递归数列的通项公式

探求递归数列的通项公式的一般办法是:逐次代入递推找规律—猜想—证明(用数学归纳法).这种办法的优点是解题思路自然直观,缺点是运算量较大,所需过程较多,有时规律不易发现.下面探讨用特殊办法求递归数列的通项公式,     

由递推公式求数列的通项公式

递推公式是给出数列的一种方法 .这个内容在《中学数学教学大纲》和《高考数学科的考试说明》中 ,只要求学生能够根据递推公式写出数列的前几项 .所以 ,在已知数列的递推公式 ,求数列的通项公式等问题时 ,一般的方法是先根据递推公式写出数列的前几项 (一般是四、五项 ) ,然后通过观察、比较、猜测写出数列的一个通项公式 ,最后用数学归纳法证明该通项公式确为所求 .其过程为“递推—猜想—证明”.不过 ,高中数学的数列部分 ,是以等差数列、等比数列为基础和重点的 ,一些数列是在等差数列、等比数列的基础上构成的 (某些递推公式也反映了这…     

一道数列习题的教学价值

高中代数下册Ｐ１２８有这样一道习题：已知数列｛ａｎ｝的项满足ａ１＝ｂ,ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ（）其中ｃ≠０,ｃ≠１,证明这个数列的通项公式是ａｎ＝ｂｃｎ＋（ｄ－ｂ）ｃｎ－１－ｄｃ－１．这是传统教材中仅有的一个递推数列习题．教材给出了通项公式,只要求用数学归纳法证明一下,这比直接求数列｛ａｎ｝的通项公式难度要低一些．新教材对递推数列要求有所提高,在原传统教材的基础上,增加并明确“递推公式也是给出数列的一种方法”,因此,直接求形如ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ型的通项公式,学生都应掌握．其实,这类问题在高考试…     

逆向思维 别样的风景

1.问题的提出在数列的章节中,由初值及递推关系求通项公式的题目是常见的,但笔者逆向一想就不禁要问：为何只见“由递推求通项”,却鲜有“由通项求递推”？你也许会纳闷：通项公式已经告诉我们数列的每一项了,干嘛还要求递推公式？假若已知数列的通项公式,让你求其某一项,你会怎么做？这还不简单,代入计算即可,但事实有时却并非如此.     

递推式的巧妙“变形”

在许多数列题中,有时会出现一些用常规方法不易解决的递推数列．本人在学习中发现这类数列的“通解”,现分析如下两例,供同学们参考．例1已知数列3an 1-2an=2×3n,a1= 1,求通项公式an．分析这类数列用叠加法虽能算出,但算     

递推数列通项公式常用求解方法探讨

<正>数列知识是高考中的重点内容,也是必考内容,其中递推数列是数列问题的重中之重.掌握求递推数列的通项公式的转化方法与规律,对于解决数列通项公式问题具有重要作用.由递推数列求通项,形式多变、解法灵活、技巧性强,解法的关键是将递推关系式转化为我们熟知的等差型、等比型、累加型、累乘型等数列形式,然后求出数列的通项公式.此类问题主要有以下     

用构造法求数列的通项公式

有很多数列通过递推公式给出,它们可以根据递推公式构造出一个新数列,来间接求原来数列的通项公式.对于不同的递推公式,我们可以采用不同方法构造不同类型的新数列.下面给出几种常见的构造新数列方法.     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

巧用递推关系求数列通项公式

<正>数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化规律,而且有利于求数列前n项和.而利用递推关系求数列的通项公式又是数列的核心问题之一.因此,本文通过举例来介绍几种常用的求法.1.辅助数列法利用数列的递推关系,构造一个新的数列     

二阶线型递推数列通项公式的求法

求递推数列的通项公式，既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，近三年新课程高考压轴题都是求这类数列通项公式的问题．文[1]介绍了一些常见递推数列通项公式的求法，本文就求二阶线型递推数列通项公式，介绍一种通用的方法．     

简而有力的累加法求数列通项

<正>在数列的学习过程中,经常遇到求数列的通项公式,在求解通项公式时,我们会根据递推式的结构特征选择求通项的方法,经常使用的方法有累加法、累乘法、迭代法和待定系数法等.对于递推关系式满足a_(n+1)-a_n=f(n)可由累加法求数列{a_n}的通项公式,     

