事件相互独立性的有关讨论

<正>1.问题的提出已知事件A、B,记AB表示事件"事件A与事件B同时发生",而P(A)、P(B)、P(AB)分别表示相对应事件发生的概率。由高中课本知识我们易知,事件A、B是两个相互独立事件的充要条件是P(AB)=P(A)·P(B)成立,所以运用公式"P(AB)=P(A)·P(B)"的前提条件是已知事件A、B相互独立,那么,我们应该如何判断事件A与事件B是否相互独立呢?     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类新课程卷)

参考公式 :如果事件A、B互斥 ,那么P(A +B) =P(A) +P(B)如果事件A、B相互独立 ,那么P(A·B) =P(A) ·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P ,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k) =CknPk( 1 -p) n-k球的表面积公式S=4πR2其中R表示球的半径球的体积公式V =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 ) 1 - 3i( 3+i) 2 =(A) 14+ 34i (B) - 14- 34i(C) 12 + 32 i (D) - 12 - 32 i( 2 )已知x∈ ( - π2 ,0 ) ,cosx=45 ,则tan2x=(A) 72 4 　 (B) - 72 4 　 (C) 2 47　 (D) - 2 47( 3)设函数f(x) =2 -x- 1x≤ 0x12 x >0若…     

解概率题慎套公式

在解概率问题时 ,有的同学见到公式就急忙套用 ,也不管题目是否具备运用公式的条件 ,结果容易导致错误 .例 1　已知A、B为两互斥事件 ,且P(A)=0 .3 ,P(B) =0 .5 ,试求P(A +B)与P(A·B) .错解　∵　P(A) =0 .3 ,　P(B) =0 .5 ,∴　P(A) =0 .7,　P(B) =0 .5 ,∴　P(A +B) =P(A) +P(B)=0 .7+ 0 .5 =1.2 ;　　P(A·B) =P(A)·P(B)=0 .7× 0 .5 =0 .3 5 .分析　运用公式“P(A +B) =P(A ) +P(B)”的前提条件应是“A与B互斥” ,而运用公式“P(A·B) =P(A)·P(B)”的前提条件应是“A与B相互独立” ,但从该题的条件“已知A、B…     

事件独立性的教学中应该注意的两个问题

1　事件独立性的概念定义　设 {Ω ,R ,P}是一个概率空间 ,对任意两个事件A ,B ,若P (AB) =P(A )P(B)成立 ,则称事件A与B相互独立 .用这种方法来定义两个事件的独立性主要基于以下几点理由 :1)在概率意义下 ,式子P(AB) =P(A)P(B)反映了事件A与B之间的某种独立性 .事实上 ,当P(A) >0时 ,由等式P(AB)=P(A)P(B)可以推知P(B A) =P(B) ,这表明事件B发生的概率不受事件A发生与否的影响 ;当P (B) >0时 ,由等式P(AB) =P(A)P(B)同样可推知P(A B)=P(A) ,这表明事件A发生的概率亦不受事件B发生与否的影响 .因此P(AB) =P(A)P(B…     

争鸣

问题问题109已知函数f(x)满足:f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠f(π2)=0,求f(π)及f(2π)的值.解法1令x=y=0,得f(0)=1.令x=y=π2,得f(π)=-1.令x=y=π,得f(2π)=1.解法2令x=y=0,得f(0)=1.令x=32π,y=π2,得f(2π)=-f(π).再令x=y=π,得f(2π) 1=2f2(π),∴2f2(π) f(π)-1=0.∴f(π)=12或f(π)=-1,从而f(2π)=-12或f(2π)=1.问题出在哪里?问题110人教版高一数学(上)P8,有下面一段话:容易知道,对于集体A,B,C,如果A B,B C,那么A C.事实上,设x是集合A的任意一个元素,因为A B,所以x∈B,又因为B C,所以x∈C,从而A C.这个证明严格吗?…     

