用三角不等式的特殊性解题

对于任意实数a和乙均有不等式 !:+乙}({n!+}乙{这是著名的三角不等式。 特别地:i)}。十7)1二J。J+!川令合二·乙>o 11)}a+西)<}a卜}乙{岭令a·lj相似文献   

智慧窗

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介绍解几中的一个三角形面积公式

点c(:3刁3)到直线l:夕~肠十b(七一夕 b~奋1公式 设爪二,.夕,).川:2.,2)为直线l:夕一七 b上的两个不同点,以,3.夕:)为直线l外一点.则△A肥的面积是O)的距离:汀=}打:一夕3十川 丫l 护①、一合②“一合xZ一x:}·{衍3一y3 bl;所以s△一告}“。卜“一合,不2一。’们平PXZ一XI}川(当(二3.y3)为原点){无J:一夕3 b{ 丫l 无2┌─┐│斤│└─┘证明如图1日川一丫(二2一二,)2 (,2一,J)2 ,/1,,2一,l、2苏,一不“习‘宁场砰i万’一音‘一,·‘七厂“3 “’把,3一0.,3一0代入书式得J一l:2一:,}们不砰 S。一2应用李l:,一:1卜}。}艺’甲尹中学数学(湖…     

数学诡辩

费今夫定趣的、楠海份若。>气证:,.’在等比数烈。.,a’一琢,‘一名bZ,…b川r。‘,b:吞矿ox‘.“,口,:’.不:嚼络里‘一爪”一答书‘ b.、o’LI,苏,) U“a.气今l二吞 g泣则嫌等六不成立.另一方彻,利用公式S,奋聋冬立竺卫东~g又是成立(fI沂石“:一0 q. l一q。一。一口_己生亡{ l一。一‘娜(2),. .a众另一个轰度来肴,孟=。,a:争尸.’. q.a名,q.杯!O一lb一场.b‘缈题华饨谬奴=石公式可知二升,(亡)淤’__杏“入习~乙一、.’.︸卜,少卜夕 了嵌蝗(:)’一城含广a,b几而当。,句付,这.书等式就不成立了:解的过醒中j(t李并护一招异一12,飞:永、碗成…     

一题三变看“弦长”

<正>圆的弦长问题是圆的重点内容之一.求弦长一般有两种途径:(1)代数法:即由弦所在的直线与圆的方程联立,求出弦两端点的坐标,然后利用两点间的距离公式求弦长(有时由根与系数的关系,设而不求,利用弦长公式求弦长);(2)几何法:由于弦心距、弦长的一半和圆的半径可以构成一个直角三角形,因此可借助于勾股定理(即几何法)求得弦长.下面结合例题对比学习这两种解题方法.     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

两道三角习题的开拓

高,1,代数I几J卜于(乙种.卜)圣,1(,:;f列5,I,一于,8石(2):kill了幻宝样两j亘题日:八一△九六(’s一rl,1一十5川六+5川(’一:。、、,、斗。、(,、半、 (’’〔)5.万厂。、()5./1+f(,51考+:伙)卜(’,一。,、,n毕、1,飞李、,,、粤2)八曰口,l对爹!戊、)!l(l!两个等式,小f义对】满足条件注+召+〔‘二角形的二的下「奋在飞一十一介十‘’二二的条件卜 内角成命一,注、召、(’也}(lI两个等式还「.IL丈Jl二拓JJ艾·般J乍三式: s川(2,z一l)l十、一1(2,z一1)I夕十5 irl(2,,一1)(、一‘一,,一。“,、兰午上击《,s全午上、、、尘共井(·(、 5111艺,…     

引入参数证明不等式

,有些不等式的证明,可以巧妙地引入参数,构造一个参数不等式,使参数在不等式证明过程中起到一个桥梁作用. 例l已知a、b、e任R+,且a+b+c=1,求证:抓而雨万十石丽石十了而萍下“了下.诬明设‘>.,构造不等式如下::了丽石干1=石勿币滓万、.声、声.舀..矛.、了、,l,_。._‘气二r气r十1加十1, 乙同理‘了〔丽干万《喜伊+:sb+:).,一一’-一’一~生、一’-一’一‘ ,_、.。,l,J.__ ‘了l刀C州卜l版如二.气r,.1习亡十l, 乙 (1)+(:)+(3)得.‘(刀画不I+了丽石干1.+了1茱落万)(3) ‘备,+‘当且仅当‘“(4)Z瓦翻万二石丽干面. .了了‘,.、一~.。』.一丫…     

三角形不等式浅析

三角形不等式是指 !}。一1乙】!成!a+b{镇】al一卜!儿!,a,b任C 在中学数学教学中,人们对不等式中等号成立的条件颇为注意,而对不等号(即}!。}一}川!相似文献   

上期课外练习参考解答

!初一年级}1.’:艺3一/5一乙7一45“, 艺1 艺9一/2 艺6一乙4 乙8一90”, 匕l 匕2 匕3 艺4 艺5 乙6 艺7 艺8 乙9 =3X45。 3X900=4050.2.过A作AD// BC交圆A于D,延长BA交圆A于 E,则艺DAC一艺C,艺EAD一匕B.公共部分的面 积之和为一个半圆的面积. 设圆的半径为二cm,则喜二xZ一8二,,2一16, 乙②③ 工一4.故圆的半径为4cm. “ b一c d, (a b)2=(c d)2.即aZ Zab bZ=。2 dZ Zed.又aZ bZ=cZ 己,, ab一cd. (a一b)2=aZ bZ一Zab 一c2 dZ一Zcd一(c一d)2. a一b一c一d或a一b一d一c①若③成立,则有a=。,b*d.着③成立,则有a=d,b二‘..,.总有aZo…     

