一类数学归纳法能否使用问题的判定

如何用数学归纳法证明关于一些含有自然数的命题,已经有很多文章给予详细的论述。但是,关于自然数的命题,有些能用数学归纳法证明,有些不能用数学归纳法证明,能用数学归纳法证明的问题,有时由于推理中技巧上的困难,而使证明受阻,不能用数学归纳法证明的问题,盲目使用它,自然也得不到满意的结果。为克服使用数学归纳法的盲目性,提高自觉性,本文就一类形如f(n)相似文献   

数学推广的基本模式

推广是数学研究不可或缺的基本方法,是数学发现的重要工具.数学理论中,许多核心概念是通过推广现有概念而建立的,许多重要定理、公式也是通过对已知结果或命题的推广而发现的.因此,了解进而掌握推广的基本模式、培养推广意识,对促进数学发现、培养学生的创新思维能力具有重要意义.     

不等式sinA+sinB+sinC≤(3/2)3~(1/2)的推广

在许多数学竞赛资料上,有许多几何不等式证明问题,其中三角形中有关角的不等式是一个重要的类型.例如:已知A、B、C是三角形中     

构造新数列求通项

构造思想的实质是根据已知条件的特征 ,创造一个新的数学对象 ,从而实现问题的转化 .显然 ,它对培养学生的创新意识和创新能力有很重要的作用 .本文举例探讨如何构造新数列来解决求数列通项的问题 .许多数列问题中的通项主要是由递推关系给出的 .如果这个递推关系正好是 an 1=an d(d是常数 )或 an 1=qan(q是常数 ,q≠0 ) ,则非常简单 ,前者是等差数列 ,后者是等比数列 .如果是其他递推关系 ,则可以考虑转化为上述两种基本的数列 .例 1　已知 a1=1 ,an 1=2 an 1 ,求 an.分析　在递推关系 an 1=2 an 1中 ,如果没有后面的“ 1”,则此数列…     

浅谈初中数学教学过程中化归思想的运用

数学学科所涉及的思维方法 ,是在整体上指导我们审视数学问题的一般原则 ,而常用的数学方法是我们解决数学问题的有效武器 .初中数学教材蕴涵着许多重要的数学思想方法 .而化归的思想方法是最基本也是最重要的数学思想方法之一 .一、化未知为已知一个数学问题 ,总是由已知未知两部分组成 .化未知为已知是分析综合 ,是寻求解决问题途径的最基本的思想方法 ,这种思维方法概括起来就是 :由“已知”看“可知”(综合过程 ) ,由“未知”看“需知”(分析过程 ) ,若“可知”与“需知”沟通好了 ,解题途径就找到了 ,这里就充分运用了化归的思想方法 .…     

函数与极限方法在数列中的应用

上海市2010年春季高考数学第23题为一道数列题.此题以递推公式揭示了数列首项和常数因子对数列后续项的影响,值得学习与探究.笔者围绕题中数列,利用函数与极限方法探究数列初始值的设定及其影响,进行了以下研究. 题 已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axn/xn+1(a为常数).     

一类不定方程整数解的探求与应用

不定方程的整数解的探求及与此相关的数学问题,历来是初中数学竞赛的热点问题．笔者发现许多不定方程可化归为下面的一般形式:ma nb=pab q(*)(其中a、b表示未知整数,m、n、p、q表示已知整数且p≠0)．     

例析整体代入法

整体代入法是初中数学中常见的方法.如已知x+1/x=a,求x/3+1/x~3的值(a为常数),通过分解因式,然后整体代入,就可以轻松得到结果.整体代入法要根据已知,通过观察构造累加等方法,灵活进行转化,从而达到简化运算的目的.它也是高中数学常用的一种方法请看下面几个例子.例1数列{an}中     

巧用常数特征解题五法

在解题过程中,同学们常习惯于从变量的关系去探求解题思路和方法,很少留心常数的作用.其实常数也是由已知向未知转化的催化剂,若能充分挖掘数学问题中常数的多维特征,展开联想,往往会产生顿悟,从而获得简洁、独到的解法.1将常数换成字母例1(2005年江苏竞赛题)已知x=12(2005n1 2005-1n)(n∈N ),则(x-1 x2)n的值是()(A)2005-1.(B)-2005-1.(C)(-1)n2005.(D)(-1)n2005-1.分析若将x直接代入计算,过程比较繁;若将较大的常数换成字母a,可使问题得到简便解决.解令2005=a,则x=12(a1n a-1n),有(a1n)2-2xa1n-1=0,解得a1n=x 1 x2(负根舍去),而x-1 x2=-…     

