Helical modes of instability in swirling flow between concentric cylinders

Zusammenfassung Die Stabilität einer reibungsfreien und schraubenartigen Strömung zwischen zwei konzentrischen Zylindern wird untersucht. Schranken für die Anfachungsgrösse und Fortpflanzungsgeschwindigkeit von nicht-rotationssymmetrischen Störungen sind abgeleitet und genaue Werte dieser Grössen für die Spezialfälle von Couette-Strömung zwischen einem ruhenden äusseren und einem drehenden inneren Zylinder mit zusätzlicher Axial-Geschwindigkeitskomponente, die lienare oder parabolische Funktionen der Radialrichtung sind, werden erhalten. Es ergibt sich, dass der Zusatz einer linear abhängenden axialen Geschwindigkeit destabilisierend wirkt, weil der Zusatz einer parabolischen Komponente stabilisierend ist. Die Maximalanfachungsgrössen befinden sich bei schraubenförmigen Störungen mit endlicher Steigung.     

Instability and the energy criterion for continuous systems

Zusammenfassung Die Autoren betrachten Gleichgewichtszustände einer allgemeinen Klasse von kontinuierlichen Systemen unter dem Einfluss konservativer nichtgyroskopischer Kräfte. Sie zeigen dass — in Übereinstimmung mit dem Energiekriterium — Instabilität eintritt, wenn die potentielle Energie aufhört, positiv definit zu sein. Es werden auch in den Geschwindigkeiten lineare dissipative Kräfte betrachtet. Als Beispiel dienen der elastische Stab unter Axialdruck und ein endlich deformierter elastischer Körper unter konstanter Belastung.     

On numerical integration of perturbed linear oscillating systems

Zusammenfassung Es wird ein Schrittverfahren zur numerischen Integration von gestörten linearen Differentialgleichungssystemen aufgestellt. Die Grundlage dazu bildet die Definition einer Folge von ganzen Funktionen, die keine Polynome sind, aber eine einfache Potenzreihendarstellung besitzen. Im Gegensatz zu den üblichen Potenzreihenverfahren, wird nicht nach Potenzen der unabhängigen Variabeln, sondern nach diesen Funktionen entwickelt. Das Integrationsverfahren hat die Eigenschaft, dass die ungestörten Differentialgleichungen ohne Diskretisationsfehler integriert werden, und dass die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix nicht berechnet werden müssen. Die Verbesserung gegenüber der gewöhnlichen Potenzreihenmethode wird durch asymptotische Formeln für die Residuen und durch numerische Beispiele belegt.Nach einer Einleitung über Ziel und Zweck der Arbeit wird die Methode anhand eine: gestörten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert. Anschliessend wird das Integrationsverfahren auf beliebige gestörte lineare Systeme verallgemeinert.     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

A note on the stability of generalized Couette flow

Zusammenfassung Die Stabilität der laminaren Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die durch Rotation des inneren Zylinders und Wirkung eines konstanten Druckgradienten in Umfangsrichtung erzeugt wird, wird untersucht mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, welches nur die bekannten Stabilitätskriterien für Couette-Strömung zwischen zwei gegenrotierenden Zylindern und Poiseuille-Strömung in einem gekrümmten Kanal benutzt. Es ergibt sich dass solch eine Methode kritische Werte für das Auftreten der Instabilität liefert, die in guter Übereinstimmung mit denen vonDi Prima [2] sind und dass die Methode eine zufriedenstellende Erklärung für die ziemlich unerwartete Abhängigkeit des Taylor-Görtler-Parameters und der kritischen Wellenzahl von der Grösse des azimutalen Druckgradienten gibt.     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

Servo-stabilization of low-frequency oscillations in liquid propellant rocket motors

Zusammenfassung Die Theorie der kleinen Frequenz-Instabilität von Raketenmotoren mit flüssigen Treibmitteln wird überarbeitet, wobei im besonderen die Methode der Satche-Diagramme erörtert wird, welche durchH. S. Tsien für Stabilitätsrechnungen linearer Systeme mit zeitlicher Verzögerung eingeführt worden sind. Das Prinzip der Stabilisierung durch Benutzung einer Gegenkopplungsschleife wird besprochen, und es wird gezeigt, dass schon eine sehr einfache Lösung des Gegenkopplungskreises die Stabilität von flüssigen Einzel- und Doppeltreibmitteln in Raketenmotoren versichern kann, unabhängig von der Grösse der Zeitverzögerung. Auf Grund des beschriebenen speziellen analytischen Beispiels wird gefolgert, dass solche Stabilisierungsmassnahmen für eine viel grössere Klasse von Instabilitäten in Raketenmotoren als die betrachtete empirisch verwirklicht werden können.     

