反函数法求函数值域质疑

反函数法求函数值域在日常教学中被广泛地采用着(本人也曾如此)。除课本外,在一些刊物、丛书,甚至中学教师使用的《教学参考书》中也颇常见。然而这种方法的科学性却是大有疑问的。     

反函数法求函数值域之我见

《中学数学》91年第9期上载文《反函数教学中两个值得注意的问题》(以下简称《注意》)。该文第二部分对用反函数法求函数的值域提出了否定的意见,对此笔者不能苟同,现谈谈自己的看法,与《注意》的作者商榷。一、反函数法的科学性与可靠性是无可非议的。《注意》一文的观点是:“用反函数法求函数f(x)的值域不仅在理论上行不通,而且在实际上也经常失     

反函数法求函数的值域是错误的——兼谈方程法求函数的值域

反函数法求函数的值域是错误的—兼谈方程法求函数的值域梁伍德（北京市第二十二中学）１“反函数法求函数的值域”是错误的．这种提法，一般是说“反函数的定义域是原来函数的值域，因此，求出反函数，再求出反函数的定义域，这就是原来函数的值域”．说得细致一些，还指...     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法,在中学数学乃至高等数学的学习中都有着广泛的应用。运用它常常可使问题化繁为简,化难为易。本文仅就利用代换法求函数值域加以说明。例1 求函数的值域, 解∵,故设(x-1)~(1/2)=t(t≥0)则 x=t~2+1 从而 y=-t~2+t-1(t≥0) ∵例2 求函数的值域。     

对一道求函数值域题解法的思考

《中学生数学》2001年11月上期刊登的熊杜明同学所写《解题时切勿忘了“△”》一文中的例2及其简解如下:     

用“方程有解条件”替代“反函数法”求函数的值域

标题中所说的的“反函数法”,是指利用求反函数的定义域来得出原来函数值域这样一种求函数值域的方法。该方法有较大的局限性,它只适用于所给函数是一一映射(即存在反函数)的情况,而且仅当从y=f(x)解出x=f~(-1)(y)的变形过程中y取值范围不变时方才有效。鉴于“反函数法”的这些缺点,本文提出一个替代的办法,就是运用方程观点,将函数式视为关于x的方程(化     

求函数值域慎用“平方”法

当遇到含二次根式且定义域为R的函数求值域时,有时虽可通过平方法将函数关系式转化为关于x的类二次方程A(y)x2+B(y)x+C(y)=0(x∈R)的形式,再结合根的判别式来求得答案,但这种方法通常会扩大函数值的取值范围,导致结果出错.     

对《整点问题》一文的质疑

贵刊2005年第4期45页刊登的顾贯石老师《整点问题》一文中，顾老师对2004年高考（浙江卷）理科第15题进行了推广，笔者认为推广形式中的结论2与结论3存在问题，各举一例说明。     

对《判别式法求值域要注意的问题》一文的订正

《中学生数学》2003年5月上发表的《判别式法求值域要注意的问题》一文中给出如下结论: 把y=a1x2 b1x c1/a2x2 b2x c2(a1a2≠0)看作关于x的方程,记为③, 把y(a2x2 b2x c2)=a1x2 b1x c1看     

求函数值域的一堂习题课记实

的动点(acosx,bsinx)与定点(n,m)的连线的斜率的范围,但当a≠b时,用这种方法求解有时很繁甚至很难。如何转化,寻求较简方法呢?笔者组织了一堂习题课,老师提出思考方向,学     

求函数值域的一般方法

关于函数值域的确定,是统编高中数学教材中的一个难点。学生作题通常没有一般方法可循,并且容易出现混乱和错误。本文拟给出求初等函数值域的一般方法。下面我们提出三个定理,为尽量避免使用较多的实数理论,仅用几何图形加以直观说明,不给出严格论证。然后归纳出只需运用简单的导数知识,对中学生可行的初等函数值域的一般方法。定理1 若函数y=f(x)满足条件 (1)、在闭区间〔a,b〕上连续; (2),最大值、最小值分别为M,m,则函数y=f(x)的值域为〔m,M〕。(其中mM) 定理1中,M、m的存在性与结论的正确性从函数图象(图1)上看是很明显的。例1,求函数f(x)=x~2-5x+6,x∈〔2,     

