巧用辅助圆解课外练习题

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题为:如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法是:△ABC是等腰三角形.证明∵BP=CQ,∴S_(△BAP)=S_(△CAQ).即1/2AB×APsin∠BAP=1/2AC×AQsin∠CAQ.∵∠BAP=∠CAQ,     

一道课外几何题的另证

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题:如图1,设P,Q是线段BC上的两个点,且BP=CQ,A为BC外的一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法用到初中生并未学     

等腰三角形证法优化一例

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题为:如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判断△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法是:△ABC是等腰三角形.     

等腰三角形的两种证法

<正>题目如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一点,若∠BAP=∠CAQ,则△ABC是等腰三角形.思路1由BP=CQ,A为BC外一点,尝试通过作辅助线(高)建立∠BAP、∠CAQ与三角形面积之间的联系,再由BP=CQ联想到BQ=CP,由S_(△BAP)=S_(△CAQ)联想到S_(△BAQ)=S_(△CAP),尝试两次运用"等底等高三角形的面积相等"来解决问题.     

两道高中数学竞赛题的另证

<正>例1(2017年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛第12题)如图1,设I为△ABC的内心,△AIB的外接圆为⊙O,CA、CB与⊙O交于点P、Q.证明:AQ∥BP.分析如图1,欲证AQ∥BP,需证∠CAQ=∠CPB.注意到A、P、B、Q四点共圆,∠CQA=∠CPB,即需证∠CAQ=∠CQA,需证CA=CQ.只需证明△AIC≌△QIC即可.证明如图1,连接CI,IQ.     

三角形等角共轭点的一个有趣性质

文 [1 ]给出如下有趣恒等式 :设 P、Q是△ ABC的等角共轭点(∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA) ,则有AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC=1 ( 1 )今给出 ( 1 )式的如下不等式推广 :命题　设 P、Q是△ ABC内任意两点 ,则AP . AQAB . AC BP . BQAB . BC CP . CQAC . BC≥ 1 ( 2 )等号当且仅当∠ PAB =∠ QAC,∠ PBC =∠ QBA,∠ PCB =∠ QCA时成立 .证明　如图 1 ,顺次以 BC,CA,AB为对称轴 ,作△ PBC,△ PCA,△ PAB的对称三角形△ A′BC,△ B′CA,△ C′AB.连结A…     

一道平几例题的演变及其应用

现行初中几何第二册第85页上有这样一道例题: 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证AB·AC=AD·AE 本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADc即得结论。不难看出,若点D在线段BC上,点E在BC(∠A所对的弧)上运动但仍保持∠BAE=∠DAC时,则在运动过程中,△ADC与△ABE的相似关系依然成立,于是仍有AD·AE=AB·AC。特别,当AD成为△ABC∠的∠A平分线时,点E必成为AD的延长线与外接圆的交点,这     

一道竞赛题的证法集锦

一九八六年全国初中数学竞赛题第三题: “设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图)。当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论”。这是一道源于教材、高于教材、难度适中、证法灵活、既考基础、又考能力的不可多得的好题;也是一道较好的综合训练的范例。本刊编辑部仅在十天之内就先后收到不少本题证法的来稿。现根据湖北洪湖县侯书清、湖南常德地区刘茂林、安徽宿州陈新昌、辽宁锦州张士贞、贵州普安石又栋、广西百色地区叶添蕃、湖北钟祥县贾双喜等同志的来稿综合成如下12种证法,供同行参考。首先不难猜想其为等腰三角形(此题实际上是由《几何》第一册P_(119)习题10演变而来),再看其证明:     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

数学问题解答

20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

由一道几何题的新证得出的结论

<正>文[1][2][3][4]中都有如下一道几何题.如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=1/2∠A,求证:BE=CF.证明作∠A的平分线交BC于点D,连结DE、DF,则∠DAF=∠DAE=1/2∠A,∵∠1=∠2=1/2∠A,∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2,∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分別共圆,于是BD=DF,DE=DC,     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

对1842号问题及一个相关内容的再探讨

1842号原题 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF是等腰三角形,且∠EDF=90°.求△DEF面积的最大值.贵刊在2010年第4期上登载了该问题的解答.现对该问题及一个相关内容再作如下探讨,用另一种方法求出△DEF面积的最大值和最小值.如图1,△DEF就是符合题设的三角形.过点D分别作DM⊥CA、DN⊥CB,垂足分别为M、N.因为∠DME=∠DNF=90°,DE＝DF,又易证∠1=∠2,所以Rt△DME≌Rt△DNF.所以DM=DN.所以点D在∠ACB的平分线上.当DE⊥CA时,必有DF⊥CB,反之亦然.这时直接可得点D在∠ACB的平分线上.又点D在AB上,因此,点D是唯一的.由此可知:所有符合题设的△DEF均以唯一的点D为公共顶点.连结CD,CD即为Rt△ABC的角平分线.     

一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

一个角何时不小于它的射影角

定义　设∠ BAC的两边分别与平面α相交于 B、C,AO⊥α于 O,我们把∠ BOC叫做∠ BAC在平面α上的射影角 (图 1 ) .对上述两个角 ,不少人误认为总是射影角大 ,为更正这一错误 ,我们借助圆将空间问题平面化 ,简捷地给出一个角何时不小于它的射影角 .定理　在∠ ABC为钝角的△ ABC中 ,BC 平面α,AO⊥α于 O,以直线 BC为轴 ,依不超过 90°的旋转角将△ ABC及其外接圆旋转到平面α内 ,点 A到达 A′位置 ,则有 :( 1 )当点 O在圆上时 ,∠ BAC=∠ BOC;( 2 )当点O在圆外时 ,∠ BAC >∠ BOC.证明　设 AH⊥ BC于 H ,由∠ B为钝角…     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

一个数学问题的简证

<正>题目^[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA[1]如图,已知△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,p是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA.求证:PA²/b2/b²+PB2+PB²/c2/c²+PC2+PC²/a2/a²=1.证明如图所示.设射线AP交△PBC的外接圆☉O_1于点A',分别过点P、A'作直线AB的垂线,垂足为E,F,连接A'C,A'B.则∠PA'C=∠PBC=∠PCA=∠PAB.