On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

---

---

Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

Sulla funzione di Hilbert di un sottoschema zero-dimensionale diP 3

Riassunto In questo lavoro diamo una caratterizzazione aritmetica della differenza prima ΔH(X,−) della funzione di Hilbert di un sottoschema chiuso 0-dimensionaleX diP ³. Il risultato principale viene applicato per dimostrare che seX è contenuto in una completa intersezione di tipo(a, b, c), a≦b≦c allora ΔH(X, n) è decrescente pern≧a+c−2.

---

Summary In this paper we give an aritmetical characterization of the first difference ΔH(X,−) of the Hilbert function of a closed 0-dimensional subschemeX ofP ³. The main result is then applied to prove that ifX is contained in a complete intersection of type(a, b, c), a≦b≦c then ΔH(X, n) is decreasing forn≧a+c−2.

---

---

Lavoro svolto con finanziamento MPI.     

Sugli zeri delle funzioni zeta di Dedekind

Riassunto Scopo di questo lavoro è dare una formula asintotica per il numero degli zeri di ReF _K(λ+it) e di ImF _K(λ+it), dove eζ _K(8) è la funzione zeta di Dedekind associata al campo numericoK, con 0<t<T e λ numero reale fissato tale che 1−1/n<λ<1 doven è il grado diK.

---

Summary The aim of this paper is to give an asymptotic formula for the number of zeros of ReF _K(λ+it) and ImF _K(λ+it), where andζ _K(8) is the Dedekind zeta function for a number fieldK, with 0<t<T and λ fixed real number such that 1−1/n<λ<1, wheren is the degree ofK.

     

Absolute gradient bounds for nonparametric hypersurfaces of constant mean curvature

We consider the problem of determining the existence of absolute apriori gradient bounds of nonparametric hypersurfaces of constant mean curvature in ann-dimensional sphereB _R, 1>R>R ₀ ⁽ⁿ⁾ , (R ₀ ⁽ⁿ⁾ being a constant depending only onn), without imposing boundary conditions or bounds of any sort.

---

Sunto Consideriamo il problema di determinare stime a priori di gradienti di ipersuperfici non parametriche di curvatura media costante in una sferan-dimensionaleB _R, 1>R>R ₀ ⁽ⁿ⁾, (R ₀ ⁽ⁿ⁾ essendo una costante che dipende solo dan), senza imporre condizioni al contorno o limiti di altro tipo.

     

On a function associated with the Bessel functions

Summary Defining the function Δn, 1,k;x(J) asΔn, 1,k;x(J)=J _n+1(x)−J _n(x)J _n+k+1(x) associated with the Bessel functionJ _n(x), we derive a series of products of Bessel functions for Δ_{n, f, k, x} (J). Whenk=1,k;x (J) becomes Turàn expression for Bessel functions. Some consequences have been pointed out.

---

Riassunto Definita la Δ_{n, f, k, x} (J) come Δ_{n, f, k, x}, (J)=J _n+1(x)J _n+k(x)-J _n(_n+k+1)(x) associata alla funzioneJ _n(x) di Bessel, si ricava una serie di prodotti di funzioni di Bessel per Δ_{n, f, k, x}, (J). 3 Quandok=1, Δ_{n, f, k, x}, (J) diventa una espressione di Turàn per le funzioni di 2 Bessel, vengono inoltre indicate alcune altre conseguenze.

     

On moduli of vector bundles on surfaces with negative Kodaira dimension

Summary Here we prove the following result. Fix integersq, τ,a’, b’, a’ _i, 1≤i≤τ,a’, b’, a’ _i, 1≤i≤τ; then there is an integerew such that for every integert≥w, for every algebraically closed fieldK for every smooth complete surfaceX with negative Kodaira dimension, irregularityq andK _X ² =8(1−q)−τ, the following condition holds; ifX→S is a sequence fo τ blowing-downs which gives a relatively minimal model with ruling ρ:S→C, take as basis of the Neron Severi groupNS(X) a smooth rational curve which is the total transform of a fiber ofC, the total transform of a minimal section of ρ and the total transformD _i, 1≤i≤τ, of the exceptional curver; then for everyH andL∈Pic (X) withH ample,H (resp.L) represented by the integersa’, b’, a’ _i, (resp.a’, b’, a’ _i), 1≤i≤τ, in the chosen basis ofNS(X) the moduli spaceM(ZX, 2,H, L, t) of rank 2H-stable vector bundles onX with determinantL andc ₂=t is generically smooth and the number, dimension and ?birational structure? of the irreducible components ofM(X, 2,H, L, t)_red do not depend on the choice ofK andX. Furthermore the birational structure of these irreducible components can be loosely described in terms of the birational structure of the components of suitableM(S, 2,H’, L’, t’)_red withS a relatively minimal model ofX.

