A three-parameter model describing the behaviour of a viscoelastic liquid in a tangential annular flow

A three-parameter model describing the shear rate-shear stress relation of viscoelastic liquids and in which each parameter has a physical significance, is applied to a tangential annular flow in order to calculate the velocity profile and the shear rate distribution. Experiments were carried out with a 5000 wppm aqueous solution of polyacrylamide and different types of rheometers. In a shear-rate range of seven decades (5 10^–3 s^–1 < < 1.2 10⁵ s^–1) a good agreement is obtained between apparent viscosities calculated with our model and those measured with three different types of rheometers, i.e. Couette rheometers, a cone-and-plate rheogoniometer and a capillary tube rheometer. a physical quantity defined by:a = {1 – ( / ₀)}/ ₀ (Pa^–1) - C constant of integration (1) - r distancer from the center (m) - r ₁,r ₂ radius of the inner and outer cylinder (m) - v _r local tangential velocity at a distancer from the center (v _r = _r r) (m s^–1) - v ₂ local tangential velocity at a distancer ₂ from the center (m s^–1) - shear rate (s^–1) - local shear rate (s^–1) - ₁ wall shear rate at the inner cylinder (s^–1) - dynamic viscosity (Pa s) - _a apparent viscosity (_a = / ) (Pa s) - _a1 apparent viscosity at the inner cylinder (Pa s) - ₀ zero-shear viscosity (Pa s) - infinite-shear viscosity (Pa s) - shear stress (Pa) - _r local shear stress at a distancer from the center (Pa) - ₀ yield stress (Pa) - ₁, ₂ wall shear-stress at the inner and outer cylinder (Pa) - _r local angular velocity (s^–1) - ₂ angular velocity of the outer cylinder (s^–1)     

Die Viskosität reiner Flüssigkeiten in der Nähe der kritischen Temperatur

Zusammenfassung In einem Druck-Temperatur-Diagramm mit der Viskosität als Parameter sind die Isoviskosen reiner Flüssigkeiten in der Nähe der kritischen Temperatur in guter Näherung Geraden. Unter Berücksichtigung dieses phänomenologischen Sachverhaltes sowie einiger Gesetzmäßigkeiten am kritischen Punkt gelingt es, eine Gleichung für dieses Zustandsgebiet aufzustellen, in der nur zwei Konstanten den Meßwerten angepaßt werden müssen. Diese Gleichung wird auf Wasser und Para-Wasserstoff angewandt. Bei Wasser gibt die Gleichung im Bereich von 300 °C bis 374 °C, in dem bisher keine international anerkannte Interpolationsgleichung existiert, die Werte der internationalen Rahmentafel [1] innerhalb deren Toleranz wieder. Sie ist daher als Interpolationsgleichung für diesen Bereich geeignet.

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The viscosity of pure liquids near the critical temperature

In a pressure-temperature-viscosity-diagram, the lines of constant viscosity of pure liquids near the critical temperature are straight to a good approximation. This phenomenological fact as well as some laws at the critical point lead to an equation for the viscosity in which only two constants have to be adjusted to the experimental values. The equation is evaluated for water and parahydrogen. The results for water are within the limits of the International Seeleton Tables in the region between 300 °C and 374 °C where no international equation for interpolation exists.

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Formelzeichen T Temperatur - T^* Grenztemperatur für Bereich I - T' Grenztemperatur für die Restviskosität - T_kr kritische Temperatur - T_N normierte Temperatur; T_N=T/T_kr - A₀(T) Viskosität auf der Siedelinie - A₁(T) Steigung der Isothermen im ,p, T-Bild - p Druck - P_kr kritischer Druck - P_N normierter Druck: p_N = p/p_kr - Psätt Druck auf der Siedelinie bei der TemperaturT - Dichte - _kr kritische Dichte - _N normierte Dichte; _N=/kr - Viskosität - _kr kritische Viskosität - _kr normierte Viskosität; _N=/_kr - Restviskosität - (_N) Funktion in Gl. (3) - (_N) Punktion in Gl. (3) - Ri Riedel-Zahl nach Gl. (4) - spezifisches Volum     

An exactly solvable Lorentz gas

We introduce and analyse a new and special case of the Lorentz gas or the Wind-Tree model of Ehrenfest. This model (which has a number-theoretic character) is shown to exhibit normal diffusion, the diffusion coefficient C() being obtained in closed form as a function of the density . The function C() turns out to be an entire analytic function of , in spite of the model's non-classical high density behaviour. A collision expansion which is appropriate for high densities is also given.     

Der Spannungs- und Verschiebungszustand drehsymmetrischer Membrane mit beliebig gekrümmter Meridiankurve

Zusammenfassung Die Einführung von Zylinderkoordinaten (x, r, ) in die Gleichgewichtsbedingungen der Schnittkräfte bzw. in die Beziehungen zwischen Verzerrung und Verschiebungen am differentialen Schalenabschnitt ermöglicht die Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes von drehsymmetrischen Membranen mit beliebig gekrümmter Meridiankurve auf die Integration einer einfachen, linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine charakteristische FunktionF bzw. zurückzuführen. Eine geschlossene Lösung und damit eine Darstellung der Schnittkräfte und Verschiebungen durch explizite Formeln ist bei harmonischer Belastung cosn für zwei Funktionsgruppen=x ² und=x ^–3 möglich. Im Sonderfall der drehsymmetrischen und der antimetrischen Belastung mitn=0 undn=1 gelten die Gleichungen der Schnitt- und Verschiebungsgrößen für eine beliebige Meridianfunktion=(). Die Betrachtungen der Randbedingungen offener Schalen bei harmonischer Belastung geben über die infinitesimalen Deformationen einer drehsymmetrischen Membran mit überall negativer Krümmung Aufschluß.     

Die Eigenschaften von Wasser und Wasserdampf nach „The 1968 IFC Formulation“

Zusammenfassung Diese Arbeit enthält Druck-Temperatur-Diagramme für 6 spezifische Zustandsgrößen und 16 erste Ableitungen und zusammengesetzte Größen von Wasser und Wasserdampf, die nach einem Gleichungssystem berechnet wurden, das unter dem Namen The 1968 IFC Formulation for Scientific and General Use von der 6. Internationalen Konferenz für die Eigenschaften des Wasserdampfes angenommen wurde. Einige Konsequenzen der thermodynamischen Konsistenz, das Verhalten im kritischen Gebiet und bei sehr kleinen Drücken werden diskutiert. Ferner werden die kinematische Viskosität und die Temperaturleitfähigkeit, sowie eine Beziehung zwischen dynamischer Viskosität und isenthalpem Drosselkoeffizienten angegeben.

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This paper contains pressure-temperature diagrams for 6 properties and 16 first derivatives and combined terms for water and steam. These were calculated from a system of equations accepted by the 6^th International Conference on the Properties of Steam, and called The 1968 IFC Formulation For Scientific and General Use. Some consequences of thermodynamic consistency, and the behaviour in the critical region and at very small pressures are discussed. Further, the kinematic viscosity and the thermal diffusivity and a relation between the dynamic viscosity and the throttling coefficient at constant enthalpy are given.

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Bezeichnungen (s. auch Tabelle 1) k Temperaturleitfähigkeit:k=/c _p - p Druck - r spezifische Verdampfungsenthalpie:r=h –h - T thermodynamische oder Kelvin-Temperatur - t Celsius-Temperatur - dynamische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit - v kinematische Viskosität:=/ - Dichte:=1/v Indices und Sättigungswerte des Dampfes und der Flüssigkeit Differenz der Sättigungswerte, z. B. h=h –h     

Der Einfluß variabler Stoffwerte auf natürliche laminare Konvektionsströmungen

Zusammenfassung Es wird zunächst die laminare natürliche Konvektionsströmung in der Nähe eines ebenen Staupunktes und für die senkrechte Platte betrachtet. Die Stoffgesetze werden in der Umgebung des Bezugszustandes T (Umgebungstemperatur) in Taylor-Reihen entwickelt, deren Koeffizienten dimensionslose Stoffkennzahlen — wie die Prandtl-Zahl — sind, die als freie Parameter in die Rechnung eingehen. Wandschubspannung und Wärmeübergang lassen sich für beliebige Stoffgesetze als Potenzreihe eines Parameters universell angeben. Der Entwicklungsparameter ist dabei ein Maß für die Stärke der Wärmeübertragung. Ein Vergleich mit der Methode der Stoffwertverhältnisse ermöglicht die Bestimmung der dort vorkommenden Exponenten für alle Stoffe, ohne daß auf empirische Daten zurückgegriffen werden muß. Aus den Ergebnissen wird dann eine nicht-rationale Näherungsbeziehung für beliebige zylindrische Körper gewonnen.

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The influence of variable fluid properties to free convection laminar flows

First the free convection laminar flow near a plane stagnation point and at the vertical flat plate is investigated. The functions describing the temperature dependence of the fluid properties are expanded as Taylor series at the reference state T (ambient temperature) whose coefficients are dimensionless fluid properties like the Prandtl number, but are not specified for particular fluids. Shear stress and heat flux at the wall are given for arbitrary temperature dependence of the fluid properties as universal power series of a parameter. This perturbation parameter describes the strength of heat transfer. Comparison with the property-ratio method shows how the exponents in that method depend on the fluid properties without any need of empirical information. From these results a non-rational approximation for arbitrary cylindrical bodies is developed.

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Formelzeichen c _a integrierter Reibungsbeiwert, Gl. (64) - c _f Reibungsbeiwert, Gl. (49) - c _p spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck - d Transformationsparameter, Gl. (6) - e Exponent bei der Verteilung der Wandtemperatur, Kap. 2 - f( _s ) dimensionslose Stromfunktion, Gl. (7) - f ₀ f(_s) für konstante Stoffwerte - f _1i dimensionslose Stromfunktionen, Gl. (25) i=1,2, 3, 4 - g Erdbeschleunigung - Gr Grashof-Zahl, Kap. 4 - K _a Kombination aus dimensionslosen Stoffwerten, Gl. (24) - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (13) bis (17) i=1, 2; j=,,,c - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (20) bis (23) i=1,2; j=, - L Bezugslänge, Tabelle 1 - L _i Linear-Operatoren, Gln. (37) bis (40) i=1,2,3,4 - m _i Exponenten, Gl. (59), i=1, 2, 3, 4 - Hilfsfunktionen, Gl. (53), i=1,2, 3, 4 - n _i Exponenten, Gl. (60), i=1,2,3,4 - Hilfsfunktionen, Gl. (55), i=1, 2, 3, 4 - N _u Nusselt-Zahl, Kap. 6 - Pr ^*,Pr Prandtl-Zahl, Tabelle 1 - q _w Wärmefluß an der Wand, Gl. (50) - Q _w Gesamt-Wärmefluß an der Wand, Gl. (63) - T absolute Temperatur - u _b Bezugsgeschwindigkeit, Kap. 4 - u, v Geschwindigkeitskomponenten - x, y kartesische Koordinaten - Kontur-Neigungswinkel, Bild 1 - Volumenausdehnungskoeffizient, Gl. (13) - Entwicklungsparameter, Gl. (15) - Viskosität - _s Ähnlichkeitsvariable, Gl. (6) - ( _S ) dimensionslose Temperatur, Tabelle 1 - ₀ (_S) dimensionslose Temperatur bei konstanten Stoffwerten - _1i imensionslose Temperaturen, Gl. (26) i=1,2, 3, 4 - Wärmeleitfähigkeit - kinematische Viskosität - Dichte _W Wandschubspannung - Stromfunktion - _i Exponenten, Gl. (69) i=,,,c_p Indizes c.p. konstante Stoffwerte - L an der StelleL ^* - m mittlerer Wert - W Wand - mgebungszustand     

Boundary layer diagnostics by means of an infrared scanning radiometer

A computerized infrared (IR) scanning radiometer is employed to characterize the boundary layer development over a model wing, having a Göttingen 797 cross-section, by measuring the temperature distribution over its heated surface. The Reynolds analogy is used to relate heat transfer measurements to skin friction. The results show that IR thermography is capable of rapidly detecting location and extent of transition and separation regions of the boundary layer over the whole surface of the tested model wing. Thus, the IR technique appears to be a suitable and effective diagnostic tool for aerodynamic research in wind tunnels.List of symbols c airfoil chord - c _f local skin friction coefficient = 2/( V ²) - c _p specific heat coefficient at constant pressure - h local convective heat transfer coefficient - Nu Nusselt number = h x/ - Nu _c Nusselt number based on airfoil chord = h c/ - Pr Prandtl number c _p / - Q _j wall heat flux due to Joule heating - Q _l heat flux loss - Re Reynolds number V x/ - Re _c Reynolds number based on airfoil chord = V c/ - St Stanton number = h/c _p V - T _w wall temperature - T _aw adiabatic wall temperature - V velocity of the free stream - x chordwise spatial coordinate - angle of attack - thermal conductivity coefficient - dynamic viscosity coefficient - mass density - wall shear stress     

On the numerical computation of Generalized Burmester Points

This note describes a procedure for plane higher-curvature path analysis and synthesis. All coefficients have been written in terms of elementary instantaneous invariants. This facilitates the numerical computation of Generalized Burmester Points for a moving link of a planar mechanism in a non-symmetric position. FORTRAN subroutines have been written and a numerical example is provided.

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Sommario Si descrive una procedura di analisi e sintesi per meccanismi piani generatori di traiettoria con approssimazione del quarto ordine. Nella formulazione adottata, l'impiego degli invarianti istantanei elementari consente di valutare analiticamente i termini delle equazioni per la ricerca dei punti generalizzati di Burmester. Sono state implementate subroutines in linguaggio FORTRAN ed è stato sviluppato un esempio numerico.

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Nomenclature P _o velocity pole - inflection circle diameter - angle of rotation of the moving body - r _f ,r _m radii of curvature of the fixed and moving polodes, respectively - dl infinitesimal arc length measured on the polode - a,b coordinates ofP _o , in the canonical reference system¹ - a _i ,b _i i-th derivatives ofa andb, respectively, computed at the initial position (i.e. =0). These are the elementary instantaneous invariants - h,* polar coordinates of the moving point in the canonical reference system (0 ) - radius of curvature of the point-path trajectory - _E radius of curvature of the evolute of the point-path trajectory - _E ^/(2) radius of curvature of the evolute of the evolute of the point-path trajectory A canonical reference system is a rectangular right-handed cartesian system having they-axis directed toward inflexion pole, origin in the velocity pole.     

Experimental investigation of the creeping motion of a drop in a vertical tube

New experimental data regarding the motion of a drop along the axis of a vertical tube, filled with another highly viscous liquid, are obtained. The experiments are realised with sufficiently large drops for an internal circulation to develop and also for different pairs of fluids; the preponderant role of the gravity on the drop shape and consequently on its terminal velocity is pointed out. Moreover, by means of a visualization technique, details on the flow both inside and outside the drop are given.List of symbols g gravity acceleration - r distance from the drop center - R equivalent radius of the drop, i.e. the radius of the sphere having the same volume as the drop - R _EQ radius of the equatorial section of the drop - R _T tube radius - L _AX half length of the drop - U ₀ terminal velocity of the drop - P _s Poiseuille number= U _{0 e} /4 g R ² - Fr Fronde number = U ₀ ² _e /2 g R - Re Reynolds number = 2 U ₀ R _e / _e - E _o Eötvös number = 4g R ²/ - deformation parameter = _e U ₀/ - apparent density of the suspended liquid= | _i – _e | - _i viscosity of the suspended liquid - _e viscosity of the suspending liquid - drop-to-tube radius ratio = R/R _T - _EQ equatorial drop-to-tube radius ratio = R EQ/R _T - interfacial tension     

Some measurements in a binary gas jet

Simultaneous measurements of species volume concentration and velocities in a helium/air binary gas jet with a jet Reynolds number of 4,300 and a jet-to-ambient fluid density ratio of 0.64 were carried out using a laser/hot-wire technique. From the measurements, the turbulent axial and radial mass fluxes were evaluated together with the means, variances and spatial gradients of the mixture density and velocity. In the jet near field (up to ten diameters downstream of the jet exit), detailed measurements of u/ ₀ U ₀, v/ ₀ U₀, u v/ ₀ U ₀ ² , u ² / ₀ U ₀ ² and v ² / ₀ U ₀ ² reveal that the first three terms are of the same order of magnitude, while the last two are at least one order of magnitude smaller than the first three. Therefore, the binary gas jet in the near field cannot be approximated by a set of Reynolds-averaged boundary-layer equations. Both the mean and turbulent velocity and density fields achieve self-preservation around 24 diameters. Jet growth and centerline decay measurements are consistent with existing data on binary gas jets and the growth rate of the velocity field is slightly slower than that of the scalar field. Finally, the turbulent axial mass flux is found to follow gradient diffusion relation near the center of the jet, but the relation is not valid in other regions where the flow is intermittent.     

