Sur le problème de la correspondance par parallélisme entre les variétés réglées dansS n

Sunto In una serie di lavori anteriori propri l' A. ha studiato le ipersuperficie rigate dello S₄ e S₅ ed ha stabilito tra l'altro delle corrispondenze per parallelismo tra vari tipi di varietà rigate di tali spazi [9] – [14]. Il presente lavoro si riferisce alle varietà rigate dello S_n ed è suddiviso in due parti. Nella prima, si da una classificazione affine delle ipersuperficie rigate nello S_n, necessaria per lo studio del problema della corrispondenza per parallelismo, mentre nella seconda si determinano alcune corrispondenze per parallelismo tra le varietà rigate di questo spazio.

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Hommage à Monsieur le ProfesseurEnrico Bompiani     

Teoria di morse sul complementare d'una sottovarietà

Riassunto Si introduce la nozione di funzioni di Morse per una coppia di varietà differenziabili (X, Y) oveY è una sottovarietà chiusa inX. Si mostra che tale nozione è generica e coincide con quella di funzione stabile; inoltre si associa ad una tale funzione una equivalenza omotopica con unCW complesso. Si danno inoltre delle applicazioni.

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Resumé On introduit la notion de fonction de Morse pour un couple de varietés differentielles (X, Y), oùY est une sous varieté fermée dansX. On démontre, comme pour le cas classique, que c'est une notion générique et que c'est la même que celle de fonction stable; en plus on associe à une telle fonction une equivalence d'homotopie deX−Y avec unCW-complexe. On donne aussi des applications.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA del C.N.R.     

Sur le plongement de certaines variétés riemaniennes à deux dimensions dans l'espace euclidien à quatre dimensions

Sunto Poggiando su una rappresentazione delle trasformazioni puntuali del piano euclideo E² mediante superficie dello spazio euclideo a4 dimensioni E ₄ , il cui principio è stato esposto nella memoria[1] di questiAnnali, si studia un modo particolare d'immersione di alcune varietà riemmaniane a due dimensioni nellE ₄ . Il caso delle realizzazioni reali concrete di tali varietà, sia nell'E ₄ o nella ipersfera unitaria dell'E ₄ (nello spazio ellitico a tre dimensioni) è specialmente esaminato.

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Entrata in Redazione il 17 dicembre 1977.

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Deceduto a Marseille il 9 agosto 1978. Bozze rivedute dal Comitato di Redazione.     

Cobordism characteristic classes

Sunto. Viene generalizzata al caso di varietà PL la nota costruzione dei cicli rappresentativi delle classi caratteristiche di una varietà differenziabile come autointersezioni del fibrato tangente proiettificato. Tale generalizzazione che conduce a classi caratteristiche valide sia in coomologia che in cobordismo, si basa su una costruzione geometrica dei quadrati di Steenrod.

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Entrata in Redazione il 19 aprile 1977.

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Research made when the author was a member of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R.     

Invarianti e ipoellitticità per una classe di operatori pseudodifferenziali

Riassunto In questa nota si introduce un invariante, mediante il quale si danno condizioni sufficienti di ipoellitticità e propagazione delle singolarità per operatori pseudo-differenziali, degeneri di certi ordini ≥2 su una varietà chiusa conica involutiva di*R ^R. Si utilizzano risultati ottenuti per operatori quasi-omogenei [5], [7], [8], [9], provando che, almeno microlocalmente, gli operatori considerati sono di questo tipo.

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Summary In this paper we shall introduce a class of pseudodifferential operators for which we define an invariant and we obtain sufficient conditions for the hypoellipticity and propagation of singularities. Our approach here is to consider the operators as P.D.O. which are anisotropic (quasi-homogeneous) with respect to some weight: for the definitions and the relevant properties of quasi-homogeneous P.D.O. we refer to [5] or [7].

     

Multiple-coloured graphs and pseudocomplexes

Riassunto Nel presente lavoro si prova che ogni pseudocomplesso può essere rappresentato da un opportuno grafo con ricoprimento. La costruzione generalizza la rappresentazione di una particolare classe di pseudocomplessi per mezzo di grafi colorati sugli spigoli.

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Work performed under the auspices of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R. (National Research Council of Italy), and within the Project ?Geometria delle varietà differenziabili?, supported by M.P.I.     

A note on the genus of 3-manifolds with boundary

Summary In this paper we prove that the minimum among all regular genera of the graphs representing a 3-manifold with boundaryM ³ can always be obtained by a crystallization. As a consequence, we also prove that every 3-coloured graph representing ∂M ³ is the boundary of a 4-coloured graph which representsM ³ and whose genus equals the regular genus ofM ³.

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Riassunto In questo lavoro si prova che ogni 3-varietà con bordoM ³ ammette sempre una cristallizzazione di genere minimo. Come conseguenza, si ottiene che ogni grafo 3-colorato che rappresenta ∂M ³ è il bordo di un grafo 4-colorato che rappresentaM ³, il cui genere è uguale al genere regolare diM ³.

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Work performed under the auspices of the G.N.S.A.G.A.-C.N.R., and within the Project ?Geometria delle varietà differenziabili?, supported by M.P.I. of Italy.     

Studio sulle varietà a due dimensioni appartenenti a unS 4 euclideo

Sunto Si studiano le varietà a due dimensioni immerse in unS ₄ euclideo. Definite certe due normali principali, si esaminano le proprietà delle superficie nell'intorno di un punto, le curvature, e le sue linee più caratteristiche. Infine si dà sotto forma esplicita ed espressiva un gruppo di formule fondamentali relative all'impiego delle tre forme differenziali quadratiche atte a definire la varietà considerata.     

Real points in the fibres of dominant maps defined overR

Letf: X → Y be a dominant map between real algebraic varieties of the same dimension. The object of this paper is the study of the map which sends every pointy ∈ Y to the number of real points inf ⁻¹ (y). We give a sufficient condition ony to ensure that the above map is locally constant iny. Moreover, we consider the subset ofY where this map is no more locally constant and we give the principal properties of this set.

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Sunto Siaf: X → Y un morfismo dominante tra varietà algebriche reali della stessa dimensione. In questo articolo si studia la mappa che associa ad ogni puntoy ∈ Y il numero di punti reali inf ⁻¹ (y); in particolare si dà una condizione sufficiente suy affinchè tale mappa sia costante in un suo intorno. Inoltre, si considera il sottoinsieme diY in cui tale mappa non è più localmente costante e si danno le principali proprietà di tale insieme.

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The work was written while both the authors were members of the G.N.S.A.G.A. of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: Terza Memoria

Sunto è un ulteriore contributo alle proprietà generali di geometria sulle varietà algebriche (dopo quelli apportati dall'Autore con le Memorie del 1909 e del 1951). Qui si tratta delle proprietà delle forme differenziali esterne di1 ^a e di2 ^a specie appartenenti ad una varietà algebrica e si applicano le forme differenziali di1 ^a specie alla ricerca d'una nozione generale, che estenda alle varietà la nozione d'irregolarità d'una superficie. L'A. sbocca così in r −1 irregolarità d'una varietà ∞^r, le quali sono altrettanti invarianti assoluti per trasformazioni birazionali ed hanno stretti legami con le sottovarietà contenute nella data.     

Sulla influenza dell'effetto Hall nella propagazione di onde magnetofluidodinamiche iu un fluido incomprimibile

Sunto Si esamina l'influenza dell'effetto Hall sulla propagazione ondosa it un fluido incomprimibile descritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica nello schema del continuo. Nella parte I si studia dapprima la propagazione di onde piane di piccola ampiezza e poi quella delle onde di ampiezza finita. Nella parte II l'indagine é estesa alle onde cilindriche e nella parte III infine si discute la propagazione di onde piane e cilindriche nel caso in cui nello stato imperturbato il fluido non sia in quiete, bensì in moto uniforme. Nel lavoro si tiene conto delle azioni dissipative della viscosità e della conducibilità elettrica finita.

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Summary In this paper we discuss wave propagation in an incompressible conducting fluid considered as a continuous medium taking account of the Hall effect. In Part I we first consider the propagation of plane waves of small amplitude and secondly waves of finite amplitude. In Part II the discussion is extended to cylindrical waves and in Part III the propagation of plane and cylindrical waves is examined when in the unperturbed state the fluid is not at rest, but in a state of uniform motion. The dissipative effects of viscosity and finite electrical conductivity are taken into account in the present paper.

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A Bruno Finzi nel suo70mo compleanno.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. (Anno 1969) presso l'Istituto di Matematiche Applicate ? U. Dini ? della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.

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Entrata in Redazione il 20 ottobre 1969.     

Cohesive categories and manifolds—Errata corrige

Sunto L'articolo ?Cohesive categories and manifolds? [G2] mostra che le structture ottenibili per incollamento di ?spazi elementari?, come le varietà, i fibrati, le varietà fogliettate, possono essere definite da ?atlanti di incollamento?, e, formalmente, come categorie arricchite su opportune categorie ordinate. Qui sicorregge un errore nella dimostrazione di un teorema.

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Entrata in Redazione il 10 agosto 2000.     

Parametrized\bar \partial operator on pseudoconvex setsoperator on pseudoconvex sets

Sunto Si dimostra l'esistenza della soluzione per l'operatore di Cauchy-Riemann parametrizzato, nel caso continuo per varietà fortemente pseudoconvesse e nel caso differenziabile per varietà di Stein.

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Entrata in Redazione il 20 maggio 1975.

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Supported by C.N.R. research groups.     

Varietà parakähleriane

Sunto Vengono qui considerate varietà di tipo intermedio tra le varietà k?hleriane e le varietà quasi hermitiane (varietà parak?leriane). Esse costituiscono una classe che presenta notevoli proprietà di curvatura, dà luogo ad interessanti relazioni con alcune note classi di varietà e può venire caratterizzata utilizzando il tensore di Riemann ovvero la curvatura mista di Bompiani.

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Summary A class of almost Hermite spaces, generalising K?hler spaces is considered (parakàhler spaces) and some curvature theorems are proven. This class appears to be in connection with known classes of spaces and can be characterized by means of Riemann tensor as well of the bi-sectional curvature.

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Entrata in Redazione il 6 novembre 1972.

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Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale Strutture Algebriche, Geometriche e loro Applicazioni. La maggior parte dei risultati è stata annunciata in una riunione di Gruppo a Milano (marzo 1971) ed in una conferenza tenuta all'Istituto Matematico Università Perugia (aprile 1971).     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Sopra un problema di Intrecciatura

Riassunto Questa nota, dopo aver ricostruito certi omorfismi della letteratura che generalizzano un numero di intrecciatura classico, si occupa della questione come si possono definire costanti topologiche considerando trasformazionif di una varietàA in una varietàB e le intrecciature algebriche delle componenti dif ⁻¹ (b) doveb è un punto diB.

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Résumé Notre note, après avoir reconstruit certains homomorphismes de la littérature qui généralisent un nombre classique d'entrelacement, s'occupe de la question comment on peut définir des constantes topologiques en considérant des transformationsf d'une variétéA en une variétéB et les entrelacements algébriques des composantes connexes def ⁻¹ (b) oùb est un point deB.

     

The axiom of spheres in quaternionic geometry

Summary We show that a quaternion manifold satisfying the axiom of quaternionic spheres is a quaternion space-form.

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Riassunto Si mostra che una varietà quaternionica che verifica l'assioma delle sfere quaternioniche è una forma spaziale quaternionica.

     

Operatori ellittici estremanti

Sunto Si provano alcune proprietà generali degli operatori ellittici estremanti. Mediante particolari soluzioni delle equazioni estremanti si esaminano le singolarità isolate delle soluzioni di equazioni ellittiche delII ordine e si stabiliscono alcune limitazioni.

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Summary Some general properties of the maximizing elliptic operators are established. Particular solutions of the maximizing equation are used to get information about bounds and isolated singularities of solutions of second order elliptic equations.

     

On the global sections of a vector bundle over a projective variety

Here we study a few general formal properties related to the dimensions of the spaces of global sections of subsheaves of a vector bundle.

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Sunto SiaE un fibrato vettoriale algebrico su una varietà proiettiva. In questo lavoro studiamo alcune nozioni correlate alle dimensioni degli spazi di sezioni globali dei sottofasci diE.

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The author was partially supported by MURST and GNSAGA of CNR (Italy).