二元一次不等式表示平面区域的两个结论和应用

在判断不等式Ax＋By＋C〉0（或〈0）表示的平面区域时，除了选点，用点的坐标代入式子Ax＋By＋C，由式子Ax＋By＋C的值的符号来确定不等式Ax＋By＋C〉0（或〈0）所表示的平面区域外．还可以直接由不等式中y的系数的符号来确定不等式所表示的平面区域．     

二元一次不等式所表平面区域的简捷判法

新教材第二册(上)P59介绍了二元一次不等式表示平面区域的知识,说明了在直线Ax By C=0的某一侧选取一个特殊点(x0,y0),从Ax0 By0 C的正负来判断Ax By C>0表示直线哪一侧的平面区域的方法.我在学习过程中发现一个更为简捷的判断方法,介绍如下:     

二元一次不等式组的封闭区域的应用

本文试图说明:二元一次不等式组的解在直角坐标系中所表示的封闭区域,对于不等式或极值的有关题解有特殊的作用。1 封闭区域存在的依据我们知道:在直角坐标系中,点P(x_1,y_1)在直线Ax By C=0上时,Ax_1 By_1 C=0;点P(x_1,y_1)不在该直线上时,有Ax_1 By_1 C>0或Ax_1 By_1 C<0,这样直线Ax By C=0把坐标平面划分为两部分区域,使Ax By C>0的点P(x_1,y_1)所在区域称为Ax By     

求二元一次不等式表示区域的一种新方法

求形如Ax By C>0的二元一次不等式所表示的区域的难处,在于判断区域在直线Ax By C=0的哪一侧.课本上用同侧同号的原理给出了代特殊点的坐标进行观察的方法.在解题中我发现了一种新方法,判断区域在直线的上方还是下方,只用看B的符号;左侧还是右侧,只用看A的符号. 定理当B>0时,Ax By C>0表示     

二元一次不等式表示的平面区域的判断

一般地 ,对于二元一次不等式Ax +By +C >0或Ax +By +C <0所表示平面区域的判断 ,我们需经过两个步骤才能完成 :首先 ,确定直线l :Ax +By+C =0对平面区域的划分情况 (如k >0时 ,直线l把坐标平面划分为左上、右下两个区域 ) ;然后再分析特殊点所在的区域 .在实际操作中总感觉这种方法繁而不便 .这里介绍一种通过对系数A ,B的符号进行直观的分析从而判断不等式所表示的平面区域的方法 ,具体过程参照下表 .表 1　判断方法示意表系 数 符 号不等式方位A >0A <0B > <0Ax +By +C >易笊舷翧x +By +C <0 左右下上　　 1)原理分析 .图 1　分析…     

平面区域问题

在高中数学竞赛大纲中 ,二元一次不等式表示的区域是解析几何的一个重要组成部分 .这类问题主要包括区域的确定、区域面积的计算、区域型最值的求法、区域内整点的计数等 .在直角坐标平面内 ,直线l可以用二元一次方程Ax +By +C =0来表示 ,点P(x0 ,y0 )在直线l上的充要条件是Ax0 +By0 +C =0 ;若点P不在直线l上 ,则Ax0 +By0 +C >0或Ax0 +By0 +C <0 ,二者必居其一 .直线l :Ax +By +C =0将平面划分为两个半平面Ax +By +C >0和Ax +By +C <0 ,位于同一个半平面内的点 ,其坐标必适合同一个不等式 .要确定一个二元一次不等式所表示的半平…     

速定二元一次不等式表示的平面区域

二元一次不等式所表示的平面区域的正确判断与否会直接影响对线性规划的学习,而课本采用“直线定界,特殊点定域”的策略判定.本文拟给出一个简洁有效的符号判断法则.结论1平面内任意一点(x,y)在直线Ax By C=0的右侧A(Ax By C)>0;平面内任意一点(x,y)在直线Ax By C=0的左侧A(Ax     

平面区域的B符号判别法

在教材中 ,Ax +By +C >0 (或 <0 )表示的区域是取“特殊点法”判断的 .事实上 ,此类问题还有一种简单判断法 :在不等式Ax +By +C >0 (或 <0 )中 ,当B的符号 (指B与0比较时的大小符号 ,如 - 4<0为“ <”)与不等式中的不等号同向时 ,则Ax +By +C >0(或 <0 )表示的区域是直线Ax +By +C =0的上方区域 ;否则就是下方区域 .这里B≠ 0 ,“上方”是直线“左上方”或“右上方”的简称 ,“下方”类似地理解 .由于这种方法涉及到系数B的符号与不等式中的不等号是否相同或相异 ,故称为“B符号判断法” ,简记为“同号为上 ,异号为下” .例　指出如…     

例析y＜kx+b在平面区域中的应用

人教社高中数学试验修订本"7.4简单的线性规划"一节中介绍应用二元一次不等式表示平面区域的判断方法是这样介绍的:一般地,二元一次不等式Ax By C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C=0某一侧所有点组成的平面区域.     

