怎样由f[φ(x)]求f(x)

由已知的函数关系式f[φ(x)]求f(x),进而求f〔ψ(x)〕的问题,比较抽象,不少学生感到无从入手。现介绍一些常用解法。一、定义法例1 已知f(x-1)=3x~2-8x+10,求f(x)及f(x+a)。分析 f(x-1)是以(x-1)为自变量的函数,欲求其对应关系,可拆项、添项,将已知表达式配凑成关于(x-1)的多项式。     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

D(φ(εx))=0的充分必要条件

设Dirac算子D=sum from i=0 to 7 ei(ɑ)/(ɑxi),φ(x)为定义在一非空开集Ω■R⁸上的八元数值函数.本文证明了,对一切常数ε∈O,D(φ(εx))=0的充分必要条件是φ为Ω上的Stein-Weiss解析函数.     

max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数问题三则

所谓ｍａｘ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]或ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]型函数 ,是指在ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的公共定义域的不同部分 ,取这两个 (或两个以上 )函数值最大的函数式 (或最小的函数式 )作解析式的函数 ,解这类函数有关的问题的最佳方法是数形结合 .本文例举几例说明求解策略 .例 1　已知ｆ(ｘ) =3 -ｘ,ｇ(ｘ) =( 2ｘ +5) 12 ,则ｙ =ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]的最大值为.分析　本题属于非常规性问题中的信息迁移题 ,需要同学们在掌握基本初等函数的图像与性质的基础上 ,根据新定义新信息重新构造新函数 .图 1在同一坐标系内分别画出ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图…     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

例谈max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫a+∞f(x)dx收敛与无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞之间的关系展开论述,研究在广义积分∫a+∞f(x)dx收敛的前提下,无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件.在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的问题提供更一般的方法.     

关于f[f(x)]的两个“不一定"

《中学生数学》2003年1月上期刊登的裴华明老师的“求f(x)表达式的几种方法”一文中有下面的例题及解答:“例4 已知f{f[f(x)]}=27x+13,求f(x).解因为复合函数f{f[f(x)]}不改变f(x)的次数,故可设F(x)=ax+b,…,故f(x)=3x+1.”     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

Sulle soluzioni non analitiche dell'equazione funzionalef(x 2)-[f(x)]2=kx e su quelle analitiche dell'equazionef(x α)=λ[f(x)]b

Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -) -     

f(x_1 x_2/2)与(f(x_1) f(x_2))/2比大小

自变量平均值的函数值∫(x_1 x_2)/2与对应自变量函数值的平均值f(x_1) (x_2)/2 的大小关系,视具体函数而定。以下四组值比大小,固然可用解析式完成,但观看对应图象,可做到一望而解。     

关于数论函数方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))

运用Euler函数的性质证明了:当n>1时,方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))仅有有限多组正整数解(x_1,…,x_(n-1),x_n),得到了这些解都满足max{x_1,…,x_(n-1),x_n}≤2m⁴(n-1)4(n-1)²n2n².     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

当M(x_0,y_0)在x轴上时

高中课本《平面解析几何》(甲种本)P74例3的解法欠妥。题目是:已知圆的方程x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程。教科书上的解法可简述为:设所求切线的斜率为k,根据切线垂直于过切点的半径求出k_0,从而得到所求切线方程为xx_0 yy_0=r~2。笔者认为,这种求解过程中忽视了一个特殊的情况,即M(x_0,y_0)是圆上任意一点,既然是任意的,试问,若点M(x_0,y_0)在x轴上时,能设所求切线的斜率吗? 要对一般情况进行讨论,得出一般性结论,就必须对特殊情况加以讨论,这是在解数学题中不能忽视的一个环节。因此,对例3的正确解法应分两个步骤处理: 1 若点M(x_0,y_0)不在x轴和y轴上时,可按教科书上的方法求解。     

复合函数f(φ(x))的几何作图

我们知道,利用构造反函数的方法,可以引进许多新函数,并且当已知原函数的图形时,反函数的图形也不难作出,那就是原函数关于直线y=x的对弥图形。此外,有更大量的函数是通过构造复合函数的方法引进的。自然我们也希望能够从y=f(x)及y=φ(x)的图形直接作出复合函数y=f(φ(x))的图形。下面将介绍一种利用直线y=x来作复合函数图形的方法。一、已知y=f(x)及y=φ(x)的图形,作复     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

∫f(x)dx-∫f(x)dx=0”与“∫f(x)dx=∫f(x)dx+C

在处理不定积分问题时，常常会碰到　是什么的情况，本文通过对不定积分概念本质的分析，说明：　是处理此类问题的基本思想，而不能简单地理解为     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献