用数学思想方法解读解析几何问题

数学思想方法是数学知识的精髓 ,是知识转化为能力的桥梁 ,只有灵活地运用数学思想方法 ,才能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力 ,形成数学素养 .本文就数学思想方法在解析几何问题中的应用做一归类解析 .1　方程思想所谓方程思想 ,就是在解决某些数学问题时 ,先设定一些未知数 ,根据题设中各量间的制约关系 ,列出方程 (组 )解决问题 .这里的未知数沟通了量与量之间的联系 ,实现问题的转化 .例 1　自点A(- 3,3)发出的光线L射到x轴上 ,被x轴反射 ,其反射光线所在直线与圆x2 +y2 - 4x - 4 y+7=0 相切 ,求光线L所在直线的方程 …     

一个错误的结论

《数学通报》2006年第10期的文章《重视高中女生数学能力培养教学举措初探》中指出：“如何求函数y=x/1-3x的图象与其反函数（图象）的交点坐标？引导学生从反函数的性质考虑问题，利用原函数与反函数的图象交点落在直线y=x上，那么不必求出反函数，只需解方程x=x/1-3x即可迅速获解．”     

a_(n+1)=p(n)a_n~2+f(n)a_n+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .an+1 =p( n) .a2n+ f ( n) .an+ r ( p( n)≠0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法 ,比较法 ,消去法 ,综合法 ,放缩法 ,数学归纳法 .例 1　数列 x1 ,x2 ,… ,由 x1 =12 ,xn+1 =x2n + xn( n =1,2 ,… )给出 ,Sn与 Pn 分别是数列 y1 ,y2 ,y3 ,… ,前 n项的和与积 ,这里 y…     

参数思想及参数方法在解析几何中的应用

当直接寻找变量x，y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量t（称之为参数）．分别建立起变量x,t与参数t的直接关系。从而间接地知道了x与y之间的关系，这种数学思想称为参数思想．通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法称为参数方法．     

对一道课本例题的联想——过定点与圆及圆锥曲线的切线的性质探究

1 教学案例 人教版2003年全日制普通高级中学教科书(必修)数学第2册(上)第7.6节圆的方程中的例2是:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. 本题有定义法、方程法、平面几何法、向量法等多种方法,所得切线方程为x0x+y0y=r2.     

函数记号和简单函数方程

在数学竞赛中我们经常碰到一些有关函数的试题,这是因为函数概念是数学中一个重要概念。深刻理解函数概念和灵活地利用函数的性质,对于发展创造性思维能力有着十分重要的作用。在这一讲里,我们准备加深对函数记号的理解,并介绍一些简单函数方程的解法。一、函数记号“y是x的函数”这一数学语言,我们通常用记号y=f(x)表示,这里f表示的是x与y之间的一种对     

一道易错题的“深度思考”

1 困惑题目:设点P(x0,y0)是⊙O:x2+y2=r2外一点,则直线l:x0x+ y0y=r2与⊙0的位置关系为___.对于这么一个简单题目,有的同学无从下手,有的同学错误百出,更让人疑惑的是有的同学竟然一错再错.这一教学现象引发笔者去思考学生产生“错误”的各种原因,去思考解决问题的对策与方法.     

圆锥曲线的一个性质的探究

函数的奇偶性是数形结合的一个典型．一方面，函数图象关于原点或y轴对称，体现了一种几何特征；另一方面f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）则反映了数的关系．在教学中，我们不仅要让学生明白函数的奇偶性的概念。有效地建立数与形之间的密切联系。更要让学生领悟其中蕴含的数学思想，体验发现问题解决问题的过程．本着这一出发点，笔者在进行奇偶性定义教学时，尝试了探究教学．通过引导学生自主探究获得知识，并运用相关知识解决问题．     

集合学习中要注意的几个问题

集合是我们进入高中学习数学首先接触的重要数学概念之一,也是中学数学中最基本、运用最多的概念和数学工具之一.学好它,很有必要.本文介绍学习集合时必须注意的几个问题.1.正确区分点集与数集集合是由元素构成的,认清集合元素是表示点还是数对于处理集合之间的关系及进一步认识集合都非常重要.例1设集合A={x|y=x2-1},B={y|y=x2-1},C={(x,y)|y=x2-1},则下列关系中不正确的一个是()(A)A∩C=.(B)B∩C=.(C)B A.(D)A∪B=C.分析集合A是数集,是二次函数y=x2-1的自变量组成的集合,易知A=R;集合B也是数集,是二次函数函数值组成的集合,易知B…     

节外生枝处能有暗香来——研究性学习的一个案例

1问题的提出在高三复习到点与圆、直线与圆的位置关系时,笔者为学生出了一道全日制普通高级中学教科书《数学》第二册(上)(试验修订本.必修)上的例题(P75例2):已知圆C的方程为x2 y2=r2,求经过圆上一定点M(x0,y0)的切线方程.由于是高三复习课,强调的是知识的前后联系,使知识形成     

类比——高考数学题中的一个亮点

类比是数学推理的一种重要形式 ,它的实质是根据两对象之间的相似 ,把信息从一个对象转移到另一个对象 .类比不仅在数学发现方面有着显著的作用 ,在解题教学、考查学生能力等方面也同样有显著的效果 .近几年高考尤其是上海数学试题做了有益的尝试 ,收到了很好的考查效率 .1 .互为反函数图像与性质的类比2 0 0 2年上海 1 2题 .已知函数 y =f(x) (定义域为点D ,值域为A)有反函数 y=f- 1 (x) ,则方程 f(x) =0有解x =a,且 f(x) >x(x∈D)的充要条件是 y=f- 1 (x)满足f- 1 ( 0 ) =a,且f- 1 (x) 相似文献   