---

Sunto SiaX una superficie algebrica liscia completa con dimensione di Kodaira negativa e definita su un campo algebricamente chiusoK; fissiamoH eL∈Pic (X),t∈Z; siaq l’irregolarità diX e τ≔8(1−q)−K _X ^Emphasis>2 ; siaM(X, 2,H, L, t) to schema dei moduli dei fibrati vettorialiH-stabili di rango 2 suX con determinateL ec ₂=t. Si dimostra che esiste una costantew che dipende solo daq, da τ e dalla classe numerica diH e diL (ma non da char (K) o dalla classe di isomorphismo diX) tale che per ognit≥w il numero, la dimensione e ?la struttura birazionale? delle componenti irriducibili diM(X, 2,H, L, t)_red non dipende dalla scelta di char (K),K eX ma solo daq, τ e dalle classi diH eL inNS(X). Inoltre la ?struttura birazionale? di queste componenti irriducibili può essere grossolanamente descritta in termini delle componenti di opportuni spazi di moduliM(S, 2,H’, L’, t’) (doveS è un modello minimale diX).

     

Teoria di morse sul complementare d'una sottovarietà

Riassunto Si introduce la nozione di funzioni di Morse per una coppia di varietà differenziabili (X, Y) oveY è una sottovarietà chiusa inX. Si mostra che tale nozione è generica e coincide con quella di funzione stabile; inoltre si associa ad una tale funzione una equivalenza omotopica con unCW complesso. Si danno inoltre delle applicazioni.

---

Resumé On introduit la notion de fonction de Morse pour un couple de varietés differentielles (X, Y), oùY est une sous varieté fermée dansX. On démontre, comme pour le cas classique, que c'est une notion générique et que c'est la même que celle de fonction stable; en plus on associe à une telle fonction une equivalence d'homotopie deX−Y avec unCW-complexe. On donne aussi des applications.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA del C.N.R.     

Intersection theories on a non singular variety

Summary In this paper we show a relationship between the Chow ringA(X) of a non singular varietyX and its graded Grothendieck ringGK(X) by constructing explicitly a surjective ring homomorphism fromA(X) toGK(X). It is a new proof of a well-known theorem of Grothendieck.

---

Riassunto In questa nota si dimostra una relazione tra l’anello di ChowA(X) di una varietà non singolareX ed il suo anello graduato di GrothendieckGK(X), costruendo esplicitamente un omomorfismo suriettivo di anelliA(X)→GK(X). è questa una nuova dimostrazione di un noto teorema di Grothendieck.

     

I λ-Groups and almost totally injective groups

Summary We introduce the class ofI _λ-groups, where λ is an ordinal, consisting of these abelianp-groupsG such thatG/p ^σ G is almost totally injective for every ordinal σ<λ. As an application of some results onI _λ-groups, we prove an extension property of almost totally injective groups.

---

Riassunto Si introduce la classe degliI _λ-gruppi, dove λ è un ordinale, formata daip-gruppi abelianiG tali cheG/p ^σ G è quasi totalmente iniettivo per ogni ordinale σ<λ. Come applicazione di alcuni risultati sugliI _λ-gruppi, si prova una proprietà di estensione dei gruppi quasi totalmente iniettivi.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei Gruppi di Ricerca Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Su certi ideali massimali degli anelli di polinomi

Riassunto In questo lavoro vengono date alcune caratterizzazioni e condizioni di esistenza degli ideali massimali di altezza 1 degli anelli di polinomi. Uno dei risultati ottenuti è il seguente: seA è un anello noetheriano,f è un elemento massimale diA[X], allora l'ideale(f)∩A è una componente primaria isolata di (0).

---

Summary Some characterizations and existence conditions are given for maximal ideals of height 1 in polynomial rings. We note the following result: ifA is a noetherian ring,f is a polynomial such that (f) is a maximal ideal inA[X], then(f)∩A is a minimal prime which occurs in the primary decomposition of (0).

---

---

Durante quasi tutto il periodo di preparazione del presente lavoro, l'Autore ha usufruito di una botsa per laureandi del C.N.R.     

