbeiten mit Schülern sollen den Einzug des Modellierungsaspekts in den Schulunterricht unterstützen. Die vorliegende Arbeit gibt Einblicke in die behandelten Inhalte und beschreibt gemachte Erfahrungen.Eingegangen am 22. Oktober 2003, Angenommen am 13 Januar 2004,Thomas Sonar: Meinem verehrten Lehrer Horst Tietz in Dankbarkeit gewidmet Der Autor dankt der finanziellen Unterstützung der Volkswagenstiftung durch das Projekt Perspektiven der Mathematik an der Schnittstelle zwischen Schule und Universität.Einem unbekannten Gutachter danke ich für konstruktiv-kritische Bemerkungen, die Teilen des Manuskripts sehr zugute gekommen sind.     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Zur Möbiusgeometrie über Alternativkörpern

Zusammenfassung Möbiusgeometrien (K, L) über nicht notwendig kommutativen KörpernKL – eine Definition dieser Geometrien findet man in [1] — sind Verallgemeinerungen der Geometrie der Kreise auf der Riemannschen Zahlenkugel (K=,L=). In der vorliegenden Note wollen wir, unter Verzicht auf die Assoziativität vonL, Möbiusgeometrien auch für den Fall betrachten, woK ein im Zentrum des AlternativkörpersL enthaltener Körper ist, und (in Abschnitt 2) die Gruppe der Kreisverwandtschaften von (K, L) angeben. Dabei benutzen wir, anders als in [1] und [5], nur den Doppelverhältniskalkül, den wir gleichwertig zu der von A. Schleiermacher in [6] vorgeschlagenen Verallgemeinerung für kollineare Punkte einer Moufarigebene definieren. Es ergibt sich damit ein neuer Beweis des Satzes über Kettenverwandtschaften von (K, L) auch im assoziativen Fall. Die Verwendung von Doppelverhältnissen beim Beweis — auch bei charL=2-wird insbesondere durch das in Abschnitt 2 bewiesene Lemma (2.4) (Verallgemeinerung des sog. von Staudtschen Theorems; vgl. [2], [3]) ermöglicht.     

The stability of dissipative Couette flow between rotating cylinders in the presence of an axial magnetic field

Zusammenfassung Die Stabilität der magnetohydrodynamischen Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die sich in einem axialen Magnetfeld befinden wird untersucht für beliebige Werte des Rotationsparametersm= ₂/ ₁, wobei ₂ die Winkelgeschwindigkeit des äusseren Zylinders und ₁ die Winkelgeschwindigkeit des inneren Zylinders bedeutet. Es wird angenommen, dass die Spaltbreite klein gegenüber den Krümmungsradien der Zylinder ist, dass es sich um eine schwach elektrisch-leitende Flüssigkeit handelt und dass die Zylinder nicht-leitend sind. Werte der kritischen Taylor- und Wirbelzahl für neutrale Störungen vom Taylor-Görtler-Typ werden als Funktion der Hartmann-Zahl für alle |m|1 numerische bestimmt.     

On inertial wave and flow structure at low Rossby number

Flow disturbances produced by the slow relative motion of an impermeable body in a large, rapidly rotating vessel are studied as an asymptotic theory for an inviscid, incompressible fluid at a small Rossby number (u _c /L1). The axial distance between the vessel wallsH is assumed to be so much larger than the body scaleL that the reduced height H/L is of unit order or greater. This flow admits a columnar structure near the body and an outer nonlinear structure of the inertial-wave type far above the forcing region, at distances along the rotation-axis (z=0(L/)). The inner boundary condition for the outer problem is provided by transferring the impermeable surface condition through the columnar structure; the outer solution in turn determines the vorticity and the solution of the columnar inner region.For thin obstacles or shallow ground topography (1), the outer solution is governed by an equation comparable to a linear one for inertial waves. The linear solutions obtained for steady transverse motion in an infinite domain () shows that, in this case, surface (perturbation) velocities are orthogonal to those in an irrotational (non-rotating) flow over the same ground topography. In the far field, i.e., ( z/L l) disturbances are confined mainly behind a wedge-shaped caustic front downstream of the rotation axis , wherein their amplitudes are comparable to , in general accord with Lighthill's result from group-velocity consideration. The field behind the caustic supports, however, lee waves extending far downstream with diminishing strength. Their wave lengths belong to orderLz/x, and therefore these waves should appear to be densely packed in the wedge-shaped region. The question on tilting of the Taylor column is delineated; the structure of the caustic zone and its upstream flow behavior are also analyzed.

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Zusammenfassung Die Strömung um einen Körper, der sich langsam in einem grossen, rotierenden Behälter bewegt, wird untersucht mit einer asymptotischen Theorie für eine reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit bei einer kleinen Rossby-Zahl, d.h. u _c /L1. Der axiale AbstandH zwischen den Gefässwänden wird als soviel grösser als die Körperabmessung angenommen, dass für die reduzierte Höhe =H/L 0(1) gilt. Diese Strömung erlaubt eine säulenähnliche Struktur (Taylor column) in Körpernähe und eine äussere, nichtlineare Struktur vom Wellentyp für Höhenz=0(L/) über dem Köper. Die innere Randbedingung für das äussere Problem wird erhalten, indem die Bedingung an der Wand durch die Säule verschoben wird. Die äussere Lösung bestimmt ihrerseits die Rotation und damit die Lösung im inneren, säulenartigen Bereich.Wenn Körper oder Bodenform flach sind (1), so wird die Aussenlösung durch eine Gleichung bestimmt, welche vergleichbar ist mit einer linearen Gleichung für Trägheitswellen. Lineare Lösungen werden für gleichförmige Bewegung von der Achse weg in einem unbegrenzten Bereich ) gegeben. Sie zeigen, dass die Oberflächenstromlinien orthogonal zu den Stromlinien sind, die bei rotationsfreier (nichtdrehender) Strömung über der gleichen Bodenform entstehen. Im Fernfeld ( z/L l) sind Störungen hauptsächlich auf ein keilförmiges Gebiet stromabwärts von der Rotationsachse ( ) begrenzt. In diesem Gebiet geht ihre Amplitude mit , in Uebereinstimmung mit Lighthill's Resultat, das mit der Gruppengeschwindigkeit hergeleitet wurde. Im keiförmigen Gebiet bestehen drei Familien von Lee-Wellen, welche sich mit unveränderter Stärke weit stromabwärts erstrecken. Ihre Wellenlängen gehören zur OrdnungLx/z, weshalb die Wellen im keilförmigen Bereich dicht gepackt erscheinen. Die Frage der Neigung der Taylor Säule behandelt und die Struktur des Randes vom keilförmigen Bereich wird analysiert.

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This work is dedicated to Professor Nicholas Rott on the occasion of his sixtieth birthday.     

