一类几何题看似无圆却有圆

<正>初中数学学习中,我们往往会遇到求最大值或最小值问题,所使用的知识点通常有:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;两点之间线段最短;垂线段最短.初三学习了圆这一章,经常用"圆外一点到圆上各点距离最大和最小的线段必经过圆心"这个结论来求最值.在我们所见到的问题中,其中有一类几何题看起来与圆无关,但若能根据问题的条件,图形的特点挖掘隐藏的圆,则可利用圆的知识巧妙解决.     

关于几何图形中求最小值问题

<正>几何图形中求最小值的依据分别为:⑴两点之间线段最短.⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,以下简称"垂线段最短".一、应用"两点之间线段最短"求最小值问题.1.利用轴对称例1如图1,在矩形ABCD中,AB=     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

利用垂线段最短求线段最值

<正>如图1,在点P与直线l上所有点相连的线段中垂线段PO最短,简称"垂线段最短",它是求线段最值问题的基本公理.下面以此公理为依据,谈谈求线段最值问题.一、已知一定点和一定直线求最小值例1如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一动点,过点D作     

求线段之和的最小值问题的常用方法

<正>线段之和的最小值问题,综合性较强,灵活性较大,面对这类问题,学生常常感到困惑.解答这类问题,常常需要综合运用轴对称、平移、代换、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,现举例说明如下:一、轴对称与两点之间线段最短     

聚焦“三点共线”模型破解线段最值问题——以2022年全国各地中考数学试题为例

线段最值问题是历年全国各地中考热点问题,这类问题通常以等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、圆等具有特殊性质的图形为基本图形,以动点或动线段为背景,以线段(或线段之和)的最值为问题情境,主要考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.解决这类问题的关键是利用转化思想将线段最值问题转化为常见的几何模型,将动态几何问题转化为静态几何问题,然后利用基本图形的性质解决问题.文章以等腰三角形、正方形、矩形等基本图形为例,说明“三点共线”模型在解决线段最小值问题中的应用.     

“阿式圆”助解最值问题

<正>两点之间线段最短,利用这个性质求解最小值问题在我们解题时候常常出现.我们最熟悉不过的模型有将军饮马模型,但是运动的点都在直线上.本文改变点的运动轨迹,让点在圆上运动,寻求此类题解题的策略——"阿式圆".1原理呈现已知在平面上两点A,B,则所有符合PA/PB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,简称"阿式圆".     

几何赛题最值探讨

<正>几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值;求几何最值常用的几何性质有:(1)斜边大于直角边;(2)两点之间线段最短;(3)垂线段最短;(4)三角形任两边之和大于第三边.     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

“形”中的最值

说到初中数学中的“最值”(最大值或最小值),往往会让人联想到从“数”的角度去建立函数关系式,求函数的最大值或最小值.而有时从“形”的角度去研究最值则显得更加直观、简洁在几何中与“最短”、“最长”相关联的知识点有:“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”等.     

垂线段最短是本,转化为魂——例谈三角形周长最小值的求法

在求三角形周长最小值问题中,往往需要把结论逐步转化,把三条线段的和转化为两条线段的和(或一条线段),再利用垂线段最短求出最小值.     

几何最值问题的求解两例

<正>在几何最值问题的求解中,常用的有几何作图的方法和代数分析的方法.几何分析的方法依据的最基本的原理是两点之间,线段最短.代数分析的方法则是建立起函数关系式,再分析最值.一、构造图形利用两点之间线段最短求解例1如图,在每个小正方形的边长为     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

巧添辅助圆,求解相关最值问题

<正>在动态问题中求解最值是近几年中考的一大热点.本文结合部分与圆相关的最值问题具体谈谈如何巧添辅助圆,顺利求解最值问题.例1如图1(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是     

对最值问题的思考

<正>在中考前的复习过程中,笔者接触不同的题型,经常发现学生易错的一些题型,对这些题型进行归纳,从中找出解决这类问题的一般思路,形成专题,在复习中能起到事半功倍的效果.对于最值问题,笔者发现解决此类问题的主要依据有三个,分别是"两点之间,线段最短";"垂线段最短";"二次函数最值".一、两点之间线段最短例1如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移     

过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

利用“垂线段最短”巧解三类代数式的最值

<正>"直线外一点与直线上任一点的连线段中,垂线段最短"这是大家都公认的一个几何事实,它不仅在解决一些生活实际问题和几何问题时有重要的作用,还能利用数形结合思想解决一些特殊代数式的最值问题,本文着重介绍它在解决三类特殊代数式最值问题中的妙用,这会带给我们"柳暗花明又一村"般的欣喜.     

架构在抛物线上的最值——两道中考试题及变式研究

初中阶段,涉及到"最"值问题的定理、性质有三个:1.两点之间,线段最短,以及其派生出来的三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;2.二次函数的最大值和最小值;3.垂线段最短.纵观近年相关中考题,抛物线中的最值问题,大约涉及     

线段和(差)最值问题的变式探究与启示

某平面几何元素在给定条件下变动时,求线段和(差)的最大值或最小值问题,称为线段和(差)的最值问题.它一般包括一点关于两直线对称、两点关于两直线对称、平移对称等多种变式.这类动态问题因涉及知识面广、背景丰富、表现形式灵活而备受命题者青睐,不仅培养学生的探究能力和创新意识,还培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力.研究发现,此类问题的理论依据是“两点之间,线段最短”,解决问题过程中存在一定的解题规律和技巧,即往往可以通过轴对称、平移等变换把相对分散的条件相对集中,化“折”为“直”,将其转化为常见的基本几何问题模型来解决,关键是把若干线段归结到同一条直线上.笔者在教材“饮马问题”、“选址造桥问题”等的基础上进行变式探究.