Criteri jacobiani di regolarità ed eccellenza per anelli di serie ristrette

Riassunto Nel presente lavoro studiamo il problema seguente: seA è un anellom-adico eccellente, è pure eccellente l’anello (A, m) {X ₁,…,X _n } delle serie ristrette? I risultati che presentiamo sono relativi ad anelli baseA di char. 0, ma con quozienti di char.p>0; essi sono basati su tecniche che sfruttano fortemente i criteri jacobiani di regolarità. Perciò ci riferiamo sempre ad anelli base ?di tipo analitico? (nel senso di [5], def. 1.1), cioè ad anelli muniti di un numero sufficiente di derivazioni, tale da garantire la validità di criteri jacobiani. Proviamo che, seA è locale regolare di tipo analitico eA/pA è finito come modulo su (A/pA) ^p , allora (A, m) {X ₁,…,X _n } è eccellente; evitando così, rispetto a [10] (teorema 10), ogni condizione restrittiva sui corpi residui. Estendiamo inoltre in modo naturale la definizione di anello di tipo analitico al caso non locale e troviamo condizioni necessarie e sufficienti per la permanenza dell’analiticità nel passaggio alle serie ristrette. Proviamo infine che gli anelli analitici sono eccellenti se lo sono modulop.

---

Summary In the present paper we investigate the following problem: ifA is anm-adic excellent ring, is the restricted power series ring(A, m){X ₁,…,X _n } also excellent? Here we are able to produce some results when the basic ringsA are of char. 0, but with quotients of char.p>0. We need to use techniques which exploit strongly the jacobian criteria of regularity; hence we limit ourselves to the class of the basic rings ?of analytic type? (in the sense of [5], def. 1.1), i.e. rings with enough derivations to make jacobian criteria true. We prove that, ifA is a regular local ring of analytic type andA/pA is a finite module over (A/pA)^p, then (A, m){X ₁,…,X _n } is excellent. With regard to [10], theorem 10, we can avoid every restrictive condition over the residue fields. Moreover we extend in a natural way the definition of a ring of analytic type in the case of a regular domain of char. 0 not necessarily local and we find necessary and sufficient conditions for the permanence of the analytic property in the passage to the restricted power series. At last we prove that the analytic rings are excellent if they are so modulop.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del CNR (GNSAGA).     

Sulla ergodicità delle funzioni di una variabile aleatoria

Riassunto Dato uno spazio di probabilità (Ω.F,m) ed una trasformazioneT di Ω in Ω, si studiano alcune proprietà ergodiche della trasformazione indotta da una variabile aleatoria sul suo codominio. Si dà una condizione necessaria perchè sia ancora ergodica ogni funzione di una variabile aleatoria ergodica assegnata. Si stabilisce una condizione sufficiente per la ergodicità di una variabile aleatoria.

---

Résumé Etant donné un espace de probabilité (Ω,F,m) et une applicationT mesurable de Ω dans Ω, on étudie certaines propriétés ergodiques de la application induite par une variable aléatorie sur son image. On donne une condition nécessaire pour que la fonction composée d’une variable aléatoire ergodique soit encore une variable aléatorie ergodique. On établit une condition suffisante pour l’ergodicité d’une variable aléatoire quelconque.

     

Algebraic non ruled surfaces with sectional genus equal to seven

Summary Let (X, L) be a pair consisting of a smooth, algebraic, non-ruled surfaceX and a very ample line bundleL on it. In this paper we classifyX in the casesď=2g−i, wherei=2, … 5,g is the sectional genus ofX andď is the degree of the minimal reduction ofX. We also give good estimates of the irregularityq and the geometric genusp _g. In particular we apply our results to the caseg=7.

---

Riassunto Sia (X, L) la coppia formata da una superficie algebrica, liscia, non-rigataX e un fibrato di retteL molto ampio suX. In questo lavoro diamo una classificazione diX nel caso in cuiď=2g−i, dovei=2, … 5,q è il genere sezionale diX eď è il grado della riduzione minimale diX. Diamo anche delle stime dell'irregolaritàq e del genere geometricop _g diX. In particolare applichiamo i nostri risultati al casoq=7.

     

The Helmholtz decomposition of weightedLq-spaces for Muckenhoupt weights

We consider weights of Muckenhoupt classA _q, 1<q<∞. For a bounded Lipschitz domain Ω⊂ℝⁿ we prove a compact embedding and a Poincaré inequality in weighted Sobolev spaces. These technical tools allow us to solve the weak Neumann problem for the Laplace equation in weighted spaces on ℝⁿ, ℝⁿ ₊, on bounded and on exterior domains Ω with boundary of classC ¹, which will yield the Helmholtz decomposition ofL _ω ^q(Ω)ⁿ for general ω∈A _q. This is done by transferring the method of Simader and Sohr [4] to the weighted case. Our result generalizes a result of Farwig and Sohr [2] where the Helmholtz decomposition ofL _ω ^p(Ω)ⁿ is proved for an exterior domain and weights of Muckenhoupt class without singularities or degeneracies in a neighbourhood of ϖΩ.