线段与直线相交问题解法

在直角坐标平面内,直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0表示,点p(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0,若P不在直线l上,则Ax0+By0q-C<0或Ax0+By0+C>0,二者必居其一.直线l:Ax+By+     

平面区域中一个优美结论的妙用

大家知道,在平面区域中,点在直线划分的区域遵循“同侧同号,异侧异号”的原则,根据这一原则,我们会得到一个优美的结论:命题点P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线l:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.利用上述命题既简捷明快,又颇有新意.例1(1)若直线l:ax y 2=0与连接点A(-2,3)和B(3,2)的线段有公共点,求a的取值范围;(2)将(1)中的点A的坐标改为(a-2,3),点B的坐标改为(1,2a),其余条件不变,又如何求a的范围?解(1)由题意可知,A,B两点必在直线l的两侧或其中一点在直线上,故有(-2a 3 2)(3a 2 2)≤0,解得a≤-43或a≥52,故a的取值范…     

二元一次不等式表示区域的右手判定法

在高中数学教科书中,判断Az＋By＋c〉0（〈0）表示点的集合在直线Ax＋By＋C=0哪一侧平面区域的问题,常用的判定方法是：由于对直线Ax＋By＋C=0同一侧的所有点（x,y）,     

运用向量知识解释平面解析几何问题

推证分两步进行：1)平面直角坐标系内任一直线，其方程都可写成Ax By C=0(A^2 B^2≠0)的形式；2)任一方程Ax By C=0(A^2 B^2≠0)在平面直角坐标系内都表示一条直线．其中要用到结论：“平面内过一点与一已知直线(法向量为非零常向量)垂直的直线有且只有一条．”     

平面区域问题

在坐标平面上 ,一个二元方程Ｆ(ｘ ,ｙ) =0所表示的曲线Ｃ把平面上所有的点组成的集合Ｉ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ}分成三个子集 :1)Ｃ ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 } ;2 )Ｃ1={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 } ;3)Ｃ2 ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 } .我们可以利用特殊点试验法来确定二元 (一次或二次 )不等式Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 (或Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 )所表示的平面区域 .1　直线划分的平面区域点Ｐ(ｘ ,ｙ)位于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0同侧时 ,α =Ａｘ Ｂｙ Ｃ的值的符号不变 ;位于异侧时 ,α的符号相反 .2　二次曲线划分的平面区域1)点Ｐ(ｘ ,…     

二元不等式所表示的区域

在高中数学试验教材《平面解析几何》①P108—110定理2:平面上两点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分居直线l:Ax+By+C=0的两侧,则Ax_1+By_1+C与Ax_2+By_2+C异号。如果P_1、P_2在直线l:Ax+By+C=0的同侧,则Ax_1+By_1+C与Ax_2+By_2+C同号。从此导出二元一次不等式的解法。这一定理能否推广到般二元不等式?本文将给出二元不等式解法的理论依据与实际解法。为了表达的方便,先介绍n次代数曲线的基本知识。定义1 n次代数方程     

平面区域中一个优美结论的妙用

大家知道,在平面区域中,点在直线划分的区域遵循同侧同号,异侧异号的原则,根据这一原则,我们得到一个优美的结论:命题点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)在直线l:Ax +By+C=0(A~2+B~2≠0)的两侧(?)(Ax_1+By_1+ C)(Ax_2+By_2+C)<0.     

直线与椭圆位置关系的一个性质定理及其应用

定理　若直线l:Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 )与椭圆C :(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1有公共点 ,则有(Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0 +C) 2 .证　由(x -x0 ) 2a2 + ( y - y0 ) 2b2 =1 ,可令x =x0 +acosθ,y =y0 +bsinθ ,代入Ax +By +C =0 (A2 +B2 ≠ 0 ) ,得A(x0 +acosθ) +B( y0 +bsinθ) +C =0 .整理得Aacosθ +Bbsinθ =- (Ax0 +By0 +C) .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 sin(θ + φ) =- (Ax0 +By0 +C) (其中 φ为辅助角 ) .又 |sin(θ+ φ) |≤ 1 ,∴| - (Ax0 +By0 +C) |(Aa) 2 + (Bb) 2 ≤ 1 .即 (Aa) 2 + (Bb) 2 ≥ (Ax0 +By0…     

用柯西不等式证明点线距公式

求点到直线的距离公式是一个很有魅力 的数学问题,它吸引广大师生为之苦苦思索, 得到很多证法.现介绍一种证法,供大家参考. 已知定点为P(x0,y0),定直线为Ax+By +C=0,求证点P到定直线的距离为 证明 设Q(x,y)为定直线上任意一点, 则d为|PQ|的最小值. ∵ C=-Ax-By, ∴Ax0+By0+C =-Ax-By+Ax0+By0 =A(x0-x)+B(y0-y). 再由柯西不等式:     

盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想

近几年曲线围成封闭图形面积问题已经悄然成为高考中的一个热点问题,而且含高数背景的问题也时有出现,本文枚举数例来阐述处理此类问题的常见数学思想,以期对读者有所启发!1化归思想1·1借助线性规划精确画图例1(06年浙江卷)在平面直角坐标系中,不等式组x y-2≥0,x-y 2≥0,x≤2,表示的平面区域的面积是()A·42B·4C·22D·2图1分析由不等式组所确定的平面区域,只需根据条件画出每一个二元一次不等式所确定的平面区域,最后锁定可行域,辅以代数运算,即可很快的求出封闭图形的面积·解根据条件画出满足条件的可行域,即如图1所示的三角形及其…     

利用“柯西不等式”推导点到直线的距离公式

点P(x0,y0)到直线l:Ax By C=0的距离即为点P(x0,y0)到直线l上的动点Q(x,y)的距离的最小值,由柯西不等式: