m阶等差数列的一个充要条件

文[1]给出并证明了等差数列的一个有益的性质:如果数列a_1,a_2,…,a_(n+1)成等差数列,则当自然数n≥2时,下式总成立a_1-C_n~1a_2+C_n~2a_3-…十(-1)~nC_n~na_(n+1)=0。文[2]证明了等差数列这个性质的逆命题也成立。本文拟将     

三类组合公式——兼谈等差数列的有关性质

本文将这三个公式推广,得到三类有用的组合公式,也是给出了等差数列的有关性质。 (一) 对公式(1)推广如下: 公式一:如果a_1,a_2,a_3,…,a_(n=1)是公差为d的等差数列,那么     

一道高考题的再推广

2006年江苏高考第21题:设数列{a_n},{b_n},{c_c}满足:b_n=a_n-a_(n 2),c_n=a_n 2a_(n 1) 3a_(n 2)(n=1,2,3,…),证明{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且b_n≤b_(n 1)(n =1,2,3,…).     

等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

“伪等差(比)数列”及其应用

<正>一、伪等差数列和伪等比数列的定义1.伪等差数列如果一个数列从第二项开始,每一项与后一项的差大于等于(小于等于)同一个常数,那么这个数列就叫做伪等差数列,这个常数叫做伪等差数列的伪公差d.a_(n+1)-a_n≥d,a_n≥a_1+(n-1)d(1)a_(n+1)-a_n≤d,a_n≤a_1+(n-1)d(2)     

一道课本习题的推广

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3．5第7题．已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列．笔者通过探究,得到如下推广结论推广1已知数列{a_n}成等比数列,S_n是其前     

均值不等式的两个(对称的)简证——《不等式选讲》教学札记

1问题的缘起新教材《不等式选讲》(人教A版选修4—5)介绍均值不等式是分两步进行的,先用数学归纳法证明引理:如果n(n为正整数)个正数a_1,a_2,…,a_n的积a_1a_2…a_n=1,那么它们的和a_1+a_2+…+a_n≥n.(P_(52)例4)再作一个代换(P_(53)探究2)得到.     

1994年四川省高中数学联合竞赛决赛试题及解答

一、填空题(共5个小题,每小题7分,共35分) 1.等差数列{a_n)与等比数列{b_n}的首项是一个相等的正数,且a_(2n 1)=b_(2n 1),则a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系是a_(n 1)≥b_(n 1)。     

类比拓展 变中寻不变

<正>下面两道题"形似":题1 等差数列{a_n},{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n,若对任意的n∈N*,总有S_n/T_n=2n/(3n+1),则a_(11)/b_(11)=_____.题2等差数列{a_n},{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n,若对任意的n∈N*,总有S_n/T_n=2n/(3n+1),则a_(11)/b_(10)=_____.     

浅谈等差数列的几何意义及其应用

在等差数列{a_2}中,a_n=a_1+(n-1)d和S_n=na_1+1/2n(n-1)d即a_2=dn+(a_1-d)……(1)和S_n=1/2dn~2+(a_1-1/2d)n……(2)分别是特殊的一次函数和二次函数。(1)式的图象是直线y=dx+(a_1-d)上一系列的点(1,a_1),(2,a_2),…,(n,a_n),…,的集合,(2)式的图象是抛物线y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x上的一系列的点(1,S_1),(2,S_2),…,(n,S_n),…,的集合。根据上面的这种几何意义,对于等差数列,我们可以得到下面的一些关系。     

数列问题的解法与背景探析

<正>题目(2013年广东省高考理科数学第19题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2S_n/n=a_(n+1)-1/3n²-n-2/3,n∈N2-n-2/3,n∈N^*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a_1+1/a_2+…+1/a_n<7/4.本题考查了递推公式、等差数列的概念、通项公式、裂项相消法求数列的前n项和、放缩法证明不等式等知识.要求a2,需要建立关于a2的方程,考查了方程思想.要求数列的通     

等差数列的一个有趣的性质

我们知道,如果a_1,a_2,a_3成等差数列,由等差数列的定义,就有:a_2-a_1=a_3-a_1由此可得a_1-2a_2 a_3=0 (A) 如果a_1,a_2,a_3,a_4成等差数列,应用上面的结论,对这个数列的前三项有a_1-2a_2 a_3=0 (1)而对它的后三项又有a_2-2a_3 a_4=0 (2)将(1)减去(2),便得     

从研究性学习到研究性考试——2008年江苏卷第19题例话

原题(1)设a_1,a_2,…,a_n是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来顺序)是等比数列:     

关于极大线性无关组及相关系数求法的理论依据

<正> 《工科数学》1988年第3期第79页《关于极大线性无关组求法的一个问题》一文中谈到:已知a_1、a_2、…、a_(?)是P~(?)中一组向量,若将a_1,a_2,…,a_(?)依次写成行,组成s×n矩阵,     

用创造新数列的思想解题——数列教学举隅

关于《数列》一章,教材只重点讲述了等差数列和等比数列。然而有关数列的习题,类型丰富,姿态各异.学生因此目迷五色,不知怎么下手。通过个人多年教学实践,认为在这一章的教学过程中,应突出培养学生用创造新数列的思想解题,增强他们创造新数列的意识,提高他们敏锐地识别和合理的构造新数列的能力。这样,以不变应多变,才有可能较迅速地找到解题途径,收到举一反三的效果。现举例如下: 例1 已知数列{a_n},a_1=1,a_2=3,a_4=15,a_(n+1)=pa_n+q(p>0),求p、q及a_n。分析显然数列{a_n}即不是等差数列,也不是等比数列。但由已知条件不难求得p=2,q=1于是得到递推式a_(n+1)=2a_n+1。面前摆着的问题是:     

一道课外练习题的一般解法

<正>《中学生数学》2015年第3期《课外练习题》初一年级的第2题为;已知:n个正整数按其规律排列如下:a_1,a_2,a_3,a_4…,a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n,原答案共3行,技巧性强,如同"走钢丝",使人不易想到,下面笔者给出该题的一般解法供参考:解a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,将后     

等差数列与斜率公式

等差数列的通项公式可变形为a=d+(a_1-d).当 d≠0时,a 是关于 n 的一次式,而且是以自然数集为定义域的函数 a_n=f(n).在图象上是直线 y=dx+(a_1-d)上横坐标为正整数的点的集合.而这条直线的斜率为 d,纵截距为 a_1-d.于是等差数列与直线斜率的横向关系打通了:某些等差数列问题可化     

用行列式证三数成等差数列

定理如果a_1、b_1、c_1、三数成等差数列(a_1、b_1、c_1为互不相等的三数),那么a_2、b_2、c_2三数成等差数列的充要条件是证明 (充分性):设a_1、b_1、c_1三数成等差数列的公差为d,则b_1-a_1=d=c_1-b_1,c_1-a_1=2d。     

条件有余的高考付题

一九八三年全国高等学校招生统一考试数学付题理工医农类第八题所给的条件有多余的,兹分析如下。原题是:“已知数列{a_n}中,a_1=3/5,a_2=31/100,并且数列:a_2-1/10a_1,a_3-1/10a_2…,a_n-1/10a_(n-1),…是公比为1/2的等比数列 (条件A),而数列:lg(a_1-1/2a_1),lg(a_3-1/2a_2),…lg(a_n-1/2a_(n-1)),…是公差为-1的等差数列(条件B)。 (1)求数列{a_n}的通项公式: