利用微分中值定理推广两个题目

利用泰勒中值定理推广[1]中的一个例题,利用罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理推广2001年全国考研一个题目,分别得到如下结果:1.若f(x)在(a、b)内恒为正,在[a,b]上具有(2n 2)阶连续导数,并且在两个端点处不超过2n阶的导数均为零,则∫abf(2fn( 2x))(x)dx>(2(nb -1a))!22n 21n 22.若f(x)在[-a,a]上具有2n阶导数,且在原点处不超过2n-2阶的偶数阶导数均为零,则在[-a,a]上至少存在一点η,使2a2n 1f(2n)(η)=(2n 1)!∫-aaf(x)dx     

多元函数取局部极值的一个充分条件

约定 :设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D( D Rn)上具有连续偏导数的 n元函数 ,若方程组 f′xi= 0 ( i=1 ,2 ,… ,n)有实数解 P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,xn0 ) ,则称 P0 是 f的一个稳定点。定理　设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D上具有二阶连续偏导数的 n元函数 ,P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,x0n)是它的一个稳定点。对任意点 P( x1,x2 ,… ,xn) ,记 aij =f″xixj( P) ,矩阵 A =( aij) =a11a12 … a1na2 1a2 2 … a2 n…………a2 1a2 2 … a2 n。若矩阵 A在稳定点 P0 的某邻域上恒是正定或半正定的 (负定或半负定的 ) ,那么 f在点 P0 处取局部极小 …     

从函数零点谈起

我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点．由此可以看出,函数y=f（x）的零点,就是方程f（x）=0的实数根．从图像上看,函数y=f（x）的零点,也是它的图像与x轴交点的横坐标．     

求曲线切线方程的两个易错点解析

<正>一、求曲线在某点处的切线函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有导数,则曲线y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有切线.若函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的某点x_0处导数不存在,那么,曲线y=f(x)在该处切线是否存在?如果存在,该如何来求?下面举例来说明.     

一道参数取值问题的多角度求解

题目若函数f（x）=a2x2-ax-2在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围是.分析本题是一道函数与方程相结合的函数综合问题,题虽小精悍,却颇具有求解价值,可从方程根、函数图像与x轴的交点、命题的对立问题（补集法）等多个角度进行分析与求解.角度1（方程的根）根据函数f（x）的     

从f′(x)=0谈起

<正>导数是解决函数图像、性质以及方程不等式等问题的有力工具,f′(x)=0的根是利用导数分析函数性质过程中最为核心的量.它关联着函数的单调性、极值(最值)等,但某些函数的导数为零时,根不易求得,成为解题过程中的难点.我们举例探究对非常规零点的求解或使用,寻求恰当处理方式.1.方程f′(x)=0无实数根     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

数形结合变视角 合理分类定乾坤——2022年全国高考乙卷导数压轴题解法研究

<正>1试题呈现(2022年全国高考乙卷第21题)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe^-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围．本题第(1)问考查函数在某点处的切线问题,利用导数的几何意义就可以解决．第(2)问考查的是函数在两个区间上的零点问题,解决函数零点问题的一种方法就是通过研究函数的单调性观察图象与x轴交点的个数,另一种是通过分离参数后探究两个函数图象交点的个数．     

函数零点的应用

函数的零点是函数的重要性质之一,它把函数、方程、不等式紧衔地联系在一起．函数y=f（x）的零点a既可以理解为使函数值等于零的自变量的值（即f（a）=0）,又可以理解为方程f（x）=0的根（解）,零点的几何意义是函数y=f（x）图像与x轴的公共点的横坐标．下面笔者针对变号零点的几个作用举例剖析．     

关于Dirac分布的幂

选定δ—序列δ_n(x)=(n/π)~(1/2e~(-n(x~2))) x∈R对任一固定复数a,光滑函数f(x)的a阶导数定义如下:     

运用导数的性质解高考试题

设 y =f(x)为可导函数 .①在某个区间内 ,如果 f′(x) >0 ,则 f(x)为增函数 ;如果 f′(x) <0 ,则 f(x)为减函数 .反之亦然 .②函数 f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号 .③函数 f(x)在点x0 处的导数 f′(x0 )是曲线y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处切线的斜率 .运用上述性质可解决下面几类高考题 .1　求参数的取值范围图 1　例 1图例 1　 (2 0 0 0年春北京高考题 )已知函数 f(x) =ax3+bx2 +cx +d的图象如图 1所示 ,则 (　　 )(A)b∈ (-∞ ,0 ) .(B)b∈ (0 ,1) .(C)b∈ (1,2 ) .(D)b∈ (2 ,+∞ ) .解　由图象知…     

利用二分法思想巧解零点存在性问题

二分法可用于求方程的近似解,在处理一类函数零点存在性问题时,利用二分法也可使问题快速获解,达到事半功倍的效果.例1已知函数f(x)=ax~3+bx~2+(b-a)x(a,b是均不为零的常数),其导函数为f′(x),求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少存在一个零点.     

132一类恒成立的函数问题--数学研究性学习又一种组织方式

第一课时　初步提供一类问题资料 ,要求学生归纳整理 .向全班同学提供如下的一类问题的初步材料 (打印好发给他们 ) :( 1 )已知不等式x2 log24 ( a 1 )a - 2 xlog22 aa 1 log2 ( a 12 a ) 2 >0对所有实数 x恒成立 ,求实数 a的取值范围 .( 2 )设 f( x) =lg[1 x 2 x 3x … ( n- 1 ) x nxa],n∈ N,且 n≥ 2 ,当 x≤ 1时恒有意义 ,求实数 a的取值范围 .( 3)已知 a∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 ( 3- a) x 2 a 1的取值恒为正数 ,求 x的取值范围 .( 4 )已知二次函数 y =f ( x)的定义域为R,f ( 1 ) =2 ,且函数在 x =t处取得…     

幂平均函数及其平均不等式

为幂平均函数。这里a_i(i=1,2,…,n)为不全相等的正数。 现在我们应用导数来研究这个函数的某些性质。 1.有界性 显然,f(x)在整个实数轴上都有定义,且恒有f(x)     

一道函数零点问题的多视角求解

题目已知函数f(x)=lnx+(1-m)x在区间[1,e2]内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是.本题是一道与函数零点有关的参数取值问题,函数f(x)在某区间上有且仅有一个零点,就是对应函数的图象与x轴在区间内有一个交点,也是对应方程在该区间内有唯一的实数解解决本     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

泰勒公式的一个简便证明

本文给出泰勒公式一个较简便的证明.定理 设函数f(x)在a点的某个邻域∪(a)内具有(n l)阶导数,则对于任何x∈∪(a),x≠a,有     

2014年高考天津卷理科压轴题的解法和探究

2014年高考天津卷理科压轴题(第20题)为:设函数f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1相似文献   

利用函数图象确定零点个数

<正>在高中必修课程体系中,判断函数零点的个数属于必学内容之一,函数零点个数的判断比较抽象,需要深入理解,与方程有关的根和函数的零点个数的内容主要包括两个理论以及由这两个理论推广出的一个理论.理论1:函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.     

Taylor公式中的Lagrange型余项R_n(x)的探讨

对函数f(x)的n阶Taylor公式中的Lagrange型余项Rn(x)是否能用f(x)的(n+1)阶导数表示,又能用(n+2)阶导数表示进行了研究,得到了用f(x)的(n+1)阶导数、(n+2)阶导数表示均可的结论,从而使奇偶函数展为Taylor公式更加灵活.