有心栽花花不开,无意插柳柳成阴——漫谈“圆外切四边形的一串性质”的探索历程

一年前拜读了《中学数学》2009年第6期中“圆内接四边形的一个美妙性质”的短文,深受启发,使我联想到圆外切四边形是否也有类似的性质,通过研究原命题的对偶命题,于是提出猜想:被圆外切四边形对角线分成的四个三角形的内心共圆.通过几何画板的验证,使我加深了这是个真命题的信心,经过一段时间的尝试,却始终无果.然而在苦苦探索的过程中却意外发现了圆外切四边形的一串性质,现将这些性质的结论与证明和盘托出,以飨读者.     

欧拉定理的一个推论及其应用

《全日制十年制高中数学课本》(第三册)《数学归纳法的应用》一节中,有两个命题: 例1 平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点。求证这n个圆把平面分成     

一个三角形几何不等式的推广

首先从第3届国际数学奥林匹克IMO竞赛命题中一个三角形几何不等式出发,将问题推广到对更一般的三角几何不等式及多边形几何不等式的研究.然后利用凸函数的Jensen不等式,得到更一般的三角形几何不等式及圆外切多边形几何不等式,推广了原命题.     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

争鸣

问题 问题151 把下列命题改写成“若p则q”的形式： 相切两圆的连心线过切点．（人教版第一册（上）习题1．7第1题） 观点1（教师教学用书）若两圆相切，则它们的连心线经过切点．     

两道竞赛题的联系及引申

1996年全国中学生数学冬令营第一天第一题是：命题1如图1，设H是锐角凸ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q．求证：P、H、Q三点共线．1997年中国数学奥林匹克竞赛第四题g．命题2如图2，四边形ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q，由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线．此两题都属于证三点共线问题，文【l」给出了命题2的别证及引申．事实上，命题1与命题2是可以统一的，更确切地说命题1是命题2的特殊情况，并且它们还可以纵向引申到…     

高考题的破解之圆

<正>圆是优美的图形,倍受命题者和解题者的青睐.在处理某些数学问题时,我们可以从问题的结构特征入手,充分挖掘出问题的圆背景,再通过构圆,建立起问题的圆模型,利用圆的性质,使问题获解.兹举几道2018年高考题,以飨读者.例1 (2018年高考北京理科数学第7题)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

八省联考第7题解法赏析

<正>八省联考作为多省市第一次大规模官方命题的考试,试题原创度高,前瞻性强,可谓命题组的集大成之作．其中,选择题第7题以其考查能力,落实素养的命题特点受到一线师生的广泛认可,具有较高的研究价值．本文给出该题的几种创新解法,以供读者赏析．题目已知抛物线y²=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)²+y2+y²=1的两条切线,则直线BC的方程为()．     

慧眼识“圆”,拓宽解题路径

<正>《墨子·经上》记载:“圜,一中同长也”,其大意为圆这种图形有一个中心,从这个中心到圆上各点长度相等.这是中国古人对于圆这一几何概念的定义,用现代数学语言描述即为“圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的轨迹”.圆作为初中平面几何的重要内容,在历年中考数学试卷中均占有一席之地.从各地命题的方式来看,除了直接考察圆的基础知识以外,一类隐圆问题也备受命题者的青睐,     

一平几命题在解几中的推广

平面几何中碰到如下一命题: 原命题 过圆外一点P作圆的两条切线PE、PF.BC为圆的一条直径(不过E、F点).分别连接切点与直径的两端点交于A、D两点(如图1).则点P、A、D三点共线且垂直于该直径. 此命题用纯平几知识证明有一定难度,而用解几证明不仅筒捷明了,而且发现此命     

关于正n边形的定值命题

关于正ｎ边形的定值命题王方汉（武汉市二十三中４３００５０）本刊“圆内接正２ｎ边形的一个性质”（熊风，１９８８．１０．）一文给出了如下命题：“设Σ表示半径为Ｒ的圆内接正２ｎ边形的所有对角线与边长的２Ｐ（Ｐ为正整数且本文对此提出更一般的结论．命题１正ｎ边...     

依托旋转研究极限,函数思想破解难关

"直线与圆"是解析几何的重要组成部分,其地位同圆锥曲线.很多考试都会命制质量上乘的考查直线与圆的位置关系的题目.求解直线与圆的位置的关系的题目,最关键的是灵活转化——将题目所给的条件灵活转化为相关的式子,要能透过表象看透本质,看透命题人的目的,看透命题人想考查的知识点,看透命题人想考查的数学方法,应用之求解.题目1(2014年江苏南通五校联考,18)已知△ABC的三个顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为圆H.(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线     

四面体外接球内一点的性质

文 [1]证明了关于三角形外接圆内一点的一个命题 ,即命题　设△ABC内接于圆O ,其重心为G ,P为圆O内一点 ,AP ,BP ,CP分别交圆O于A1,B1,C1,则 APPA1 BPPB1 CPPC1=3成立的充要条件是 :点P在以OG为直径的圆上 .本文将推广这一命题至三维空间 ,证明关于四面体外接球内一点的性质     

巧妙构造 左右逢“圆”——例谈构造圆解题的五个角度

圆是中学数学中一种简单却又重要的曲线,也是高考的热点内容.在数学问题中,若能充分利用已知条件,把符合圆特征的命题通过构造圆来解决,常常可以避繁就简、化难为易,从而收到意想不到的效果.本文结合圆的常见特征,从五个角度分别构造圆,举例说明之.     

直线方程x_0x y_0y=r~2的几何意义

我们知道：若已知圆的方程是ｘ２＋ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）的切线方程为：ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２（高中平面解析几何课本Ｐ６４例３）．由此,不难得出下面命题１亦成立．命题１若点Ｍ（ｘ０,ｙ０）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上,则直线方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ...     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

圆的切线方程

圆的切线方程４３２１００湖北孝感楚环中学徐圣明《平面解析几何》中有结论：经过圆ｘ２＋ｙ２＝２’上一点Ｍ（ｘ０，ｙ０）的切线方程是ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．由此命题，我们联想到它的两个道命题：Ⅰ若点Ｐ（ｘ１，ｙ１）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上，则直线ｘ１ｘ＋ｙ１...     

巧妙构造 左右逢“圆”——例谈构造圆解题的五个角度

圆是中学数学中一种简单却又重要的曲线，也是高考的热点内容．在数学问题中，若能充分利用已知条件，把符合圆特征的命题通过构造圆来解决，常常可以避繁就简、化难为易，从而收到意想不到的效果．本文结合圆的常见特征，从五个角度分别构造圆，举例说明之．     

两道初中生可以解答的高考几何题赏析

<正>在中考数学试卷中,考查圆有关的知识的问题是每年必考内容之一.如判断已知直线是圆的切线,求证四点共圆等类型的问题,常常备受命题者青睐,常考常新.2016年全国高考数学试卷中有两道这样好的试题,运用我们初中所学的知识,同学们能顺利解决,分享如下,供同学们学习与参考!试题一(2016年全国高考新课标I数学理科卷第22题)如图1所示,△AOB是