Vierdimensionale Stabile Ebenen

Zusammenfassung Eine Stabile Ebene ist eine stetige Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmten Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der das Stabilitätsaxiom gilt: Besitzt ein Geradenpaar einen Schnittpunkt, so existiert der Durchschnitt auch für jedes genügend nah benachbarte Paar. Stabile Ebenen wurden bislang nur unter der Voraussetzung untersucht, daß der Punktraum eine Fläche ist (ebene Ebenen). Hier wird allgemeiner vorausgesetzt, daß der Punktraum lokalkompakt und von positiver Dimension ist. Es wird bewiesen, daß der Punktraum metrisierbar, lokal bogenzusammenhängend und lokal kontrahierbar ist. Das Büschel aller Geraden durch einen Punkt ist kompakt und zusammenhängend. Falls die Geraden Mannigfaltigkeiten sind, so sind die Büschel Sphären der Dimension 1, 2, 4 oder 8. Ist die Dimension der Punktmenge höchstens 4, so sind die Geraden stets Mannigfaltigkeiten. Eine stabile Ebene ist genau dann projektiv, wenn der Punktraum kompakt ist. Die Automorphismengruppe einer stabilen Ebene ist in der kompakt-offenen Topologie lokalkompakt; sie ist eine Liegruppe, falls der Punktraum R ⁴ ist.Unter der Voraussetzung, daß alle Geraden zu R ² homöomorph sind, werden folgende Aussagen bewiesen: Die Gruppe aller Kollineationen mit einem festen Zentrum wirkt frei und mit abgeschlossenen Bahnen auf dem Komplement des Zentrums; ist sie nicht kompakt, so gibt es durch das Zentrum genau eine Nichtschneidende zu jeder Geraden außerhalb. Involutorische Automorphismen sind entweder Punkt- oder Geradenspiegelungen, oder sie besitzen eine zweidimensionale Unterebene von Fixpunkten (Baer-Involutionen). An jedem Punkt und jeder Geraden gibt es höchstens eine Spiegelung. Die Dimension der Automorphismengruppe ist höchstens 12; ist sie größer als 9, so ist die Ebene affin und desarguessch. Andererseits gibt es eine nicht-affine Ebene mit 9-dimensionaler Gruppe. Fahnenhomogene Ebenen sind genau die desarguessche affine Ebene und die komplexe hyperbolische Ebene, das heißt die offene Einheitskugel der affinen Ebene mit der induzierten Struktur.     

Ein Störungssatz für abgeschlossene,lineare Operatoren

Zusammenfassung In vorliegender Note wird ein Satz von Kato [7] über die Störung eines abgeschlossenen, normal auflösbaren OperatorsT mit endlichem Null-defekt (T) durch einen streng singulären Operator verallgemeinert. Zu diesem Zweck wird für jedes 0 mit Hilfe des Kuratowskischen Nichtkompaktheitsmaßes eine KlasseC von beschränkten, linearen Operatoren eingeführt, welche sowohl die streng singulären Operatoren als auch die OperatorenS mit S enthält.Das erzielte Resultat steht in engem Zusammenhang mit den Untersuchungen von Gol'denteinn, Gohberg und Markus [5] und von Gol'denteienn und Markus [6].     

Stability of the flow behind a pressure pulse in a tube

If a long tube with a slight overpressure is suddenly opened at one end, a pressure signal moves into the tube and a flow towards the open end is generated. The stability of this flow is investigated by solving the Orr-Sommerfeld equation for quasi-steady, onedimensional velocity profiles. Amplified disturbances are found for the boundary-layer type of flow close to the open end for a Reynolds number Re=u _mR/₀>17400 whereu _m=p ₀/ ₀ a ₀ is the maximum speed attained by the outflowing gas. A comparison of the time scales and of the amplification suggests that laminar flow can exist up to Re=100000.Experiments indicate that small disturbances due to the experiment can trigger transition at much lower Reynolds numbers.

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Zusammenfassung Ein langes Rohr mit einem schwachen Überdruck wird plötzlich an einem Ende geöffnet. Dadurch entsteht eine Druckwelle, die ins Rohr hinein läuft. Zwischen Druckwelle und Rohrende strömt das Fluid gegen das Rohrende. Die Stabilität dieser Strömung wird untersucht, indem die Orr-Sommerfeld Gleichung gelöst wird für quasistationäre und eindimensionale Geschwindigkeitsprofile. Die grenzschichtähnlichen Profile nahe dem Rohrende werden zuerst instabil für eine Reynoldszahl Re=u _mR/₀>17400 Dabei istu _m=p ₀/ ₀ a ₀ die maximale Geschwindigkeit, die das ausströmende Gas ereicht. Ein Vergleich von Zeitmaßstäben und Anfachung läßt erwarten, daß laminare Strömung bis gegen Re=100000 existieren kann.Versuche zeigen, daß kleinere Fehler im Versuchsaufbau den Umschlag bei viel kleineren Reynoldszahlen auslösen können.

     

An efficient heuristic algorithm for minimum matching

We give a new heuristic algorithm for minimum matching problems and apply it to the Euclidean problem with random vertices in 2 dimensions. The algorithm is based on simulated annealing and performs in practice faster than previous heuristic algorithms yielding suboptimal solutions of the same good quality. From configurations with up toN=20.000 vertices in the unit square we estimate that the length of a minimum matching scales asymptotically asLN with (=0.3123±0.0016.

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Zusammenfassung Wir stellen einen neuen heuristischen Algorithmus für minimale Matching-Probleme vor und wenden diesen auf das euklidische Problem mit zufÄlliger Punkteverteilung in 2 Dimensionen an. Auf Simulated Annealing basierend lÄuft der Algorithmus schneller als frühere heuristische Algorithmen und erreicht dabei suboptimale Lösungen gleich guter QualitÄt. Aus Konfigurationen mit bis zuN=20.000 Punkten im Einheitsquadrat schÄtzen wir, da\ für die LÄnge des minimalen Matchings asymptotischLN mit=0.3123±0.0016 gilt.

     

Phaseplane representation of the incompressible viscous flow between non-parallel plane walls

Zusammenfassung Die ebene Strömung einer zähen Flüssigkeit zwischen nicht-parallelen ebenen Wänden wird in einer «Phasenebene» beschrieben, in der die Schubspannung als Funktion der wandparallelen Geschwindigkeitskomponenteu dargestellt ist. Es wird gezeigt, dass sich die Bewegungsgleichungen auf eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für (u) zurückführen lassen. Die singulären Punkte dieser Gleichung entsprechen dem Aussenrand der Grenzschicht. Geschwindigkeitsprofile mit Grenzschichtcharakter sind nur möglich, wenn der singuläre Punkt ein Sattelpunkt oder ein stabiler Knoten ist.     

Mathematische Programmierung in der Zementindustrie

Zusammenfassung Mit Hilfe der Methoden der Mathematischen Programmierung wird für eine Zementfabrik ein Modell gebildet, das gestattet, die optimale Größe der Klinkerhalle, Mahlanlage und Siloanlage zu berechnen. Vorgegeben ist eine jährliche Klinkerproduktion von 500 000 Tonnen; in Abhängigkeit vom saisonalen Absatzverlauf, dem Tarif für die elektrische Energie und Leistung, dem Baukostenverlauf für variable Größe der betrachteten Anlageteile, der technischen Lebensdauer dieser Anlageteile und dem langfristigen Zinssatz werden die gesuchten optimalen Größen berechnet. Der Absatzverlauf, der dieser Berechnung zugrunde liegt, wird zuerst durch eine Erweiterung der dualen Aufgabe des primären linearen Programms hergeleitet; dieser Absatzverlauf muß so gewählt werden, daß die Lösung des linearen Programms eine fat solution im Sinne der linearen Programmierung unter Unsicherheit ergibt; dies führt auf eine quadratische Programmierungsaufgabe. Abschließend werden einige numerische Resultate diskutiert.

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Summary A model for a cement factory is developed by using the methods of mathematical programming, which allows to calculate the optimum capacity of the clinker hall, grinding works and silo plant. An annual clinker output of 500 000 tons is given; the desired optimum capacities are calculated in dependence on the seasonal sales trend, electrical power rates, the trend of building costs of the variable plant capacities taken into consideration, the technical life-span of the plant and the long-term rate of interest. The sales trend taken as a basis for these calculations is first derived from an extension of the dual problem of the primary linear program. This sales trend is thus chosen that the solution of the linear program results in a fat solution in the sense of the linear programming under uncertainty. In order to find out this underlying sales trend a quadratic programming problem has to be solved. In conclusion some numerical results are discussed.

