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一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数 相似文献
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文 [1]作者在某些特定形式下 ,研究了等差数列的一类递推公式 .笔者受此启发 ,研究了相应的正项等比数列的一类递推公式 ,设数列 {an}的前n项之积为Tn,则对形如Tn=f(n ,an)的递推公式所确定的数列 {an},在一定特定形式下是一个等比数列 .笔者经初步探索 ,得到如下结果 .命题 1 已知正项数列 {an}的前n项之积为Tn,若对任意的自然数n均有Tn =( pan) n ( 1) 其中p为正常数 ,则数列 {an}为等比数列 .证 由已知 ,当n≥ 2时 ,Tn + 1=(pan + 1) n + 1( 2 )( 2 )÷ ( 1)得 an - 1n + 1pann=1( 3)由 ( 3)得 ann + 2 pan + 1n + 1=1( 4)( 4)… 相似文献
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本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式: 相似文献
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对于由递推式所确定的数列通项公式问题 ,通常可通过对递推式的变换转化成等差数列或等比数列问题 ,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化 .1 an + 1=an+f(n)型例 1 在数列 {an}中 ,已知an + 1=2 n + 1·anan+2 n + 1,a1=2 ,求通项公式an.解 已知递推式化为1an + 1=1an+12 n + 1,即 1an + 1- 1an=12 n + 1,∴ 1a2- 1a1=12 2 ,1a3- 1a2=12 3 ,1a4- 1a3=12 4,… ,1an- 1an -1=12 n.将以上 (n - 1 )个式子相加得1an- 1a1=12 2 +12 3 +12 4+… +12 n,1an=12 +12 2 +12 3 +… +12 n=12 1 … 相似文献
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本文首先给出了一类比Adams-Moulton方法的绝对稳定区间大的隐式k+1阶线性k步法基本公式.求出了3-9步新公式的分数形式的精确系数,阶数,局部截断误差主项系数和绝对稳定区间,然后构造了由4阶隐式新公式和同阶显式Nyström公式组合而成的预估-校正方法,比著名的Adams-Bashforth-Moulton和Nyström-Adams-Moulton预估校正方法的绝对稳定区间大,最后用对比数值试验对结果进行了验证. 相似文献
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由数列的递推公式求通项公式问题比较复杂,题型很多,方法很多,学生不易掌握.但常用的方法是利用待定系数、换元将递推数列问题转化为等差、等比数列问题来解决.一、递推公式是两项或三项线性关系的求法例1 已知数列{a_n}中,a_1=-1/2,且a_(n+1)=1/2a_(n+1),求 a_n.分析:此类型题,可有效地引入一个辅助未知数r,构成一个新的等比数列来解. 相似文献
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在数列教学中引入等差数列和等比数列的线性递推式 ,可以为求数列的通项公式提供一些灵活多变的方法 .由递推法求数列的通项有一定的技巧 ,本文介绍通过递推式的变换转化成等差、等比数列求解的几种简单递推数列通项的求法 .1 an+ 1=pan+q型 (其中 p,q为常数 )在此类型中 1当 p =1时是等差数列 ;2当 p≠ 0且 q =0时是等比数列 .在一般情况下 ( p≠ 1 ,q≠ 0 )可向这两种特殊情况转化 .注意到递推式是关于 an+ 1,an 的一次式 ,要想消去 q,可类似解析几何中的坐标平移变换 ,只须令 bn =an + k( k为任意常数 )代入递推式 ,给 k一个适当值即可… 相似文献
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高中代数教材介绍了如下的近似公式: “当α的绝对值与1相比很小时,(1+a)~n的近似值可用公式(1+α)~n≈1+nα来计算。”其实,在仅有α的绝对值与1相比很小的条件下,运用(1+α)~n≈l+nα来计算,往往得到不可思议的结果。如计算(1-0.001)~2000。这里-0.001的绝对值与1相比很小,若按上述公式计算:(1-0.001)~2000=1-2000×0.001=-1。显然(1-0.001)~2000是个正值,而经过公式近似成了一个负值,荒谬。由此可见,仅有α的绝对值与1相比很小还不行,得须加上条件:nα的绝对值与1相比也很小。 相似文献
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已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1 an +1=qan+Pknk+Pk - 1nk- 1+… +P1n +P0 (q≠ 0 ,1,k∈N) .例 1 数列 {an}中 ,a1=1,an +1=2an+ 3,求an.解 令an +1+x =2 (an+x) ,可得x =3,故an+1+ 3=2 (an+ 3) .又a1+ 3=4 ,可见 ,数列 {an+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,an+ 3=4·2 n - 1,得an=2 n +1- 3.例 2 数列 {an}中 ,… 相似文献
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对由递推公式给出的数列,寻求通项公式,一些刊物介绍了很好的方法。本文试谈利用等差、等比数列的知识和已学过的数学方法,求这类数列通项公式,这些对中学生是易于接受的。 一、用不完全归纳法找通项 由递推公式给出的数列,一般用不完全归纳法求通项。即由递推公式算出前有限项(有时算出结果,有时写出表达式)归纳得通项,再用数学归纳法予以证明。 相似文献
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P(n,k)的一个降部恒等式 总被引:7,自引:0,他引:7
伍启期 《数学的实践与认识》1993,(4)
P(n,k)表正整数 n 分为 k 个分部的无序分拆的个数,每个分部≥1.它首先由数学家欧拉 (Euler) 提出.它已成为组合、图论及数论里的重要数据之一,应用广泛.目前,尚无 P(n,k)(k≥4)的简单统一便于计算的公式.本文得到 P(n,k)的一个能降低分部数的递推恒等式,并证明它可表为有限个2部分拆之和.这个恒等式有理论上和递推计算上的用途.并举例介绍了它的初步应用. 相似文献
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在数列问题中,经常需要由递推公式求出通项公式,用通项公式解决问题.但是笔者在教学实践中发现,有些数列问题却需要由通项公式求出递推公式,用递推公式解决问题.下面试举几例,以引起读者对此类问题的足够重视. 例1 设n≥2,且n∈N.证明: (1992年日本奥林匹克试题) 相似文献
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这是八六年高考数学第八题:已知x_1>0,x_1≠1 且x_n+1=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数都满足x_nx_(n+1)。此题证法很多,先求通项公式是一个类型的方法,下面给出一种求通项公式的简便方法。由已知 相似文献
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数列是一种以自然数 1,2 ,… ,n作为自变量的函数 ,给出数列的方式常常有两种 ,一是由项与项数的关系给出的即通项公式法 ,二是由相邻项的关系给出的即递推公式法 .这两种方式都反映出了数列的结构特点和构成规律 .那么怎样由己知数列的递推公式来探求数列的通项公式呢 ?本文通过具体实例介绍几种常用的方法 .一、转化成等差等比数列此方法主要根据数列的递推关系式的特征 ,通过适当变形 ,构造出关于某个整体的等比或等差数列 ,求出该整体的通项后再求所求数列的通项 .例 1 已知数列 {an}中 ,a1 =1,an =3an-1 + 1(n =1,2 ,3,… ) … 相似文献
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学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1 在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解 当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变… 相似文献