一道几何赛题的简证

<正>题目 (2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一))在△ABC中,已知∠BAC=40°,∠ABC=60°,D、E分别为边上AC、AB上的点,且使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F为BD与AC的交点,联结AF.证明:AF丄BC_[1].文[1]利用添辅助线的几何方法证明,十分繁琐,文[2]利用角元塞瓦定理,这个定理一般中学生不知道,比较冷僻,更谈不上应用.本文利用向量给出一种简单自然的证法,     

一道赛题的简证与改进

众所周知,题目中给定的条件,是我们论证的出发点,因此,所给的条件是否恰到好处则是判定题目是否出得恰当的重要标志。一般说来,条件的强弱决定着论证的难易,若给定的条件比实际需要的强,就意味着提供给我们的信息和可以利用的内涵,超过实际所需要的,这样,证明的途径就宽阔,因而也易于探求。完美的题目应该是条件弱到不能再弱。可是,这弱到不能再弱,有时也难以判定;相反的,论证的高明、方法的巧妙,常常又能暴露出原条件中某些过强,甚至多余。因此,寻求新的方法,不但可获巧妙、新奇之美,亦可简化或改进题意。对此,不妨看一下武汉市1990年初二     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

一道赛题的又一简证

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第（17）． 题目若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证．1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z 〈2．     

一道亚太地区赛题的加强与推广之简证

文将一道2004年亚太地区数学奥林匹克试题加强与推广为以下： 定理 对任意实数a，b，c及非负实数m，均有     

一道平面几何题的简证

题目~[1]如图,菱形ABCD,∠DAB=60°,E是AD上一点,CE交BA延长线于F,DF交BE延长线于M,求证:∠BMD=60°.证明连结DB,显然△CBF∽△EDC,于是BC/DE=BF/DC,注意到DC=BC=DB,有DB/DE=BF/DB,     

一道趣题的简证

本刊1993年第4期文《正方形中的一只蝴蝶》的结论如下: 正方形ABCD的边CD、DA、AB中点分别为O_1、O_2、O_3,连O_1O_2,O_1B,CO_2,CO_3,相交于O点,过O作EF∥CD分别交O_1O_2于H,O_3C于K,求证:     

一道数列题的简证

在许多书刊中可以见到这样一道数列题: 已知正项数列{a_n}满足求证:对任意自然数n,都有a_n<1/n。 这道题曾作为1964年北京市中学生数学竞赛题,它有多种多样的数学归纳证法,下面     

一道擂台题的简证

<中学数学教学>2003年第3期有奖解题擂台题(61-1)为: 在△ABC中,求证:     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…     

一道赛题的别证及推广

《中学生数学》11月下刊登的2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛第四题是: 题目以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE,CAFG、BCHK,连结EF,GH,KD,如右图.求证:以EF,GH,KD     

一道智慧窗题的简证

贵刊2011年第4期(下)"智慧窗"第6题,刘运宜老师用了"梅涅劳斯定理"及"塞瓦定理"来证明,笔者通过探究,给出用面积关系的一种简洁而明快的证法.     

一道国际奥赛题的简证

题目 设ａ,ｂ,ｃ为正实数,且适合ａｂｃ＝１．求证： 这是第三十六届国际数学奥林匹克竞赛的一道试题,命题人给出的证法是逆用无穷递缩等比数列各项和的公式．先化“有限”为“无限”,再化“无限”为“有限”．在从“有限”到“无限”,又从“无限”到“有限”的转化过程中,还用到凸函数性质和琴生不等式．其思想之深奥,方法之奇妙,只能令众多中学生叹而观之,望而却步．下面给出一个通俗浅显,使一般中学生都能接受的证法． 证明（分析法）：令ｘ＝１／ａ,ｙ＝１／ｂ,ｚ＝１／ｃ．则 、＿３． ｚ’（,＋ｚ）（ｘ＋ｚ）＞于（ｘ…     

一道奧数题的简证

<正>题目[1]如图1,在Rt△ABC中,已知CD为斜边AB上的高,I、I1、I2分别为△ABC、△ADC、△BDC的内心,IE⊥AB于点E,直线AI与BC、BI与AC、MN与CD分别交于点N、M、Q.证明QE∥=CI.在文[1]的证明中,作了很多辅助线,使证明过程比较迂回而繁琐.经笔者研究发现,证明此题不须作辅助线,其证明过程简洁而明快.     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...