某些二位数平方的简捷计算

一、十位数字是9的二位数的平方,可以用公式(9。乙)2一(。。乙场).万’来计算.b=其中1,2,3,一9。 ·表示添写符号.如9,8一98;9‘37一937. b表示b关于10的补数:即b一10一b如2一8. ·bZ表示乙的补数的平方所得的二位数字的数,如奈82-.42- 例1 .98=9604·(xo一8)“一·2“=04,扩62=36=(9·8一8·82=(95一2)·22 932=(9·3一3).3多一(93一7),7“=5649 ,二、十位数字是5的二位数的平方,可用公式 (5·b)“=(25+b)·bZ来计算. 例2 .5a2=(5.8)2一(25一卜8)·8“=3364, 53“=(5,3)“=(25+3)·3“=2809. 三、十位数字为4的二位数的平方,可用公式(4,乙…     

综合检测

出的一、选择皿(木颁共45分,水子小题盯卜.每小题给四个结,色中只一仃一个是正确的)1.设。,二一2”〔N.则(。 1),可得不同的仇的个数为(). (A)3个.(I〕)礴石‘:(C)5个.,各支都(D)6个.2.渐近线声少夕=与曲线卜}一!川二。有交点的汉曲线方程,,生-’J一少--马是(、.(B)、,:一欠2二     

一组几何不等式

〔题目〕 1。已知(图1)△.刁BC求证:.组B+.之C>BC(图1) 2。‘已知(图2)在△汪日C中,D是月B边上任意一点。求证:刁刀十月C>DB+DCa(’+!)产b图︶A践。么 厂卜万IB 井C J二、、,︸‘︸11 司B C"乙 B不lJ用了有。关线段.六△.、DC中,利用,题结论,即三角形二边关系定理,叮得到三个不等〕忆: 刀D、一理C>DC迁) 刀D+。C>月C迄〕 月C+DC>月口区, 显然①与(半)最吻合,J二是川娜,将它们比较,发现①,IJ不等式右边需加”召,一于是得到. 月D+/JC+D.召>DC+D刀 即:刁召+/1C>CD+尽D 于是,问题得山一。 3.要证明.」.召+,叹C>以召+OC户丁…     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

等角对等边的联想

J~。一_,,、卜叫,_一石c滩刀二X=刀刀=万,田上还引理翔x二一.a,一石2 a所以I7c=。’一价 aa 即得减:四a欠 我们知道,在△ABC中,若匕过二乙B,则a=杏,即a一石二O,不妨记 f,(a,石,c)二a一乙.①则f,(a,石,c)是△ABC,匕A二匕B的边长恒等式。自然,我们容易想到 若艺A二2乙B,则边长恒等式厂:(a,乙,c)二? 若乙A=3乙B,则f。(a,丢,c)=? fZ(a,乙,c)=a’一石’一石c. (2)若乙且=3匕B,如图3,作匕B滋D=2a,设BD=万,‘一/由引理易知//B .阮一a 一一 X若艺月二:匕B,则f.(a,石,c)本文将对此作些探索,为此,二?我们先证(,李2,a,一石1 a 引理在△月BC…     

是一解还是两解?

1992.9 厂万丽兀7一VI一‘丽少’=丽· .’.在△AOB中,由余弦定理得 (2;)2一12+l:一21·l _36.COSZa~二;.护 乙勺 月3一5 一一"一l故侧面展开图的圆心角0为:”一于 ____3‘_.。._.。。.石bU’二二二X石bU一二乙工b一 O解法二令2一arcsi·器,则SinZa~2425Sin口·COS口 12一丽’ 12s‘nacOSa~丽sinZa十eosZa一1rl21t 由 样 这 3s,na=万解得{ 4c韶a万35根据sin。一于,得狈”面展开图的圆心角0为;“一于 3‘_‘,__.。。.石bU“一~;‘X沙七U-一乙1勺- 勺或0一于·_。。_4、。,。。。。。。dbU’=二二州入J勺U一~乙石匕- 匕 纵观上述…     

对一道习题几种不同解法的探讨

用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5…     

Poisson积分的几个证明

圆内调和函数u(z)=u(re‘口)=u(戈,夕)的Poisson积分表示式u(r’“)=l不2,,:‘、1一rZ—l刁“吸e’了J万eseses~eseseses--一-二;,a梦Z兀汉0’‘1~Zrcos气势一口)+r‘O(r<1(1) 0簇0(2兀是一个重要公式,其中“(z)在单位圆1川<1内调和,在闭圆}川(1上连续,它在很多理论实际问题都有重要的应用。这里给出几个证明。 1.用Cauchy公式来证明 在一些教科书中都用这种方法来证明,这里试图讲得更严格些。 对于在圆{川<王内的调和函数。(习二。(x,y),利用线积分可以构造出它的共扼调和函数:·‘·,=·(二,,,一J(,,,)(0,0)乡“Jy a“aX十—aV 刁X因…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

一道范例的教法所得

例:已知:如图l,O以约半径为,、(’‘唾直一J几直径A丑弄疏是仪撇中点,弦Bl心几么点.求B加勺长. 解:‘.’〔丫)土AB一丁七以点材是(丫冶勺中点,则〔’O=BO=r’ OM二C对二会,BM二了厂十(会)“ 再=万一r. (图l)-ADB与△M〔)刀为,,△, 方法一:(利用比例线 段求值)连结几I>.易有△且△ADBo。△MOB于是有器一儡,…BD一竿,几(图2) 万法二:(利用相交弦定理求值)如图2,延长〔丫玫③口f及 …伽一音,.’.材E二普。由相交弦定理得: I)叼·几fB一〔几I.M乙、导D、一奈I.…BD一BM+MD一零;一十典拿 ‘1气少 4裤I一二.不一’几r.D (图3)=…