一道数列题的简证

在许多书刊中可以见到这样一道数列题: 已知正项数列{a_n}满足求证:对任意自然数n,都有a_n<1/n。 这道题曾作为1964年北京市中学生数学竞赛题,它有多种多样的数学归纳证法,下面     

用数学归纳法证明几何题

数学归纳法是数学里的一种重要方法。可用它来证明与自然数列有关的许多数学命题。值得注意的是,不少几何题与自然数列有关,也可以用数学归纳法来证明。 例一已知圆的半径为R,求证:此圆的内接正2~n边形(n≥2)的边长为     

关于一类条件不等式的数学归纳法证明

关于一类条件不等式的数学归纳法证明许兴华（广西防城港市上思中学５３５５００）１问题的提出在高中数学竞赛中，常出现一类以或为常数作为条件的不等式的证明，因与自然ｉ＝１数ｎ有关，尽管用数学归纳法证明方法上并不很简便，许多同学还是采用了数学归纳法。例如：例...     

寻找解题的“点睛之笔”

<正>众所周知,许多数学问题除了一些明显给出的已知条件外,经常还隐含着一些条件,这些条件若明若暗,含而不露,若挖掘不出这些条件,解题不是过于复杂就是束手无策,而若能捕捉到这些条件,问题往往就能顺利获解.例1已知平行四边形ABCD的四个顶     

例说通过联想类比开发数学问题

创新教育如何体现在教学上 ,对于一个具体的数学问题 ,不妨把它看作一件产品 ,进行联想类比 ;它有哪些变异 ?它还有哪些应用 ?能否开发出更有价值的系列产品 ?下面举例说明进行数学问题这方面的探讨和研究 ,以献读者 . 已知ａ >ｂ>0 ,求ａ+1 6ｂ(ａ-ｂ) 的最小值 ; 已知ａ>ｂ>0 ,求ａ2 +1 6ｂ(ａ -ｂ) 的最小值 (数学第二册上Ｐ37)这是大家熟悉的两个问题 ,通过改造、一般化 ,可得如下结果 :改 1为 :已知ｘ1 ,ｘ2 >0 ,求ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2(ｋ>0且ｋ常数 )的最小值 .解　因ｘ1 ,ｘ2 >0 ,故ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2 ≥3·3 ｋ ,当且仅当ｘ1 =ｘ…     

模型出面 繁简转换

<正>解压轴题一般有很多种方法,但若重视提炼问题的本质模型、解析出方法的细节生成,即可有效提高解压轴题的速度与质量.现运用此观点解析一例:2013年成都中考数学压轴题.题目在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的定点A的坐     

一个数学问题推广结论的纠正

《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a＞0,b＞0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值. 文[1]对此题有如下两个猜测推广: 推广1若a＞0,b＞0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn.     

数学解题的起步阶段——说题

说题,就是用不同的数学语言说清楚题目的已知条件,说清楚题目的解题目标和说清楚题目的解题过程.而一题多解,往往来源于对题目已知条件的不同数学语言理解的深刻性.数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是数学的文字语言、符号语言和图形语言相转化的学习.当然,数学解题也离不开数学语     

数学解题的起步阶段——说题

说题,就是用不同的数学语言说清楚题目的已知条件,说清楚题目的解题目标和说清楚题目的解题过程.而一题多解,往往来源于对题目已知条件的不同数学语言理解的深刻性.数学学习,事实上就是数学语言的学习,就是数学的文字语言、符号语言和图形语言相转化的学习.当然,数学解题也离不开数学语     

整式运算中的数学思想

整式的运算中,隐含着许多重要的数学思想方法,现归纳起来主要有以下几种,供大家参考:一、整体思想例1(2012年夏门市)已知a+b=2,ab=-1,则3a+ab+3b     

谈谈π的无理性

在数学中有许多重要常数,其中π是最使人感兴趣的一个．许多数学家为之花费了巨大的精力．众所周知,π表示圆周率,是圆的周长与直径的比．最早将这个希腊字母π与圆周率联系起来的是英国的奥特雷德（ＷｉｌｉａｍＯｕｇｈｔｒｅｄ,１５７５～１６６０）．但这个符号并...