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Bezeichnungen: In den folgenden Ausführungen sind Matrizen mit großen Buchstaben bezeichnet, Zeilenvektoren mit kleinen Buchstaben mit waagrechtem Pfeil; Koeffizienten und Konstante sind durchwegs mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

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Dissertation, angenommen von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Ich möchte dem Referenten, Herrn ProfessorH. P. Künzi, hier meinen Dank aussprechen. Der Zementfabrik Holderbank AG bin ich für die großzügige Unterstützung zu Dank verpflichtet; ebenfalls möchte ich der Firma IBM danken für die Zurverfügungstellung einer IBM 7090-Rechenanlage.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

Eine Familie interpolatorischer Quadraturformeln mit ableitungsfreien Fehlerschranken

Zusammenfassung Es wird eine von einem Parameter , 01 abhängige Familie von Quadraturformeln vorgestellt, für die auf gewissen Hilberträumen analytischer Funktionen ableitungsfreie Fehlerschdranken existieren. Für =0 erhält man als Spezialfall die Gaußschen Quadraturformeln und für =1 die Wilfschen Quadraturformeln. Sämtliche Formeln haben folgende Eigenschaften: Sie sind interpolatorisch, d.h. hier, sie können durch Integration eines hermiteschen Interpolationsoperators erzeugt werden, sie haben positive Gewichte. Ihre Stützstellen liegen im Innern des Integrationsintervalles. Sie sind auch erzeugbar durch Minimierung des Fehlerkoeffizienten, und sie konvergieren für jede im Integrationsintervall stetige Funktion.

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A family of quadrature formulas having error bounds without derivatives

Summary A family of quadrature formulas depending on a parameter , 01 is presented which admits error estimates without derivatives for certain Hilbert spaces of analytic functions. For =0 the Gaussian quadrature formulas are contained as a special case, and for =1 the same is valid for the Wilfian quadrature formulas. The formulas have the following properties: They are interpolatory formulas, that means they may be generated on integration of a Hermitian interpolating operator, they have positive weights. Their nodes are inside the interval of integration, and they also may be produced by minimizing the error coefficient. They are convergent for every function which is continuous between the limits of integration.

     

Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

Inverse power law potentials in rectangular configurations

Summary Calculations based on a (distance)^– intermolecular potential (>3) enable study of the effects on adsorption of the geometry of the solid. This paper gives the closed form solution for the adsorptive potential about a homogeneous solid rectangular corner; and, through systematic superposition, closed form solutions for the following configurations also: the rectangular corner of a cavity; laminae and rectangular cracks occupying a quarter plane; semi-infinite rectangular prisms and prismatic cavities; rectangular parallelepipeds and brick-shaped cavities. These various results are developed in detail for the cases =6 and =4. The paradox that potentials for >3 seem to be obtainable more readily than Newtonian potentials (=1) is explained by the existence only for >3 of simple fundamental solutions for infinite homogeneous solid configurations.

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Zusammenfassung Berechnungen, denen ein intermolekulares Potential der Form (Abstand)^– (>3) zugrunde gelegt ist, ermöglichen eine Untersuchung von Effekten der Adsorption auf die Geometrie des Festkörpers. Die vorliegende Arbeit gibt die Lösung in geschlossener Form für das Adsorptionspotential um eine feste, homogene, rechtwinklige Ecke an. Ausserdem werden durch systematische Superposition Lösungen in geschlossener Form für die folgenden Konfigurationen angegeben: die rechtwinklige Innenecke einer Mulde; viertelunendliche, ebene Platten und rechteckige Spalten; halbunendliche, reckteckige Prismen und prismatische Mulden; Quader und quaderförmige Höhlen. Diese Ergebnisse sind ausführlich dargestellt für die Fälle =4. Das Paradoxon. dass Potentiale mit >3 scheinbar leichter zugänglich sind als das Gravitationspotential (=1), wird dadurch erklärt, dass nur für >3 einfache Grundlösungen für unendliche, homogene Festköperkonfigurationen existieren.