一个不定方程的概率解法及其它

本文将用概率方法给出不定方程x1 x2 x3 x4=nx1x2 =x3x4( 1 )的非负整数解 ,其中 n为任意自然数 .1　 问题的转化方程 ( 1 )的求解可以转化为对于古典概型中的独立事件的概率的讨论 .设 (Ω ,F,P)为任意概率空间 ,A、B为随机事件 ,称 A、B独立 ,如果P( AB) =P( A) P( B) ( 2 )关于事件 A、B的独立性 ,我们有下面的充要条件 :定理 1　事件 A、B独立 ,当且仅当P( AB) .P( AB) =P( AB) .P( A B) ( 3)证明　由P( AB) P( AB) - P( AB) P( A B)=[P( A) - P( AB) ].[P( B) - P( AB) ]- P( AB) P( A B)=P( A) P( B) - …     

也谈巧算“百分比”──“百分比”问题的另一解法

《数理统计与管理》1988年第6期发表了勤学同志的文章《巧算“百分比”》,文中采用从”中心”向外推算的办法计算出“三大件”齐备的家庭所占的百分比。如果利用概率的一般加法公式计算将更简便。 设A=｛有彩电｝,B=｛有冰箱｝,C=｛有洗衣机｝,已知P(A)=0.34, P(B)=0.38,P(C)=0.56,P(A∩B)=0.09,P(B ∩ C)=0.11,P(A∩C)=0.13,P(A∩B∩C)= 0.02.注意到 A ∩ B ∩ C= A∪B∪C,可知 P(A ∪ B ∪ C)= 0. 98,将上述结果代入一般加法公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)立得 P(A∩B∩C)=0.…     

概率

1本单元重、难点分析 1)重点:等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验.①等可能性事件的概率的关键是正确计数,即事件A包含的基本事件个数m和试验结果总数n,具备娴熟地解排列组合应用题的能力是处理好此类问题的必要条件.②弄清“互斥事件”、“对立事件”、“相互独立事件”之间的区别与联系,掌握公式P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)=1-P(A),P(A·B)=P(A)·P(B),以及由它们派生出的常用公式的适用范围.理解“至少”、“至多”、“都”、“或”等词汇的意义,理解“独立重复试验”等概念,是学好本单元内容的基础.在学习中,要勤比较、多思考,注意举一反三,触类旁通.     

《现代质量管理统计方法》电视讲座部份习题简答

习题二 2.1设A=｛抽取的5件产品中有2件不合格品｝ P(A)。C25C395/C5100　0.01838 2.2设A=｛取出的2个球都是白球｝ P(A)=C25/C28　0.3571 2.3设A=｛5个数字均不重复) P(A)=P510/105=0.3024 2.4设A=｛指定的三本书放在一起｝ P(A)=3!8!/10!=0.0667 2.5设A=｛4张牌的花色各不相同｝ P(A)=(C113)4/C454　0.1055 2.6若A、B两事件满足AB=V,则A与B互不相容;A与B两事件对立,除AB=V外,还应满足A∪B=U.对立事件是互不相容事件,反之不然. 2.7设A、B、C表示三个事件. 2.9(1)ABC表示事件｛70年以后出版的中文版数学书｝. (2)在｛图书…     

男女人数平衡吗?

根据我国实行的计划生育政策,提倡少生孩子.假设国家有这样一个规定,如果一对夫妇第一胎生男孩,则不允许生第二胎,如果第一胎生女孩,则允许生第二胎,而且最多生两胎.那么这样的情况,生男孩和生女孩的人数平衡吗?解决此类问题,要用到我们所学的概率及数学期望知识.解设第一胎生男孩为事件A,第一胎生女孩,第二胎生男孩为事件B,第一胎生女孩,第二胎生女孩为事件C.则P(A)=12,P(B)=12×12=14,P(C)=12×12=14,又生男孩的期望值Eξ1=12×1+14×1=34;生女孩的期望值Eξ2=14×1+14×2=34.故生男孩与生女孩的期望值相同.因此,男女人数应该是平衡…     

高中代数总复习(一)

1.选择题: (1)集合P={s|s=x~2 3x 1, x∈R}与集合Q={t|t=y~2-3y 1,y∈R},则P,Q的关系是( ) (A)P\Q (B)P=Q (C)PQ (D)P≠Q,且pQ,PQ (2)已知f(x)=8 2x-x~2,如果g(x)=f(2-x~2),那么g(x)( ) (A)在区间(-2,0)上是增函数     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

回归直线方程的另一推导

新教材第三册 (选修Ⅱ )第 4 2页阅读材料用配方法给出了回归直线方程的推导 ,虽然其解决问题的思路比较清晰 ,但推导过程较为复杂 ,如果利用导数求最值的方法推导 ,简单明了 ,节奏明快 .问题可归结为求使Q = ni =1( yi-bxi-a) 2 取得最小值的a ,b值 .Q′a = ni =12 (yi-bxi-a)·( - 1)=- 2 ni =1yi+ 2b ni =1xi+ 2na ,Q′b = ni =12 ( yi-bxi-a)·( -xi)=- 2 ni=1xiyi+ 2b ni =1x2i + 2a ni =1xi.令Q′a=0 ,Q′b=0得 :　　na +b ni =1xi= ni =1yi　　　　　　　 ( 1)a ni =1xi+b ni=1x2i= ni=1xiyi　　　　 ( 2 )　　由 ( 1)得a …     

中学概率一章的教学建议(续完)

一、教材说明与目的要求: 1、本节从实例出发,说明了互斥事件和n个事件彼此互斥的概念,给出了当事件A、B互斥时计算其和“A B”的概率的公式;在互斥事件的基础上又讲了对立事件的概念,并介绍了一个简单而有用的公式:尸(A)=1-P(A)或P(A)=1-P(A)。 2、要求学生了解互斥事件与对立事件的概念,以及它们之间的联系和区别,能初步学     

概率论与数理统计

<正> 一、填空题 1.(1992.Ⅰ)已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,则事件A、B、C全不发生的概概率为3/8.     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试(海南宁夏卷)

数学(理科)参考公式:样本数据x1,x2,…,xn的标准差S=1n[(x1-x)2 (x2-x)2 … (xn-x)2]其中x为样本平均数.柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积,h为高.锥体体积公式V=31Sh,其中S为底面面积,h为高.球的表面积、体积公式S=4πR2,V=34πR3其中R为球的半径.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1·已知命题p∶x∈R,sinx≤1,则A·┒p∶x∈R,sinx≥1B·┒p∶x∈R,sinx≥1C·┒p∶x∈R,sinx>1D·┒p∶x∈R,sinx>12·已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1)则向量12a-23b=A·(-2,-1)B·(-2,1)…     

综合题新编选登

题167已知直三棱柱ABC-A1B1C1中有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①,②,③构造出一个你认为正确的命题,并加以证明.图1三棱柱解设C1A1=a,C1B1=b,C1C=c.A1B⊥AC1A1B·AC1=0(b-a c)(-a-c)=0-a·b a2-c2=0(1)A1B⊥B1CA1B·B1C=0(b-a c)(c-b)=0c2-b2 a·b=     

活用λ的几何意义解题

定理　如果 A、B两点的坐标是A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P在直线 AB上 ,APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,那么xp =x1 λx21 λ ,yp =λ1 λy21 λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时 ,注意“数形结合”,明确点 P在直线 AB上的位置与数λ的相互对应关系 (见下表 ) ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .P在直线 AB上的位置λ的变化情况P在有向线段 AB内 0 <λ < ∞P→ Aλ→ 0 P→ Bλ→ ∞P为线段 AB中点λ =1P在有向线段 AB的延长线上 -∞ <λ <- 1P无限远离 B时λ→ - 1-P→ Bλ→ -∞P在有向…     

统计学入门(Ⅱ)

三、概率的乘法公式3-1事件的乘积 设有两个事件A和B,考虑这两个事件都发生或同时发生的情况。注意到A、B都发生实际上也是一个事件,记这个事件为AB,我们称它为事件A与B的乘积。我们可用图形直观地表示事件A,B与AB的关系(图1),即AB表示既属于A也属于B的公共部分。3-2相互独立的事件乘积的概率 现在我们考虑两个事件乘积的发生概率。先考虑一种简单情形,即A,B中任一事件的发生与否都不影响另一事件的发生机会,我们称这样两个事件是相互独立的。当A,B相互独立时,我们有公式 P(AB)=P(A)P(B)( 3-1)即两个相互独立事件都发生的概率等…