Viscous properties of calcium carbonate filled polymer melts

Summary The viscous properties of calcium carbonate filled polyethylene and polystyrene melts were examined. The relative vircosity _r defined in the previous paper gave an asymtptotic value( _r)_l in the range of the shear stress below 10⁵ dyne/cm².( _r)_l of the calcium carbonate filled system was higher than that of the glass beads or glass balloons filled system at the same volume fraction of the filler. Maron-Pierce equation with ₀ = 0.44 was able to approximate the( _r)_l — relationship. However, it was deduced here that the high value of( _r)_l of calcium carbonyl filled system was due to the apparent increase of and this increase was attributed to the fixed polymer layer formed on the powder particle. By assuming the particle as a sphere with a diameter of 2 µm, the thickness of the fixed polymer layer was estimated as about 0.17 µm. The yield stress estimated from the Casson's plots increased exponentially with.

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Zusammenfassung Es wurden die viskosen Eigenschaften von Polyäthylen-und Polystyrol-Schmelzen untersucht, die mit Kalziumkarbonat-Teilchen gefüllt waren. Für die relative Viskosität _r, wie sie in einer vorangegangenen Veröffentlichung definiert worden war, ergab sich bei Schubspannungen unterhalb 10⁵ dyn/cm² ein asymptotischer Wert( _r)_l. Dieser war bei den mit Kalziumkarbonat gefüllten Schmelzen höher als bei Schmelzen, die bis zur gleichen Volumenkonzentration mit Glaskugeln oder Glasballons gefüllt waren. Die ( _r) _l —-Abhängigkeit ließ sich durch eine Gleichung nachMaron und Pierce mit ₀ = 0,44 beschreiben. Es wurde jedoch geschlossen, daß der hohe( _r)_l-Wert der mit Kalziumkarbonat gefüllten Schmelzen auf eine scheinbare Zunahme von zurückzuführen ist, verursacht durch eine feste Polymerschicht auf der Teilchenoberfläche. Unter Annahme kugelförmiger Teilchen mit einem Durchmesser von 2 µm ließ sich die zugeordnete Schichtdicke zu 0,17 µm abschätzen. Die mittels der Casson-Beziehung geschätzte Fließspannung ergab eine exponentielle-Abhängigkeit.

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With 7 figures and 1 table     

Pulsatile blood flow through arterioles

An analytical study was made to examine the effect of vascular deformability on the pulsatile blood flow in arterioles through the use of a suitable mathematical model. The blood in arterioles is assumed to consist of two layers — both Newtonian but with differing coefficients of viscosity. The flow characteristics of blood as well as the resistance to flow have been determined using the numerical computations of the resulting expressions. The applicability of the model is illustrated using numerical results based on the existing experimental data. r, z coordinate system - u, axial/longitudinal velocity component of blood - p pressure exerted by blood - _b density of blood - µ viscosity of blood - t time - , displacement components of the vessel wall - T _t0,T ₀ known initial stresses - density of the wall material - h thickness of the vessel wall - T _t,T stress components of the vessel - K _l,K _r components of the spring coefficient - C _l,C _r components of the friction coefficient - M _a additional mass of the mechanical model - r ₁ outer radius of the vessel - thickness of the plasma layer - r ₁ inner radius of the vessel - circular frequency of the forced oscillation - k wave number - E ₀,E _t, , _t material parameters for the arterial segment - µ _p viscosity of the plasma layer - Q total flux - Q _p flux across the plasma zone - Q _h flux across the core region - Q mean flow rate - resistance to flow - P pressure difference - l length of the segment of the vessel     

Shear softening and thixotropic properties of wheat flour doughs in dynamic testing at high shear strain

Shear softening and thixotropic properties of wheat flour doughs are demonstrated in dynamic testing with a constant stress rheometer. This behaviour appears beyond the strictly linear domain (strain amplitude ₀ 0.2%),G,G and |^*| decreasing with ₀, the strain response to a sine stress wave yet retaining a sinusoidal shape. It is also shown thatG recovers progressively in function of rest time. In this domain, as well as in the strictly linear domain, the Cox-Merz rule did not apply but() and | ^*())| may be superimposed by using a shift factor, its value decreasing in the former domain when ₀ increases. Beyond a strain amplitude of about 10–20%, the strain response is progressively distorted and the shear softening effects become irreversible following rest.     

Approximate solutions for drag coefficient of bubbles moving in shear-thinning elastic fluids

The drag coefficient for bubbles with mobile or immobile interface rising in shear-thinning elastic fluids described by an Ellis or a Carreau model is discussed. Approximate solutions based on linearization of the equations of motion are presented for the highly elastic region of flow. These solutions are in reasonably good agreement with the theoretical predictions based on variational principles and with published experimental data. C _D Drag coefficient - E ^* Differential operator [E ^{* 2} = ²/² + (sin/ ²)/(1/sin /)] - El Ellis number - F _D Drag force - K Consistency index in the power-law model for non-Newtonian fluid - n Flow behaviour index in the Carreau and power-law models - P Dimensionless pressure [=(p – p ₀)/₀ (U /R)] - p Pressure - R Bubble radius - Re ₀ Reynolds number [= 2R U /₀] - Re Reynolds number defined for the power-law fluid [= (2R) ⁿ U ^2–n /K] - r Spherical coordinate - t Time - U Terminal velocity of a bubble - u Velocity - Wi Weissenberg number - Ellis model parameter - Rate of deformation - Apparent viscosity - ₀ Zero shear rate viscosity - Infinite shear rate viscosity - Spherical coordinate - Parameter in the Carreau model - ^* Dimensionless time [=/(U /R)] - Dimensionless length [=r/R] - Second invariant of rate of deformation tensors - ^* Dimensionless second invariant of rate of deformation tensors [=/(U /R)²] - Second invariant of stress tensors - ^* Dimensionless second invariant of second invariant of stress tensor [= / ₀ ² (U /R)²] - Fluid density - Shear stress - ^* Dimensionless shear stress [=/ ₀ (U /R)] - _1/2 Ellis model parameter - ₁ ^2/* Dimensionless Ellis model parameter [= _1/2/ ₀(U /R)] - Stream function - ^* Dimensionless stream function [=/U R ²]     

The shear viscosity dependence on concentration,molecular weight,and shear rate of polystyrene solutions

The solution viscosity of narrow molecular weight distribution polystyrene samples dissolved in toluene and trans-decalin was investigated. The effect of polymer concentration, molecular weight and shear rate on viscosity was determined. The molecular weights lay between 5 10⁴ and 24 10⁶ and the concentrations covered a range of values below and above the critical valuec ^*, at which the macromolecular coils begin to overlap. Flow curves were generated for the solutions studied by plotting log versus log . Different molecular weights were found to have the same viscosity in the non-Newtonian region of the flow curves and follow a straight line with a slope of – 0.83. A plot of log ₀ versus logM _w for 3 wt-% polystyrene in toluene showed a slope of approximately 3.4 in the high molecular weight regime. Increasing the shear rate resulted in a viscosity that was independent of molecular weight. The sloped (log)/d (logM _w ) was found to be zero for molecular weights at which the corresponding viscosities lay on the straight line in the power-law region.On the basis of a relation between _sp and the dimensionless productc · [], simple three-term equations were developed for polystyrene in toluene andt-decalin to correlate the zero-shear viscosity with the concentration and molecular weight. These are valid over a wide concentration range, but they are restricted to molar masses greater than approximately 20000. In the limit of high molecular weights the exponent ofM _w in the dominant term in the equations for both solvents is close to the value 3.4. That is, the correlation between _sp andc · [] results in a sloped(log _sp)/d(logc · []) of approximately 3.4/a at high values ofc · [] wherea is the Mark-Houwink constant. This slope of 3.4/a is also the power ofc in the plot of ₀ versusc at high concentrations. a Mark-Houwink constant - B ₁,B ₂,B _n constants - c concentration (g · cm^–3) - c ^* critical concentration (g · cm^–3) - K, K constants - K _H Huggins constant - M molecular weight - M _c critical molecular weight - M _n number-average molecular weight - M _w weight-average molecular weight - n sloped(log _sp)/d (logc · []) at highc · [] - PS polystyrene - T temperature (K) - shear rate (s^–1) - critical shear rate (s^–1) - viscosity (Pa · s) - ₀ zero-shear viscosity (Pa · s) - _s solvent viscosity (Pa · s) - _sp specific viscosity - [] intrinsic viscosity (cm³ · g^–1) - dynamic viscosity (Pa · s) - | ^*| complex dynamic viscosity (Pa · s) - angular frequency (rad/s) - density of polymer solution (g · cm^–3) - ₁₂ shear stress (Pa) Dedicated to Prof. Dr. J. Schurz on the occasion of his 60^th birthday.Excerpt from the dissertation of Reinhard Kniewske: Bedeutung der molekularen Parameter von Polymeren auf die viskoelastischen Eigenschaften in wäßrigen und nichtwäßrigen Medien, Technische Universität Braunschweig 1983.     

Concentration and velocity measurements in the flow of droplet suspensions through a tube

Two optical methods, light absorption and LDA, are applied to measure the concentration and velocity profiles of droplet suspensions flowing through a tube. The droplet concentration is non-uniform and has two maxima, one near the tube wall and one on the tube axis. The measured velocity profiles are blunted, but a central plug-flow region is not observed. The concentration of droplets on the tube axis and the degree of velocity profile blunting depend on relative viscosity. These results can be qualitatively compared with the theory of Chan and Leal.List of symbols a particle radius,m - a/R, non-dimensional particle radius - c volume concentration of droplets in suspension, m³/m³ - c ₅ stream-average volume concentration of droplets in suspension, - D 2 R, tube diameter, m - L optical path length, m - L _ij path length of laser beam through thej-th concentric layer when the beam crosses the tube diameter at the point on the inner circumference of thei-th layer, m - N exponent in Eqs. (3) and (4) - Q volumetric flowrate of suspension, - R tube radius, m - Re _{S S} D/µ, flow Reynolds number - r radial position (r = 0 on a tube axis), m - r r/R, non-dimensional radial position - v velocity of suspension, m/s - v v/v _S , non-dimensional velocity - v ₀ centre-line velocity of suspension (r = 0), m/s - v _S Q/ R ², stream-average velocity of suspension, m/s - x streamwise position (x = 0 at tube inlet), m - x x/D, non-dimensional streamwise position - _c density of continuous phase, kg/m³ - _d density of dispersed phase, kg/m³ - _s stream-average density of suspension, kg/m³, equals density when homogenized - _d - _c, phase density difference, kg/m³ - µ_c viscosity of continuous phase, Pa · s - µ_d viscosity of dispersed (droplet) phase, Pa · s - µ_d/_c, viscosity ratio - interfacial tension, N/m This work was financially supported by the National Science Foundation (USA) through an agreement no. J-F7F019P, M. Sklodowska-Curie fund     

Über eine Anwendung der Hillschen Minimalbedingung in der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung Auf dem gezeigten Weg wurden die Spannungen _r , , _z berechnet, wobei an Stelle der Veränderlichen r und die dimensionlosen Größen x _i = r _i /, x=r/ und x _a = r/ in die Rechnung eingeführt wurden. Die Funktion (r, ) wurde dann für den Bereich 0,45x_i1,0, 1x_a 2 tabuliert. Hierbei zeigte sich, daß der Rechenaufwand bei der Durchrechnung eines Einzelbeispiels nach der Charakteristikenmethode wesentlich geringer ist. Bei der Anlage von Zahlentafeln zur Berechnung von Spannungen für beliebige Durchmesserverhältnisse ergab sich, daß der aufgezeigte Wege zu geringerem Rechenaufwand führt. Für das Beispiel r _i /r _a=1/2 wurden die Rohraufweitungen bestimmt und diese Werte noch durch praktische Versuche nachgeprüft. Hierbei ergab sich, daß die theoretisch bestimmten Rohraufweitungen in dem Streubereich der gemessenen Rohraufweitungen lagen, wobei Messungen an drei Rohren aus demselben Material und demselben Rohrverhältnis durchgeführt wurden. Insbesondere stimmten die theoretischen Rohraufweitungen auch mit den gemessenen Rohraufweitungen überein, wenn das Rohr entlastet wurde und die Restdeformationen bestimmt wurden.Daraus kann geschlossen werden, daß durch die berücksichtigte lineare Verfestigung die tatsächlichen Verhältnisse außerordentlich gut erfaßt werden.Der sogenannte Platzdruek eines Rohres kann auf rein rechnerischem Weg nicht erfaßt werden, da für =r_a die geometrische Gestalt des Rohres instabil wird. Bei den Versuchen zeigt sich, wenn der Innendruck über p _i ( =r **** _a ) gesteigert wird, daß das Rohr schon bei geringen Überschreitungen aufzubauchen beginnt.Meinem Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. R. Grammel zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Marangoni-convection in a rotating liquid container

In a partially filled and constantly spinning container in zerogravity condition there arises under the action of an axial temperature gradient a thermo-capillary convection. This so-called Marangoni convection has been treated analytically for a directly imposed temperature gradient upon the free liquid surface and also for a constant but different temperature at the upper and lower disc wall. The streamfunction and circulation have been obtained, from which the velocity distribution could be determined.

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Marangoni-Konvektion in einer in einem Behälter rotierenden Flüssigkeit

Zusammenfassung Durch das Vorhandensein eines axialen Temperaturgradienten ergibt sich in einem mit konstanter Geschwindigkeit rotierenden teilweise mit Flüssigkeit gefüllten Behälter eine thermalkapillare Korrelation. Diese sogenannte Marangoni-Konvektion wird analytisch behandelt für eine lineare axiale und eine beliebige axiale Temperaturverteilung auf der Flüssigkeitsoberfläche. Stromfunktion und Zirkulation werden analytisch bestimmt. Daraus ergeben sich die Geschwindigkeitsverteilungen in radialer, zirkumferentialer und axialer Richtung.

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Nomenclature a radius of cylindrical container - b radius to free liquid surface - h height of container - I _m, K_m Modified Besselfunktions of first and second kind and orderm - k _j roots of bi-cubic equation (24 b) - k=b/a diameter ratio of location of free liquid surface and container wall - r, , z polar cylindrical coordinates - T(r, z) temperature distribution of liquid - u, v, w radial-, circumferential-, and axial velocity of the liquid, resp. - thermal expansion coefficient - dynamic viscosity of liquid - =/ kinematic viscosity - density of liquid - surface tension of liquid - _r , _rz shear stresses - (r, z) circulation - (r, z) stream function - ₀ speed of spin of container about axis of symmetry     

Stofftransport im zwei-dimensionalen Diffusor oder Konfusor

Zusammenfassung Es wird der Stofftransport für ideale und viskose Flüssigkeit in einem Diffusor-oder Konfusorkanal mit gleicher und ungleicher Wandkonzentration behandelt. Dabei wird eine Näherungslösung für die konvergierende oder divergierende viskose Strömung im Kanal verwandt und ein analy-tisches Verfahren benutzt, das auf einer unendlichen Reihe der Eigenfunktionen des Stofftransportes bei idealer Flüssigkeit beruht. Die Eigenwertgleichung ergibt eine Determinante von unendlicher Ordnung.

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Mass transport in a two-dimensional diffuser or confusor

For ideal and viscous liquid the mass transport has been treated in a diffusoror confusor channel with equal and different wall concentration. An approximation is employed for the viscous flow velocity, while an analytical method in form of an infinite series of the eigenfunctions of the ideal flow mass transport problem is used. A determinant of infinite order is obtained for the determination of the eigenvalues.

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Formelzeichen a Radius am Einlaß - c Konzentration - c _w Wandkonzentration,c ₁ undc ₂ bei Wandkonzentrationen ungleicher Größe - c _i Anfangskonzentration am Einlaßr=a - D Diffusionskonstante - k ^* homogener chemischer Reaktionskoeffizient - p Druck - (r, ) polares Koordinatensystem - ¯u Radialgeschwindigkeit der Flüssigkeit - v ₀ Stromvolumen/Zeiteinheit - Öffnungswinkel der beiden Wände - _n ² , _n ² Eigenwerte - Flüssigkeitsdichte - dynamische Viskosität der Flüssigkeit - =/ kinematische Zähigkeit     

Flow stability of a Grad-model liquid layer on an inclined plane

A study is presented of the flow of stability of a Grad-model liquid layer [1, 2] flowing over an inclined plane under the influence of the gravity force.It is assumed that at every point of the considered material continuum, along with the conventional velocity vector v, there is defined an angular velocity vector , the internal moment stresses are negligibly small, and in the general case the force stress tensor _kj is asymmetric. The model is characterized by the usual Newtonian viscosity , the Newtonian rolling viscosity _r, and the relaxation time = J/4 _r, where J is a scalar constant of the medium with dimensions of moment of inertia per unit mass, is the density. It is assumed that the medium is incompressible, the coefficients , _r, J are constant [2].The exact solution of the equations of motion, corresponding to flow of a layer with a plane surface, coincides with the solution of the Navier-Stokes equations in the case of flow of a layer of Newtonian fluid. The equations for three-dimensional periodic disturbances differ considerably from the corresponding equations for the problem of the flow stability of a layer of a Newtonian medium. It is shown that the Squire theorem is valid for parallel flows of a Grad liquid.The flow stability of the layer with respect to long-wave disturbances is studied using the method of sequential approximations suggested in [3, 4].