Die Schwerpunkte des Dreiecks

Zusammenfassung  Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

Die Schwerpunkte des Dreiecks

Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

Über eine Abbildung von Th. Reye

Zusammenfassung Es wird die Abbildung betrachtet, die den ∞² Kegleschnitten eines sich selbst dualen linearen Systems die ∞² Geraden der Ebene zuordnet, wobei Büschel von Kegelschnitten in Büschel von Geraden übergehen usf. Diese Abbildung wird auf das Analogon zum Satz von Ivory angewandt und ein synthetischer Beweis des projektiven Satzes von Ivory gegeben (1). Dem Gedenken an Herrn Professor Dr.E. Rembs gewidmet     

Über die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression

Ohne ZusammenfassungVerfasser, geboren in Wohlau am 23. August 1890, hatte vor dem Kriege selbständig die Entdeckung gemacht, daß Dirichlets klassischer Beweis des Satzes von den Primzahlen einer arithmetischen Progression (nebst den späteren elementaren Begründungen des Nichtvershwindens der bekannten Reihen) ein Analogon z. B. in der Theorie der Primfunktionen in Restklassen nach einem Doppelmodulp, M hat. Über dies selbstgewählte Thema hatte er seine Doktordissertation im wesentlichen schon fertiggestellt. Als Kriegsfreiwilliger fiel er im Oktober 1914 bei Poël-Capelle. Erst kürzlich erhielt ich aus seinem Nachlaß das (mir schon seit 1914 bekannte) Manuskript. Ich übergebe hiermit die schönsten und interessantesten Teile der Öffentlichkeit. Der Kornblumsche Ansatz zeichnet sich durch hohe Eleganz aus und zeigt, daß die Wissenschaft in ihm einen hoffnungsvollen Forscher verloren hat. Den Satz und Beweis des § 1 habe ich aus Kornblums Manuskript übernommen; einige Bemerkungen habe ich in Fußnoten angefügt. Den Satz und Beweis des § 2 hat er allerdings nur fürk=2 gehabt; doch wäre die von mir hinzugefügte Ausdehnung auf beliebigesk wohl ohnebin bei gemeinsamer Besprechung in seiner Dissertation hinzugekommen, da alles unmittelbar mit seiner Methode herauskommt.     

Der Satz von Bell und das Konsistenzproblem gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Der Satz von Bell behauptet, da? die Existenz von sogenannten objektiv Einstein-lokalen verborgenen Variablen und die Quantenmechanik unvereinbar sind. Der von Bell gegebene Beweis ist rein mathematischer Natur und schlie?t eine gewisse Klasse von verborgenen Variablen aus. Bells Beweis beruht auf der nun berühmten Bellschen Ungleichung, die eng mit dem Konsistenzproblem von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für drei Paare von Zufallsver?nderlichen verbunden ist. Ziel dieser Arbeit ist es, einen überblick über diesen Gedankenkreis zu geben, sowie eine Reihe von weiteren in der Literatur erschienenen Beweisans?tze zu analysieren und gleichzeitig zu zeigen, da? man mit diesen Beweismethoden nicht alle Einstein-lokalen verborgenen Variablen ausschlie?en kann.     

关于 Goodman 在几乎有界函数中的一个猜测

<正> 本文的目的在于指出曾经被 Goodman 猜测过的下述定理1的证明.它的副产品是我们找到了 Bicberbach-Eilenberg 的定理的一个初等的证明.定理1.设 G 是满足 H-条件[1,p.84]的线性变换群,并且包含变换(?)设 f(z),f(0)=0在单位圆 E 对 G 几乎有界[1,p.83],那末(?)等号成立只有 f(z)=ηz,|η|=1.     

über den Zentralen Grenzwertsatz fÜr abhÄngige Zufallsvariable

Zusammenfassung Es wird eine Verallgemeinerung eines von Godwin und Zaremba (1961) angegebenen Zentralen Grenzwertsatzes für abhÄngige Zufallsvariable, der wegen zahlreicher Anwendungen in der mathematischen Statistik von Interesse ist und in dessen Zusammenhang der Begriff der Verkettung von Zufallsvariablen eingeführt wurde, hergeleitet. Der Beweis beruht, ebenso wie der des Satzes von Godwin und Zaremba, auf der Momentenmethode. Der hier vorgelegte Satz macht von dem Verkettungsbegriff keinen Gebrauch. In Abschnitt 3 wird ferner der bislang allgemeinste Zentrale Grenzwertsatz für m-abhÄngige Zufallsvariable (OREY 1958) in weiterhin leicht verallgemeinerter Form auf elementarem Wege bewiesen.Den Herren Professoren Wassily Hoeffding und S. K. Zaremba bin ich für verschiedene Anregungen und kritische Bemerkungen im Zusammenhang mit der vorliegenden Arbeit zu besonderem Dank verpflichtet.     

Periodische operatorwertige Cosinusfunktionen

In dieser Note werden stark stetige periodische Cosinusfunktionen mit Werten im Bereich der stetigen linearen Operatoren auf einem Banachraum untersucht. Dabei ergänzen und präzisieren wir die Untersuchungen von E. Giusti. Insbesondere wird ein durchsichtiger und vollständiger Beweis eines Satzes von Giusti über die Charakterisierung periodischer Cosinusfunktionen mit Hilfe von Spektraleigenschaften ihres infinitesimalen Erzeugers angegeben.     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

Über einen Satz von Weierstrass-Dedekind

Zusammenfassung. Diese Note enth?lt einen einfachen Beweis des Satzes von der Prim?rzerlegung kommutativer artinscher Ringe mit Einselement; eine zentrale Rolle spielen die (primitiven) Idempotenten des Ringes. Ein Korollar ist der Satz von Weierstrass>-Dedekind>, der besagt, da? jede reelle, endlich-dimensionale, reduzierte, assoziative und kommutative Algebra mit Einselement zu einer ringdirekten Summe von endlich vielen Exemplaren der K?rper und isomorph ist. Eingegangen am 24.11.1994 / Angenommen am 3.3.1995     

Zur Mathematik der Optionen

Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingesch?fte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminb?rse GmbH 1988 auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengesch?ften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Verm?gensanlagen institutioneller Anleger ein immer st?rkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine st?rkere Besch?ftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine st?rkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angels?chsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen. Sieht man einmal von der im Jahr 1900 ver?ffentlichten, ihrer Zeit weit vorauseilenden Dissertation “Théorie de la Speculation” von M.L. Bachelier [1] (betreut von dem ebenso vielseitigen wie genialen H. Poincaré) ab – diese Arbeit ist für mehr als fünfzig Jahre kaum beachtet worden weder von ?konomen noch von Mathematikern –, so stand am Anfang der stürmischen Entwicklung die berühmte 1973 ver?ffentlichte Arbeit “The pricing of options and corporate liabilities” von Fisher Black und Myron J. Scholes [2]. Mittlerweile existiert eine fast unübersehbare Flut von Publikationen zu eben diesem Problemkreis – wobei es sich vielfach nur um Variationen über das genannte Thema von Black-Scholes handelt –, und der Einflu? der publizierten Optionspreisformel auf die realen Optionsm?rkte kann gar nicht hoch genug eingesch?tzt werden. Schlie?lich kann an dieser Stelle nicht unerw?hnt bleiben, da? 1997 die von R. Merton (Harvard), M. Scholes (Stanford) gemeinsam mit F. Black (1938–1995) entwickelte Theorie der Optionspreise durch die Verleihung des Nobelpreises für ?konomie an die beiden zuerst genannten Wissenschaftler gewürdigt wurde (vgl. hierzu auch [7]). Ziel dieses Vortrags ist es, einen kleinen Einblick in das zu vermitteln, was Finanzmathematiker heute bearbeiten, welche Methoden sie verwenden und wie faszinierend und zugleich komplex dieser Bereich der angewandten Mathematik ist.

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Eingegangen am 01.04.1998 / Angenommen am 09.06.1998     

Normen zur Charakterisierung der schwach*-Konvergenz beschränkter Folgen

Zusammenfassung. Wir zeigen, wie sich die schwach*-Konvergenz beschr?nkter Folgen eines Dualraums X' durch Normen charakterisieren l?sst, sofern der Pr?dualraum X separabel ist. Auf diese Weise lassen sich interessante Anwendungen der schwach*-Topologie bereits aus der Theorie normierter R?ume herleiten – ein Vorteil etwa für einführende Vorlesungen in die lineare Funktionalanalysis, in welcher lokalkonvexe R?ume nicht thematisiert werden k?nnen. Wir diskutieren die Anwendung des Satzes von Krein-Milman in seiner Fassung für normierte R?ume und geben elementare Beweise des Lemmas von Schur sowie einer Verallgemeinerung des Riemann-Lebesgue'schen Lemmas. Eingegangen am 16. Februar 2001 / Angenommen am 15. Mai 2001     

Domino–Pflasterungen und Aztekensterne

Zusammenfassung Elkies, Kuperberg, Larsen und Propp zeigen in [1] eine verblüffend einfache Formel für die Anzahl der Domino–Pflasterungen von sogenannten Aztekensternen. Einer der vier Beweise, die sie angeben, kommt mit elementaren Mitteln aus. In diesem wird eine Verschiebeoperation auf den einzelnen Dominos, das Domino–Shuffling, verwendet. Der Beweis einer zentralen Eigenschaft dieser Operation (Theorem 2) bleibt in [1] jedoch vage. Nachdem wir uns anhand einiger Beispiele dem Thema gen?hert haben, formulieren wir Theorem 2 und stellen den Beweis der Formel mittels Domino–Shuffling aus [1] vor. Anschlie?end beleuchten wir die Schwierigkeiten, die beim Beweis von Theorem 2 auftreten und geben einen Beweis an.     

Operatortheoretische Behandlung und Verallgemeinerung eines Problemkreises in der komplexen Funktionentheorie

Ohne Zusammenfassung Vorliegende Arbeit gibt eine einheitliche und systematische Darstellung von Resultaten der Verfasser, über die teils schon in den Aufs?tzen [2], [7] (“Problem C”) und [8] (“Problem A”) berichtet wurde.     

Über die Zerlegungsgesetze der rationalen Zahlen in Quaternionen-Körpern

Ohne ZusammenfassungAus einem Briefe an Herrn E. HeckeMit Hilfe der Theorie der elliptischen Modulfunktionen hatte ich 1935 für gewisse Systeme quadratischer Formen von vier Variablen uber die Anzahl der Darstellungen einer naturlichen Zahl durch dieses System einen einfachen arithmetischen Satz gefunden, der eine überraschende Analogie zu den bekannten Verhaltnissen bei binaren Formen bedeutet. Man kann ihn dahin aussprechen, daß für das System der Dirichletreihen zu diesen Formen nach Adjunktion eines kommutativen Matrizenringes ein Euler-Produkt von einfacher Bauart besteht, wie bei den Zetafunktionen binärer Formen. Da ein allgemeiner Beweis mit den heutigen Mitteln der Funktionentheorie nicht zu erbringen ist, habe ich Herrn Brandt den vermuteten Satz mitgeteilt, in der Meinung, daß er mit arithmetischen Methoden den Beweis führen kònne. Das ist ihm in der Tat gelungen, wie er in dem obigen Brief zeigt.—Ein Zahlbeispiel zu diesem Satz habe ich in einem Vortrag auf dem Internat. Mathem.-Kongr. Oslo 1936 veröffentlicht. Die Stellung dieses Satzes in der Funktionentheorie und seine Verallgemeinerung auf positive Formen mit beliebiger gerader Variablenzahl habe ich im Zusammenhang in einer eben erscheinenden Arbeit dargestellt (Analytische Arithmetik der positiven quadratischen Formen, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mathem.-fys. Meddelelser XVII, 12 (1940). E. Hecke.     

Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

Ein Analogon zum Satz von Ivory

Zusammenfassung Es wird das Tangentenvierseit eines Kegelschnittes einer Schar betrachtet und in diesem Zusammenhang ein Satz über gewisse Doppelver?ltnisse auf Scharkegelschnitten bewiesen. Durch Vertauschen der Begriffe ? Kegelschnitteiner Schar ? und ? Tangente eines Scharkegelschnittes ? geht dieser Satz in eine projektive Fassung des Satzes vonIvory über. Enrico Bompiani zu seinem wissenschaftlichen Jubil?um.     

Das Image der Mathematik – und was man dagegen tun kann

Zusammenfassung. Das Image der Mathematik in der ?ffentlichkeit ist traditionell schlecht und oft von mangelnder Kenntnis und falschen Vorstellungen gepr?gt. Mit dem Bild, das Mathematiker von ihrem Fach zeichnen, hat es meistens wenig ?hnlichkeit. Zun?chst soll dieser Kontrast mit alten und neuen Zitaten belegt und pr"azisiert werden. Immerhin haben sich Mathematiker in den letzten Jahren verst?rkt darum bemüht, ihre Wissenschaft auch Laien verst?ndlicher zu machen. Auf der anderen Seite w?chst das Bewu{?}tsein für die Bedeutung von Mathematik für unser heutiges Leben – allerdings beruht es nicht selten auf vagen Ahnungen, so da?vom Schattenreich Mathematik die Rede ist. Au{?}erdem ist Mathematik durch TIMSS und PISA auch wieder ins Gespr?ch gekommen. Als Reaktion darauf gibt es zur Zeit viele Ideen und Vorschl"age, wie man den Mathematikunterricht an Schulen, aber auch die Lehre an Hochschulen ver?ndern mü{?}te. Manche sind interessant und vernünftig, oft überf?llig, manche schie{?}en aber übers Ziel hinaus und n?hren Utopien, die neue Probleme mit sich bringen werden. In dieser Situation k?nnte es nützlich, ja vielleicht notwendig sein, die ?nderungswünsche mit dem Selbstverst?ndnis von Mathematik zu konfrontieren, welches bei ihren besten Vertretern stets über das eigene Fach hinaus reicht. Eingegangen am 28 Juni 2002 / Angenommen am 8 Oktober 2002     

Herausarbeiten funktionaler und dynamischer Aspekte von Parameterdarstellungen durch die Erstellung von Computeranimationen

Zusammenfassung Die Beschr?nkung des Unterrichts in analytischer Geometrie auf die Behandlung von Geraden und Ebenen führt zu einer Formenarmut des Unterrichts. Vielfach gewinnen Schüler zudem nur „statische“ Vorstellungen von Parameterdarstellungen und erfassen insbesondere die damit verbundenen funktionalen Beziehungen zwischen Parameterwerten und Punkten nicht. Die Einbeziehung von Computervisualisierungen und einfachen Animationen kann dazu beitragen, bei der Behandlung von Parameterdarstellungen oft vernachl?ssigte Gesichtspunkte „mit Leben zu erfüllen“. Zudem lassen sich dadurch Modellbildungen anregen, die zu Parametrisierungen interessanter Kurven führen. Es werden hierfür anhand von Geraden sowie als Bahnkurven aufgefassten Kreisen, Spiralen, Schraubenlinien und Wurfparabeln Vorschl?ge unterbreitet und entsprechende Vorgehensweisen skizziert.     

Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie

Zusammenfassung. In der algebraischen Topologie sieht man, dass die Bernoulli-Zahlen eine wichtige Rolle für die Berechnung der stabilen Homotopiegruppen der Sph?ren spielen. Auf der anderen Seite erscheinen die Bernoulli-Zahlen auch in der Untersuchung der Darstellungen der symmetrischen Gruppen. Das zeigt die Existenz eines starken Zusammenhangs zwischen der Homotopietheorie und der Gruppentheorie. Die vorliegende Arbeit erkl?rt, dass diese Beziehung eine direkte Folgerung des Satzes von Kan-Thurston ist. Eingegangen am 28.05.1997 / Angenommen am 17.10.1997