---

Sunto In questo lavoro consideriamo dei pesi della classe di MuckenhouptA _q, 1<q<∞. Per un dominio limitato lipschitziano Ω⊂ℝⁿ, dimostriamo una immersione compatta ed una disuguaglianza di Poincaré in spazi di Sobolev con peso. Questa tecnica ci consente di risolvere il problema debole di Neumann per l’equazione di Laplace in spazi pesati in ℝⁿ, ℝⁿ ₊ in domini limitati ed in domini esterni con frontiera di classeC ¹, che conduce alla decomposizione di Helmholtz diL _ω ^q(Ω)ⁿ per un qualsiasi ω∈A _q. Il risultato è ottenuto trasferendo il metodo di Simader e Sohr [4] al caso pesato. Quello qui presente estende un risultato di Farwig e Sohr [2] dove la decomposizione di Helmholtz diL _ω ^q(Ω)ⁿ è dimostrata per domini esterni e pesi della classe di Muckenhoupt privi di singolarità in un intorno di ϖΩ.

     

On the multiples of the adjoint divisor to an ample divisor on ad-fold

Summary LetX be a complex manifold of dimensiond≥3 andH an ample divisor onX. In this paper the global sections of the sheafA _X(n(K _X +(d-2)H)) are studied whenn∈Z, this generalizing a result by A. J. Sommese.

---

Riassunto SiaX una varietà complessa di dimensioned≥3 eH un divisore ampio suX. In questo articolo vengono studiate le sezioni globali del fascioA _X(n(K _X +(d-2)H)), doven∈Z. Cià permette di generalizzare un risultato di A. J. Sommese.

     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

---

---

Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

---

This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Approximation du temps local des processus gaussiens stationnaires par régularisation des trajectoires

Résumé Soit X un processus gaussien stationnaire non dérivable. Nous étudions le nombre de passages en zéro du processus régularisé par convolution. Sous des hypothèses peu restrictives sur X, cette variable convenablement normalisée, converge au sens de L ² quand la taille du filtre tend vers zéro. Lorsque X admet un temps local continu, la limite obtenue est le temps local.

---

Summary Let {X(t)} be a stationary non differentiable Gaussian process and let ϕ_ɛ(u=ɛ⁻¹ ϕ(u/ɛ) be an approximate identity. Setting X _ɛ(t)=X*ϕ_ɛ(t) and letting N _ɛ(T) be the number of zeros of X _ɛ in the interval [0, T] it is shown that under weak technical conditions there are constants C(ɛ) so that C(ɛ) N _ɛ(T) converges in L ² as ɛ→0. When X admits a continuous local time, the limit is the local time L(0, T) at zero of X(t).

     

Limit theorems for a recursive maximum process with location-dependent periodic intensity-parameter

We investigate the recursive sequence Z _n : =  max {Z _n − 1,λ(Z _n − 1)X _n } where X _n is a sequence of iid random variables with exponential distributions and λ is a periodic positive bounded measurable function. We prove that the Césaro mean of the sequence λ(Z _n ) converges toward the essential minimum of λ. Subsequently we apply this result and obtain a limit theorem for the distributions of the sequence Z _n . The resulting limit is a Gumbel distribution.     

A theorem on level lines of continuous functions

A property of a continuous functionf(x), x ∈ E ₂, similar to the classical intermediate value property is established. Namely, let a Jordan compactJ ⊂ E ₂ be the domain of definition off. Then, for each parametrizationx(t), 0≦t≦T,x(0)=x(T), of the boundary Fr(J) ofJ there exists a unique real λ and a unique connected component Φ of the level set {x ∈ J: f(x)=λ} with the following property: any connected subset Ω ofJ containing “opposite” points of Fr(J) (i.e. pointsx(t′) andx(t″) such thatt″−t′=T/2) has a common element with Φ.     

Some correspondence between classes of incidence structures with tolerance

Summary We consider structures (G,T,J) whereT is a tolerance (i.e. a reflexive and symmetric binary relation) on the setG (whose elements are called lines) andJ is 0271 0247 V 3 a family of sets of mutuallyT-related lines, called incidence structures with tolerance (briefly: ISTs). We study certain operators between the tolerances on a setG and certain classes of ISTs defined onG.

---

Riassunto Una struttura d'incidenza con tolleranza (brevemente IST) è una terna (G,T,J) doveT è una tolleranza (cioè una relazione binaria che sia riflessiva e simmetrica) su un insieme non vuotoG (i cui elementi sono detti rette) eJ è una famiglia di insiemi 0271 0247 V 3 di rette in mutua relazioneT. In questa nota noi studiamo certi operatori tra le tolleranze su un insiemeJ e 0271 0247 V 2 certe classi di ISTs definite suG.