改进数学課堂教学的几点体会

提高课堂教学质量是提高教学质量的最主要的环节。课堂教学有着极其丰富的内容,这里写出几点体会,不妥之处,敬希指正。 (一) 讲清楚基本概念,传授好基础知识正确地理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生对基本概念模糊不清,就无法接受更深的知识,培养他们解决各种实际问题的技能技巧更是落空。因此,讲清概念,使学生正确地理解数学概念,对于提高数学教学质量具有极为重要的意义。 1.在课堂教学中,对基本概念必须准确地透彻地讲解清楚,使学生既知其然,又知其所以然;教师的语言必须清晰、严密,板书必须工整、有计划。例如指数函数y=a~x,先从实例引入,交代清楚a,x,y各是什么量,为什么a必须是一个正的常量?这是因为从实     

课堂教学中如何实施研究性学习

随着课程标准的颁布 ,教学改革的不断深入 ,人们对教学应教给学生什么以及教学中如何实现教学目标作了不同层次的探讨 .研究性学习正成为新的教学理念 ,通过课堂教学 ,培养学生的创新意识和应用意识 .本文借助于一个常见的问题 ,在教学中设计成一个研究性课题 ,浅尝研究性课题的设计 .1　尝试运用类比、归纳、猜想 ,对问题进行推广数学中的推广 ,是一种培养学生创造性的有力工具 ,可以将学生领进知识的神秘殿堂 .例 1　已知 :x ,y∈R+,比较M =x2x + y+ yx + 2 y,N =xx + 2 y+ y2x + y的大小 .解　考虑M -N =x2x + y+ yx + 2 y- xx + 2 y -…     

函数概念辨析

同济大学数学教研室主编的高等数学教材给出如下的函数定义：定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一个数X∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．我们在教学过程中发现：对正在学习高等数学的低年级学生,此定义会产生一些歧义,给正确理解函数概念带来一定的困难．这主要是因为定义1中“确定”两字意义不明确造成的．换句话说,给一个工,到底y有确定的多少个数值时,y与工的关系为函数关系．下面来看几个例子．例1在直角坐标系中,考虑方程x2＋y2=a2,因当x取a或一a时,有确定的y值O与x对应…     

2007年高考山东卷数学试题分类评析

2007年高考山东卷数学科依据《普通高中数学课程标准(实验)》和《2007年新课程标准数学科考试说明》实施命题.命题注重了考查学生的数学基础知识、基本技能、数学思想方法和数学能力,以及数学应用意识和创新意识.命题既稳中求变,又体现了新教材理念.试题结构稳定,在内容上注重了必修内容与选修内容的有机联系,注重了数学学科知识的内在联系.下面我们从试题中选出一些有代表性的题目,采用文理兼顾的方法进行分类评析.1在函数中着重考查了函数的解析式、算律、图象例1(文科卷第6题)给出下列三个等式:f(xy)=f(x) f(y),f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f…     

数学教师对习题的选择和使用

数学是研究客观物质世界数量关系及空间形式的科学 .根据现代社会对数学教育的基本要求 ,数学教育要保证学生对数学基础知识全面、系统的掌握 ,训练学生的基本技能 ,发展学生的数学思维和提高他们的数学能力 ,最终达到学生知识教养、思想素质和智能全面和谐的发展和提高 .从数学本身固有的特征来看 ,要通过解题并从解题中探索规律学会思考 ,才能提高学生的数学能力 ,首先可以通过模仿、实践 ,认识理解、掌握并熟练的运用相关知识 .所以 ,教师对习题的选择是非常重要的 .在教学中 ,一些教师在选题时采用题海战术 ,过分地注重“量”而忽视“质…     

函数的奇偶性定义的探究性教学

函数的奇偶性是数形结合的一个典型.一方面,函数图象关于原点或y轴对称,体现了一种几何特征;另一方面f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)则反映了数的关系.在教学中,我们不仅要让学生明白函数的奇偶性的概念,有效地建立数与形之间的密切联系,更要让学生领悟其中蕴含的数学思想,体验发现问     

一个函数最值模型在实际问题中的应用

应用题是指有实际背景或有实际意义的数学题 .强调数学的应用和培养学生的数学意识 ,是中学数学教学的任务之一 .如何将一个实际问题转化为数学问题 ,即所谓的“数学建模”是一个难点问题 .我们在教学中应有意识地对学生的建模能力加以培养 .下面就来看一个函数最值的几何模型 .图 1已知 :函数 y =( x - a) 2 b2 λ| x| ,(λ∈ ( 0 ,1 ) ,ab≠ 0 ,a,b为常数 ) .如图 1 ,设点 P( x,0 ) ,Q( a,b) ,则| PQ| =( x - a) 2 b2 ,| PO| =| x| ,不妨设 ( a,b)在第一象限 ,则显然 x≥ 0时 ,y =| PQ| λ| PO|有最小值 .现过 O点作∠ XOA =…     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

一致性命题和赋值法

二无命题. (ⅰ)意思是:存在一个x,使每一个y都有关系p(x,y).这类命题值得重视. 如果x是实数,y是实数集子集Y的元素,p(x,y)表示x>y,那么,(ⅰ) 式表示下列命题: