一样的赋值与不一样的结果

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）=f（x）＋2y（x＋y）,且f（1）=1,求f（x）的表达式．     

两类创新导数题的思考

创新类型一：隔离直线 已知函数f（x）和g（x）,若存在常数k和b,使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx＋b和g（x）≤kx＋b,则称直线l：y=kx＋b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P（x，y）到直线Ax＋By＋C=0距离为d=｜Ax＋By＋C｜/√A^2＋B^2,当P（x，y）在函数y=f（x）上时，该公式变为d=｜Ax＋Bf（x）＋C｜/√A^2＋B^2,本文通过引进函数y=f（x），借助该公式解决一些与函数相关的问题．     

偏导数与偏微分方程

我们知道，n元函数关于某个自变量的偏导数可理解为：固定其余的x－1个自变量xl1…，xi－1，xi＋1，…，xn，即令这些自变量为常数，这样几x；，…，xn）就是关于xi的一元函数，天就是f关于xi的导数。这样我们将多元函数的偏导数概念和一元函数的导数之间建立了联系，然后可用求解常微分方程的方法求解一些简单的偏微分方程。以下树中均设未知函数是充分光滑的。例1已知u（0，y）＝y，未满足方程的函数y＝u（x，y）解：由于正可理解为固定y，即令y为常数时X关于X的导数，故方程两边对X积分可得C（C，…ZC＋C式中C为积分常数。由于y为常…     

函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

简议用相关点法求轨迹方程

若动点P（x，y）的变动依赖于另一动点Q（x0，y0），而Q在某已知曲线F（x，y）=0（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点P叫做轨迹动点，主动点Q叫做点P的相关点），求出关系式{x0=f（x,y） y0=（x,y） （＊），并代入方程F（x，y）=0，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程F[f（x，y），g（x，y）]=0，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，     

y=f（a＋x）的特征确定y=f（x）的哪些性质？

函数y=f（a＋x）（a≠0，以下不特别说明都有这样的要求）是由函数y=f（x）经过简单的函数复合得来。它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系．试题常以告诉y=f（a＋x）的性质。研究y=f（x）以及y=f（x）的其它复合函数的性质的形式命制．那么y=f（a＋x）的特征决定了y=f（x）的哪些性质？对这个问题的回答是解决这类问题的关键所在．     

一道习题的互动教学及反思

已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对于任意的正实数x、y都有f（xy）=f（x）＋f（y），又当x〉1时，     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

利用导数值域求割线斜率值域的探讨

问题 已知函数f（x）=-＋x3＋ax2＋b（a,b∈R）,若函数y=f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率小于2,求a的取值范围．     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

一类函数问题的解法探讨

在高三模拟考试中,经常出现下面这类函数题目． 题目 已知函数f（x）=4x-1/x^2＋λ/x．若对任意两个不等的正数a,b,有｜f（a）-f（b）｜〉｜a—b｜恒成立．求λ的取值范围．     

改进的Tsirelson空间TM上的Wigner定理

设X和Y是赋范空间，如果映射f：X→Y满足{||f（x）+f（y）||，||f（x）-f（y）||}={||x+y||，||x-y||}（x，y∈X），则称f是一个相位等距算子.设g，f：X→Y是映射，若存在相位函数ε：X→{-1，1}，使得ε·f=g，则称g和f是相位等价的.本文将证明改进的Tsirelson空间T_M上的任意满相位等距算子均相位等价于一个线性等距算子.该结论同时也给出了改进的Tsirelson空间T_M上的Wigner型定理.     

海仑数组的探求

如果三角形的三边长为整数且面积亦为整数，则称之为海仑三角形．海仑三角形的三边长所构成的数组（a，b，c）称之为海会数组．本文对海会数组进行新的探索．假定D＞0，D不是平方数，c是非0整数．设x=u，y=V是不定方程x~2-Dy~2=c的一个解，那么就称u＋v是它的一个解．其中当u≥0，v≥0时，最小的一个叫做基本解．再设x＋y是Pell方程X~2-Dy~2=1的任意一个解，则容易验证（u十v）（X十y）（=ux＋uyD＋（ux＋ut）也是x~2-Dy~2=c的解．设三角形三边长分别为a，从一a十…，C，其中p为奇数（可正可负）．则其面积为由于这个关于C’的M次方程…     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…