用斜率求函数的值域

本文介绍利用直线的斜率求一类分式函数的值域.例1求函数y=(3x2-1)/(x2+2)的值域.解y可看成是点A(-2,1)与点(X,3x2)连线的斜率.设x′=x′,y′=3x2,则y′=3x′(x′≥0),故原函数的值域即为点A(-2,1)与射线y′=3x′(x′≥0)上的点(x′,y′)的连线斜率的取值范围.     

求函数值域的若干方法

函数值域是高中数学的难点．这是因为它没有固定的方法和模式，大部分值域问题与函数的最值问题密切相关，解决这类问题既涉及刭一些具体的解题方法．又涉及一些抽象的逻辑方法．所以难以找到最佳的思维定势。这里仅就求以解析式给出的函数y=f（x）的值域的几种常用方法概述如下．     

求函数值域的方程视角

函数的值域是函数概念的一个重要组成部分,在研究函数的图象、性质及实际问题中非常有用．求函数的值域的方法很多,如常说的观察法、配方法、图象法、判别式法、换元法等等,但广大师生仍然普遍感到求函数的值域问题是教学中的一个难点．本文试图给出求函数值域问题的一个一般方法,方法虽然并非对每一个具体问题都很简洁,但的确是解决这类问题的通法．现介绍如下,请同行指教．     

“反函数法求值域定理”的修正

“反函数法求值域定理”的修正沈建根（浙江省嘉兴农业中专学校３ｌａ０００）本刊１９９５年第５期上发表的《关于反函数的一个问题》一文，针对相当一个时期来中学数学教学中普遍采用的“由反函数求值域法”存在的问题进行了分析，并给出文中的定理２，对“反函数求值域...     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

求函数值域的几种方法

若有非空数集 A到 B的映射 f :A→ B,则函数 :y =f (x) (x∈ A、y∈ B)的值域是自变量 x在 f作用下的函数值 y的集合 C,很明显 ,C B.求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握 ,同时应注重数形结合、等价转换、分类讨论等重要数学思想的理解与运用 .1　定义法要深刻领会映射与函数值域的定义 .例 1　已知函数 f :A→ B(A、B为非空数集 ) ,定义域为 M,值域为 N ,则 A、B、M、N的关系 :(　 ) .(A) M =A,N =B(B) M N,N =B(C) M =A,N B(D) M A,N B说明　函数的定义域是映射 f :A→ B中的原象集合 A,而值域即函数…     

求函数值域的几种技巧

求函数的值域是函数一章的重要问题,也是高考命题的热点．求函数的值域除常用一些基本方法外,还必须掌握一些技巧,现归纳、总结如下：     

用解析几何模型求函数的值域

解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,而某些代数问题 ,根据其结构特征 ,也可构造为解析几何问题 ,本文以求函数值域为例 ,构造解析几何模型 ,使数形转化 ,便于解题 .1　构造距离模型例 1　求函数 ｆ (ｘ ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1的值域 .解　由 ｆ(ｘ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1=(ｘ 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 (ｘ - 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 .图 1　例 1图故 ｆ(ｘ)可看作平面上点Ｐ (ｘ ,32 )到两点Ｍ(- 12 ,0 ) ,Ｎ(12 ,0 )的距离之差 ,显然 ｆ(ｘ)的值域为 (- 1,1) .例 2　已知 ｆ(μ) =μ2 ａμ ｂ - 2 ,μ =ｘ 1ｘ图 2　例 2图(ｘ≠ 0 ,ａ…