组合学的一个新概念--圆组合

1962年笔者在《数学通报》指出下述结果[1 ] :设n ,k为自然数 ,a ,b为实数或复数时 ,就有等价恒等式(a b) n =∑nk=0nk an-kbk,(二项式定理 )an bn =∑[n2 ]k=0( - 1 ) k nk (a b) n- 2k(ab) k,(等价二项式定理 )其中记号nk =n(n- 1 ) (n- 2 )… (n -k 1 )k!,nk =n(n -k- 1 ) (n -k- 2 )…(n- 2k 1 )k!.同时还发现等价恒等式的数字表、证明、性质以及应用上具有相似之处 .由于 nk 是组合记号 ,推测 nk 可能是另一组合记号 ,于是猜想 nk 中蕴藏着组合学的一个新概念 .40年韶光弹指过 ,近年笔者探讨孪生组合等式的问题[2 ,3,4] ,才能清楚地…     

En空间中张角定理及其应用

本文利用单形的体积公式,得到了n维欧氏空间Eⁿ中的张角定理,由此又证得了单形中的一组恒等式,利用这组恒等式给出了Safta猜想在Eⁿ空间中的加强形式．     

大卫星恒等式的组合证明

以Np表示1到p的自然数集合,Fn(1,2,…,p)表示元素取自Np的有序n元组的集合,Fnn1n2…np1 2…p表示所有含n1个1,n2个2,…,np个p(n1 n2 … np=n)的有序n元组的集合.通过组合分析法可以证明这两类n元组集合的性质,进而给出"大卫星恒等式"及一些组合恒等式的组合性证明.     

一个组合恒等式的推广及应用

文[1]用两种方法证明了“一个奇妙的组合恒等式”: n∑j=0(-1)j(n -j)nCjn=n!(n∈N+)……(*)j=0 实际上,文[2]与文[3]分别用数学归纳法和概率证法证明了比(*)更强的组合恒等式:     

En空间中张角定理及其应用

本文利用单形的体积公式,得到了n维欧氏空间En中的张角定理,由此又证得了单形中的一组恒等式,利用这组恒等式给出了Safta猜想在En空间中的加强形式.     

几个组合恒等式的概率证法

关于组合恒等式,在中学教学中一般是采用二项式的工具证明的。现在的中学教材,在排列组合、二项式紧后的内容是概率,如用概率的想法来证明组合恒等式将是有意思的,而且一般还比较简单。如在教学中给学生以介绍则是很有益的。本文介绍常用的五个重要组合恒等式的概率法。 1.C_n~r=C_(n-1)~r+C_(n-1)~(r-1)(1≤r≤n) 证:从装有大小相同的一个红球余为白球的n个球的口袋中任意摸出r个球,设摸到红球的事件为A,则有: P(A)=C_(n-1)~(r-1)+C_n~r;P(?)=C_(n-1)~r+C_n~r.     

NEWMAN猜想的一个简单证明

本文研究了一个数论问题:Newman猜想.从连续整数m 1,m 2,…,m n组成的集合中选出n个子集合,运用组合数学方法,获得了Newman猜想的一个简单证明.     

构造概率模型证明组合恒等式

对于组合数恒等式的证明无固定的方法, 使得人们常感到无从下手.下面介绍构造概率 模型证明组合恒等式几例,供读者参考. 例1 求证:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 证明 设事件A在一次试验中发生的概率 为1/2,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是:PA(k)=Cnk(1/2)k·(1-1/2)n-k=1/2nCnk. 令k=0,1,2,…,n,并求和得 即 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 例2 求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2= C2nn. 证明 设一个口袋中有n个白球n个红 球,任取n个球,求A={至少有一个白球}的概     

与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等式

Agarwal在2003年给出了一个联系着正整数的无序分拆与有序分拆的恒等式．本文给出了该问题的另外的一些恒等式．此外,利用菲波拉契数讨论了将正整数n分拆成不含分部量1的有序分拆的几个组合性质．     

几个组合恒等式

在组合论中,如1中,组合恒等式是研究的对象之一,其内容丰富多彩,形式多种多样,有有限的组合恒等式,也有无限型的组合恒等式。 本文用巧妙的方法证明了两组新的有限型组合恒等式,然后利用这两组恒等式,又推出了另外几个恒等式。     

为排列组合恒等式找模型

大家知道,对于组合数的两个性质的理解,可以从以下两个方面进行:一方面是运算公式本身;另一方面,则是它们的“组合”模型.受其影响,笔者对排列数与组合数的其它一些恒等式也动心——寻找了它们的“排列、组合”模型.1指定特殊元素型例1若m相似文献   

利用二元矩阵证明组合恒等式

利用有限集|n|上子集的相交关系构作了一个二元矩阵,利用这个二元矩阵证明了一些组合数恒等式,利用有限向量空间F_q~((n))上子空间的相交关系构作了另一个二元矩阵,利用这个二元矩阵证明了一些高斯系数恒等式.     

一类恒等式的有趣证法

通常,恒等式的证明都是从等式的一边出发,经过恒等变形化简到与另一边相等;或两边同时作恒等变形化简得到相等的结果.但对于某些与组合数有关的恒等式来说,还有另一种有趣的证法,如下面几例: 一、Cmn=Cnn-m 这是组合数的一个性质,为了证明这个性质,我们来解下面的应用题: “n个学生参加义务劳动,其中m(m≤n)个学生扫地,其余的学生除草,问有多少种不     

一个组合恒等式的模型解释与应用

题目求证:Cmn=m+1n+1Cm+1n+1①这是新课程教材人教版《数学》(选修2-3)25第6题,我们在证明这个组合恒等式时,联想到组合数性质Cmn=Cn-mn与Cmn+Cm-1n=Cmn+1都有模型解释(实际意义),那么此式有没有实际意义呢?几经思考,我们得到了以下解释.为了叙述方便,将①式变为:Cm+1n+1=n+1m+1Cmn.     

杨辉三角形的若干性质

研究了杨辉三角中的D av id星恒等式,给出了n阶星恒等式的定义,证明了n(n 3)阶星恒等式的存在性,并且给出了构造n阶星恒等式的方法.     

排列、组合与二项式定理(续)

三、组合恒等式包含组合记号的恒等式称为组合恒等式。组合恒等式有成百上千个,其中最基本的有以下六种。     

用随机方法证明一类组合恒等式

在组合恒等式∑sk1=0Ck1n1Cs- k1n2 =Csn1+ n2 　　　　 s=0 ,1 ,2 ,… ,n1+n2 ( 1 )的各种证法中 ,最简捷的要数概率方法的证明。恒等式 ( 1 )的一种概率方法证明是 :考虑如下的随机试验 ;设有一批产品 ,其中 n1件是次品 ,n2 件是正品 ,现从中随机地取 s件 ,则这 s件中的次品数“ξ=k”的概率是 P(ξ=k) =Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2由于在 S件产品中次品数可能是 0 ,1 ,2 ,… ,s。共 s+1种 ,它们彼此互不相容 ,且这 ( s+1 )个事件之并为必然事件 ,故有∑sk1=0p(ξ =k) =∑sk1=0Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2=1　　　　　即 ( 1 )得证　　由等式 ( 1 )…     

P(n,k)的一个降部恒等式

P(n,k)表正整数 n 分为 k 个分部的无序分拆的个数,每个分部≥1.它首先由数学家欧拉 (Euler) 提出.它已成为组合、图论及数论里的重要数据之一,应用广泛.目前,尚无 P(n,k)(k≥4)的简单统一便于计算的公式.本文得到 P(n,k)的一个能降低分部数的递推恒等式,并证明它可表为有限个2部分拆之和.这个恒等式有理论上和递推计算上的用途.并举例介绍了它的初步应用.     

构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

不等式〔∑from i=1 to n (a_i~3)〕〔∑from i=1 to n (b_i~3)〕〔∑from i=1 to n (c_i~3)〕≥〔∑ from i=1 to n (a_ib_ic_i)〕~3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式:设实数ai,bi∈R,A3=n∑i=1ai3,B3=n∑i=1bi3,且AB≠0,则有恒等式n∑i=1ai3 2/3n∑i=1bi3 1/3=n∑i=1ai2bi 13A2Bn∑i=12aiA biBaiA-biB2(1)根据恒等式(1),我们自然会考虑更一般形式的3×N维形式的不等式n∑i=1ai3n∑i=1bi3n∑i=1ci3≥n∑i=1aibici3(2)通过对(2)的研究,本文通过构造方法给出了式(2)的一个新的恒等式.定理设实数ai,bi∈R,A=3∑ni=1ai3,B=3∑ni=1bi3,C=3∑ni=1ci3,且ABC≠0,则有恒等式3(n∑i=1ai3)(n∑i=1bi3)n∑i=1ci3=n∑i=1aibici ABC6Ω(3)其…