Influence of the mass distribution on the stability behaviour of certain nonconservative systems of rods

This paper investigates the influence of the mass distribution on the stability behaviour of pinned-pinned and clamped-clamped rods, subjected to a nonconservative, constant distribution of follower forces. It shows that divergence buckling loads do always exist, are independent of the particular mass distribution and determine the stability behaviour for positive loads. For negative follower forces however, the systems are either stable or show instability due to flutter. Both cases can be obtained by a suitable choice of the mass distribution. Furthermore, the paper gives bounds for the divergence buckling loads and the flutter loads.

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Zusammenfassung Die Autoren untersuchen den Einfluss der Massenverteilung auf das Stabilitätsverhalten von beidseitig gelenkig gelagerten und beidseitig eingespannten elastischen Stäben, die einer gleichmässig verteilten, nichtkonservativen, mitgehenden Last unterworfen sind. Es zeigt sich, dass in allen Fällen Knicklasten vorhanden sind, die sich durch Divergenz ergeben, die von der besonderen Massenverteilung unabhängig sind und die im Bereich positiver Lasten für das Stabilitätsverhalten massgeblich sind. Für negative mitgehende Lasten sind die Systeme jedoch entweder stabil oder sie werden durch Flattern instabil. Beide diese Fälle können durch eine geeignete Wahl der Massenverteilung verwirklicht werden. Schliesslich enthält die Arbeit Schranken für die Divergenz-Knicklasten und für die Lasten, die zum Flattern führen.

     

A criterion for the stability of heterogeneous swirling flows

Zusammenfassung Ein hinreichendes Stabilitätskriterium für reibungsfreie, schraubenförmige Strömungen, mit radialabhängiger Dichte, zwischen zwei koaxialen Zylindern wird abgeleitet. Es zeigt sich, dass solche Strömungen gegen willkürliche, kleine Störungen stabil sind, wenn die Zirkulation und die Dichte monoton zunehmende Funktionen der Radialrichtung sind, aber gleichzeitig die Radialableitungen der Geschwindigkeitskomponente klein bleiben.     

Axisymmetric and asymmetric instabilities in elastic solid cylinders under finite axial strain

Zusammenfassung Das Vorkommen von rotationssymmetrischen und asymmetrischen Instabilitäten in elastischen Kreiszylindern unter grossen axialen Drucklasten ist bekannt. Es wird angenommen, dass das Material isotrop und inkompressibel ist und dass die dazugehörige Formänderungsenergiefunktion von der Mooneyschen Form ist. Der Übergang von asymmetrischem Knicken dünner Stäbe zu rotationssymmetrischem Beulen am Umfang von Scheiben ist klar ersichtlich. Die asymptotische Form der Lösung mit wachsendem Radius/Höhe-Verhältnis führt zu einem kritischen Ausdehnungsverhältnis, das mit Ergebnissen früherer Arbeiten übereinstimmt, die Beulen an Scheibenrändern untersuchen. Wo jedoch vorherige Arbeiten nur spezielle Arten von Mooney-Material in Betracht zogen, wird hier gezeigt, dass der kritische Wert für alle möglichen Mooney-Materialien gilt. Zum Schluss wird für den asymptotischen Fall nachgewiesen, dass die Instabilitäten auf Zonen nahe der freien Oberfläche beschränkt sind.     

