函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

对一道初赛题的解法探究

本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明：2（b-a）≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2（b-a）≤cosπa-cosπb,只要证2b＋cosπb≤2a＋cosπa.即设f（x）=2x＋cosπx,下证f（b）≤f（a）;     

一类问题的统一解法

题1方程x+sinx=π2,x+arcsinx=π2的根分别为a,b,则a+b等于.题2方程x+x3=3,x+3x=3的根分别为a,b,则a+b等于.题3方程x+ex=5,x+lnx=5的根分别为x1,x2,则x1+x2等于.由以下定理即可解答以上诸题.定理若f(x)是[a,b]上的增函数,x+f(x)=m,x+f-1(x)=m的根分别为a,b,则a+b=m.证令h(x)=x+f(x),得h(x)为[a,b]上的增函数.由h(a)=a+f(a)=m,h(f-1(b))=f-1(b)+f(f-1(b))=f-1(b)+b=m,得h(a)=h(f-1(b)),a=f-1(b).所以a+b=f-1(b)+b=m.由定理立得,题1,2,3的答案分别是π2,3,5.一类问题的统一解法@甘志国$竹溪县一中!湖北443200…     

争鸣

问题问题98 a,b∈R,不等试acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,求b的取值范围.解因为不等式acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,所以令x=0得a b≤1;x=π得a b≥-1-1≤a b≤1(1)又当x=3π时,有2a-b≤1-2a b≥-1;x=23π时,-2a b≤1,故-1≤-2a b≤1-2≤-a 2b≤2(2)由(1) (2)得-3≤3b≤3,所以-1≤b≤1即为所求.1)以上解法是否正确?请给出判断结果及理由.2)若解法正确,其中x分别选取等于0,π,3π,2π3的依据是什么?若解法不正确,其正确解法又如何?3)若改为求a的取值范围,又当如何解决?佟成军提供(江苏省海州高级中学222023)评析问题84该问题共收稿…     

函数f(x)=a/(sin~nx) b/(cos~nx)最小值猜想的推广

文[1]中猜想:f(x)=a/sin~nx b/cos~nx(00,由均值不等式得:nAsin2x 2amsinmnx=Asin2x Asin2x … Asin2x asinmnx sinamnx … sinamnx≥(n 2m)(Ana2m)n 12m.nAcos2x 2bmcosmnx=Acos2x Acos2x … Acos2x bcosmnx cosbmnx … …     

对一道初赛题的解法探究

<正>本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2(b-a)≤cosπa-cosπb,只要证2b+cosπb≤2a+cosπa.即设f(x)=2x+cosπx,下证f(b)≤f(a);     

一道习题的启示

题目椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于M、N两点,且OM⊥ON,则必有1/a2+1/b2=2.下面给出一种比较简单的证法.证明不妨设M(r1cosθ.r1sinθ),N(r2cos(θ+π/2),r2sin(θ+π/2)),则由M、N在椭     

函数y=a/sin n/m x＋b/cos n/m x最小值的初等巧解

文[1]给出了函数y=a/sin n/m x＋b/cos n/m x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,m,n∈N）最小值一种初等解法,本文给出另一种更简巧解,供参考．     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明

本文是[1]的继续.在[1]中,我们利用四阶行列式的特征证明了下面的定理. 定理 设Ai(acosθi,bsinθi)(i=1,2,3,4;0≤θi<2π)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a≠b)上互异四点,则四点共圆的充要条件是θ1+θ2+θ3+θ4=2π,4π,6π.     

一类定积分的算法

<正> 在定积分的计算中,常遇到这类定积分:integral from n=a to b (f(x)sinxdx或integral n=a to b (f(x)cosxdx),其中积分区间[a,b]为[0,π/2]、[0,π]或[0,2π]。对此我们习惯上直接用数次分部积分法进行计算,求出其值。但其过程有时非常复杂,给计算带来麻烦。如:     

PHASE RETRIEVAL OF TIME-LIMITED SIGNALS

The problem of reconstructing a signal ψ(x) from its magnitude |ψ(x)| is of considerable interest to engineers and physicists.This article concerns the problem of determining a time-limited signal f with period 2π when |f(eix)| is known for x ∈ [-π,π].It is shown that the conditions |g(eix)| = |f(eix)| and |g(ei(x+b))-g(eix)| = |f(ei(x+b))-f(eix)|,b = 2π,together imply that either g = wf or g = vf,where both w and v have period b.Furthermore,if 2bπ is irrational then the functions w and v reduce to some constants c1 and c2,respectively;if 2bπ is rational then w takes the form w=eiαB1(eix)B2(eix) and v takes the form ei(x2πN/b+α)B1(eix)B2(eix),where B1 and B2 are Blaschke products.     