数列通项公式的求法

数列是一种以自然数 1,2 ,… ,ｎ作为自变量的函数 ,给出数列的方式常常有两种 ,一是由项与项数的关系给出的即通项公式法 ,二是由相邻项的关系给出的即递推公式法 .这两种方式都反映出了数列的结构特点和构成规律 .那么怎样由己知数列的递推公式来探求数列的通项公式呢 ?本文通过具体实例介绍几种常用的方法 .一、转化成等差等比数列此方法主要根据数列的递推关系式的特征 ,通过适当变形 ,构造出关于某个整体的等比或等差数列 ,求出该整体的通项后再求所求数列的通项 .例 1　已知数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =1,ａｎ =3ａｎ-1 + 1(ｎ =1,2 ,3,… ) …     

用数列的递推公式求前n项和

已知数列的通项a_i,求数列的前n项和S_n是教材的基本要求。但若给出的数列不是等差数列或等比数列,一般无现成公式可寻,需采取特殊的方法。这里介绍一种用数列的递推公式求前n项和的方法,它的程序是这样的:由a_i写出递推关系式a_(i+1)=Aa_i+B,然后两边对i求和。这种方法程序简单,适用范围广,易于掌握。例1 求1-3+5-7+…前100项之和。     

递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在高考试题和竞赛中.本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.类型 1　由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项此类题一般不直接给出数列 {an}中an+1与an的递推式,而给出Sn与Sn-1或Sn与an的递推式,这时要用an+1 =Sn+1 -Sn(n∈N* ),转化为an+1与an的递推式.例 1　设数列 {an}的首项a1 =1,前n项和Sn满足关…     

用解递推关系法求数列的极限

本文给出两个递推关系的求解公式,对某些递推关系通过变换化为可求通项的递推关系式,从而求出极限。如果数列的通项已知,那么,其极限就比较容易求得.而对于象由递推关系等所确定的数列,一般《高等数学》教材上,大多采用诸如单调有界有极限的原理以及级数理论等方法.但有时证明极限存在比较困难,即使假定极限存在,要求出来也并不容易。工科院校学生的数学基础理论一般比较薄弱,对求解此类极限往往不易掌握。而实际上有些由递推关系确定的数列的极限是有简便方法可寻的。本文给出两个公式,对于某些递推关系的通项的求解显得非常简单。     

用合分比定理求一类递推数列的通项公式

大家知道,求非线性递推数列的通项公式是比较困难的,没有一般的方法。本文利用合分比定理来求某些非线性递推数列的通项公式,列举以下几个例题。例1 已知数列{a_n}的a_1=2。并且求这个数列的通项公式。分析:我们来观察递推公式的右边,分子与分母的和是(a_(n-1)+1)~2,而分子与分母的差是(a_(n-1)-1)~2,因此,对于具有这种特点的递推公式,我们可以利用合分比定理来求这个数列的通项公式。解:将递推公式写成     

用特征方程求两类递推数列的通项公式

求递推数列的通项公式已成为中学数学教学中不可忽视的内容之一,其解题方法也各不相同．等差数列和等比数列是中学阶段重点学习的两个典型数列,我们已经知道了这两个数列的通项公式,求解数列问题时我们可以用这两个数列的通项公式去探求其它数列的通项公式．     

用累乘法求递推数列的通项公式

给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn 1=f(n)bn的形式,当bn≠0时,变形得到(bn 1)/(bn)=f(n),则由累乘法可得     

数列

本单元知识点及重要方法本单元知识点是数列的概念、数列的通项公式及递推公式 .重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式及其前ｎ项和公式 .利用数列的前几项归纳该数列的一个通项公式 ;根据数列的递推公式求出数列的前几项 ;运用等差数列与等比数列的通项公式、前ｎ项和公式 :①知三求二 ;②将其它数列转化为等差数列或等比数列求其通项与前ｎ项和 ;根据数列的通项ａｎ 与前ｎ项和Ｓｎ 的关系 :ａ1 =Ｓ1 且ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ- 1 (ｎ≥ 2 )解决数列有关问题 ;运用倒序相加、错位相减、裂项等技巧求数列的前ｎ项和 .练习选择题1　已知数列 1 …     

由通项公式到递推公式

在数列问题中,经常需要由递推公式求出通项公式,用通项公式解决问题.但是笔者在教学实践中发现,有些数列问题却需要由通项公式求出递推公式,用递推公式解决问题.下面试举几例,以引起读者对此类问题的足够重视. 例1 设n≥2,且n∈N.证明: (1992年日本奥林匹克试题)