On thermomechanics of elastic stability

Zusammenfassung Es wird die Thermomechanik des Stabilitätsphenomens elastischer Körper unter äusseren Belastungen betrachtet, welche auf beliebige Weise von der Deformation und der Bewegung benachbarter Materialbereiche, an denen sie angreifen, abhängen können; diese Kräfte werden bewegungsabhängige Belastungen genannt. Eine allgemeine Ungleichung, welche für alle Materialien unter bewegungsabhängigen Belastungen gilt, wird mittels der Erhaltungssätze und der Entropiebilanz hergeleitet; diese Ungleichung wird auf elastische Körper, welche jedoch noch Energie auf allgemeine Weise dissipieren können, spezialisiert. Mittels einer Energienorm werden hinreichende Bedingungen für die örtliche Stabilität endlich deformierter Gleichgewichtskonfigurationen solcher Körper und gewisse notwendige Bedingungen hergeleitet. Schliesslich wird das allgemeine (nicht notwendig lokale) Problem der Stabilität eines Gleichgewichtszustandes kurz untersucht und gewisse in diesem Zusammenhang notwendige und hinreichende Bedingungen werden diskutiert.

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Dedicated to Professor Ziegler on his sixtieth birthday

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This research was supported by the National Science Foundation under Grant GK-10161.     

Magnetic diffusion and the scaling laws for solar wind simulation

Zusammenfassung Es werden Theorien über die Position und die Dicke der Grenze zwischen dem Magnetfeld der Erde und dem Sonnenwindplasma diskutiert. Die Eigenschaften eines im Laboratorium erzeugten Plasmas werden angegeben, welche diese Zusammenwirkung simulieren kann. Es wird ein Experiment beschrieben, welches die korrekten Modellgesetze erfüllt, und die Störung des Magnetfeldes im Modell wird gezeigt. Es wurde gefunden, dass die Eigenschaften des Grenzgebietes mit den theoretischen Voraussagen nicht übereinstimmen. Der Unterschied kann aber durch die Diffusion des Magnetfeldes in den Plasmastrom erklärt werden, wenn ein genauerer Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit benützt wird. Die Bedingungen für die exakte Modellähnlichkeit sind dann nicht mehr erfüllt. Es wird vorgeschlagen, dass eine höhere Elektrontemperatur benötigt wird, um die elektrische Leitfähigkeit genügend zu crhöhen.     

The effect of a transverse pressure gradient on the stability of couette flow

Zusammenfassung Der Einfluss eines transversalen Druck-Gradienten auf die Stabilität einer Couette-Strömung ist durch direkte Lösung der Differentialgleichungen untersucht worden. Es stellt sich heraus, dass für besondere Werte von Drehzahl und Druck-Gradient die Kurve der neutralen Stabilität zwei Minima besitzt; dies führt zu unstetigem Verhalten der kritischen Wellenzahl. Eingehende Resultate sowohl für die Eigenwerte (Taylor-Zahl und Wellenzahl) als auch die Eigenfunktionen (Radial- und Transversal-Komponenten der Störungsgeschwindigkeit) werden hier vorgelegt für den Fall, dass der äussere Zylinder still steht.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

Thermohaline convection with finite amplitude in a rotating fluid

Zusammenfassung Die Stabilitätseigenschaft einer von unten erwärmten, unendlich ausgedehnten, horizontalen Flüssigkeitsschicht wird untersucht in dem Fall, wenn ein stabilisierender Salz-Konzentrations-gradient gegeben ist und die Flüssigkeitsschicht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse rotiert. Die Untersuchung infinitesimaler Störungen zeigt, dass das System zuerst gegenüber oszillierenden Störungen instabil wird. Darüber hinaus wird an dem Beispiel von Strömungen in der Form von Rollen gezeigt, dass die Schicht gegenüber Störungen endlicher Amplitude instabil wird, bevor infinitesimale Störungen anwachsen. Die Rotation übt eine stabilisierende Wirkung aus. Der Einfluss von Rotation und Salz-Konzentrationsgradient auf den Wärmetransport wird diskutiert.     

On the stability of the equilibrium of a linear mechanical system

Zusammenfassung Anschliessend an die Zieglerschen Arbeiten wird das allgemeine lineare dynamische System mit zwei Freiheitsgraden in bezug auf seine Stabilität untersucht. Es werden dabei nichtkonservative Feldkräfte, lineare Dämpfung und gyroskopische Kräfte in Betracht gezogen. die Anwendung des dynamischen Stabilitätskriteriums gibt einige Sätze, welche über die schon vonThomson undTait herrührenden Resultate hinausgehen. Es zeigt sich, dass in einem nichtkonservativen System ohne Dämpfung bei Anwesenheit gyroskopischer Kräfte das Gleichgewicht niemals stabil sein kann. Dieser Satz gilt für Systeme mit drei Freiheitsgraden nicht ohne Ausnahmen. Ein vonZiegler gefundenes Ergebnis, wonach eine Diskontinuität in der Stabilitätsbedingung auftreten kann, wird allgemein diskutiert.     