由tanψ=b/a确定ψ行吗?

解题中我们常用到asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x +ψ) ,但若只知其中tanψ =ba,就会出现问题 ,下面通过实例进行探讨 .例 1　已知x∈ [0 ,π2 ] ,求函数y =3sinx -cosx的值域 .分析　函数 y =3sinx -cosx可变为y =2sin(x +ψ) ,其中tanψ =-13 .若取 ψ =-π6,则 y =2sin(x -π6) ,x -π6∈ [-π6,π3 ] ,　∴　y∈ [-1,3 ] .若取 ψ =-5π6,则 y =2sin(x -5π6) ,x -5π6∈ [5π6,4π3 ] ,　∴　y∈ [-3 ,1] .得出了不同结果 ,哪一个对呢 ?难以确定 .这表明仅由tanψ =ba确定 ψ不行 !图 1那么如何确定 ψ呢 ?考虑asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x…     

一个积分的计算

在这篇文章里我们将计算下面积分.此积分在研制移动通讯过程中被用到[1].我们将用留数算出它的完整形式.In=∫∞0…∫∞0∫π20exp-x1+2x2+…+nxn2sin2yexp-a1x1-(a1+a2)x2-…-(a1+a2+…+an)xndx1…dxndy.令b1=a1,b2=a1+a2,…,bn=a1+a2+…+an,可得In=∫π20∫∞0…∫∞0exp-x112sin2y+b1exp-x222sin2y+b2…exp-xnn2sin2y+bndx1dx2…dxndy=∫π20∫∞0exp-x112sin2y+b1dx1∫∞0exp-x222sin2y+b2dx2…∫∞0exp-xnn2sin2y+bndxndy=∫π20Θ1Θ2…Θndy,其中Θk=Θ(k,bk)=∫∞0exp-xkk2sin2y+bkdxk.今有Θ(a,b)=∫∞0exp-xa2sin2y+bdx=2sin2ya+…     

巧用“中项”作代换,开辟解题新途径

对于一些题设中直接或间接出现了形如a+c=2b(或ac=b~2≠0)的数学题,我们可以应用a、c的等差(等比)中项b作代换:a=b+d,a=b-d(a=bq,c=b/q),从新的途径巧妙地加以解决,以下分类举例说明。 1 求值例1 若0〈x〈π,sinx+cosx=-1/5,求tgx的值。解∵ sinx+cosx=2·(-1/10),     

争鸣

问题　　问题6 7　　设实数m ,n ,x ,y满足m2+n2 =a ,x2 +y2 =b ,求mx +ny的最大值.观点1　∵mx +ny≤m2 +x22 + n2 +y22=(m2 +n2 ) + (x2 +y2 )2 =a +b2 ,∴(mx +ny) max=a +b2 .观点2　由已知,设m =acosθ,n =asinθ,θ∈[0 ,2π) ,x =bcosφ,y =bsinφ,φ∈[0 ,2π) ,则mx +ny =abcosθcosφ+absinθsinφ=abcos(θ- φ)≤ab ,当且仅当θ=φ时取等号.∴(mx +ny) max=ab .观点3　由观点2 ,得mx +ny≤ab ,又ab≤a +b2 ,∴mx +ny≤a +b2 ,当且仅当θ=φ且a =b时取等号.∴(mx +ny) max=a +b2 .到底谁对谁错,还是题目本身就有错?问题6 8　人教…     

对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

关于On a Class of Semilinear Periodical Boundary Value Problems一文的注记

本文指出文[1]中的一个失误，给出了一类半线性方程周期边值问题a（t）x″＋b（t）x′＋g（t，x）=e（t），x（0）-x（2π）=x′（0）-xv（2π）=0一个新的等价方程组，应用整体反函数定理得到文[1]的所有结论．     

名校基础知识自测

★高一年级北京市第八中学(100032) 白芸一、选择题1.设a、b、c都是正数且3a=4b=6c,那么( ). (A)1/c=1/a 1/b (B )2/c=2/a 1/b(C)1/c=2/a 2/b (D)2/c=1/a 2/b2.指数函数f(x)=(2-a)x和对数函数g(x)= log1/a-1x的图像只能是( ).     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……