The deflection and buckling of a beam-column with a one-sided constraint

Zusammenfassung Das Problem eines horizontalen, gelenkig gelagerten Stabes mit VertikalkraftQ am Mittelpunkt und mit axialer DurchlastP wird behandelt. Eine Durchbiegung infolgeQ wird jedoch durch eine Bodenebene verhindert. Die gekrümmten Formen des Stabes werden durch die lineare Stabtheorie und durch die Theorie der Elastika bestimmt. Die letztere ergibt eine Vergabelung der Gleichgewichtslagen, die in der linearen Theorie nicht erscheint. Schliesslich wird die Stabilität des geraden Stabes behandelt. Das kinetische Kriterium, das Energiekriterium und das klassische, auf nichttrivialen benachbarten Gleichgewichtslagen sich beziehende Kriterium werden alle in Betracht gezogen. Alle zeigen, dass eine beliebig kleine VertikalkraftQ die kritische DurchlastP um mehr als das Achtfache erhöht. Das heisst,P geht von der Knicklast für den gelenkig gelagerten Stab über auf die Knicklast für den halblangen, einerseits eingebauten Stab. Es wird gezeigt, dass die klassischen Kriterien in diesem Falle irreführend sind. Nicht nur die Grösse vonQ, sondern auch die der erwarteten Störung muss berücksichtigt werden.     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

Hydromagnetic stability of rotating stratified compressible fluid flows

The hydromagnetic stability of a radially stratified compressible fluid rotating between two coaxial cylinders is investigated. The stability with respect to axisymmetric disturbances is examined. The fluid system is found to be thoroughly stable to axisymmetric disturbances provided the fluid rotates very rapidly. The system is shown to be unstable to non-axisymmetric disturbances, and the slow amplifying hydromagnetic wave modes propagate against the basic rotation. The lower and upper bounds of the azimuthal phase speeds of the amplifying waves are determined. A quadrant theorem on the slow waves characteristic of a rapidly rotating fluid is derived. Special attention is given to the effects of compressibility of the fluid. Some results concerning the stabilitiy of an incompressible fluid system are obtained as special cases of the present analysis.

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Zusammenfassung Es wird die hydromagnetische Stabilität eines radial geschichteten kompressiblen Fluids untersucht, das zwischen zwei koaxialen Zylindern rotiert. Die Untersuchung der Stabilität in Bezug auf axisymmetrischen Störungen gibt volle Stabilität bei rascher Rotation. Für nicht axisymmetrische Störungen zeigt sich das System instabil, und die langsam angefachten hydromagnetischen Wellen pflanzen sich entgegen der Rotationsrichtung des Fluids fort. Es wird die untere und obere Grenze der azimutalen Phasengeschwindigkeit für diese Wellen bestimmt. Für die langsamen Wellen, charakteristisch für rasche Rotation des Fluids, wird ein Quadrant-Theorem hergeleitet. Die Kompressibilitätseffekte werden diskutiert, und Resultate für inkompressible Systeme ergeben sich als Sonderfälle.

     

On a class of solutions in plane finite elasticity

Zusammenfassung Es werden endliche elastische Deformationen bei ebenen Verzerrungszuständen betrachtet, in welchen die Spannungen nur vom Azimut abhängen. Der allgemeine Charakter der Deformationen wird für inkompressible isotrope Materialien diskutiert; insbesondere werden zwei partikuläre Lösungen aufgestellt, die für alle Formen der Verzerrungsenergie gültig sind. Die Lösungen der ersten Klasse sind die erwarteten homogenen Deformationen, während diejenigen der zweiten Klasse in rotatorischen, von einem einzigen Parameter abhängigen Verformungen bestehen. Es wird die Lösung von Randwertproblemen für die Spannungen bei keilförmigen Gebieten im einzelnen für ein Mooney-Material untersucht und dabei gezeigt, dass gewisse besondere Eigenschaften der infinitesimalen Theorie auch in der nichtlinearen auftreten.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation.