一平几命题在解几中的推广

平面几何中碰到如下一命题: 原命题 过圆外一点P作圆的两条切线PE、PF.BC为圆的一条直径(不过E、F点).分别连接切点与直径的两端点交于A、D两点(如图1).则点P、A、D三点共线且垂直于该直径. 此命题用纯平几知识证明有一定难度,而用解几证明不仅筒捷明了,而且发现此命     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

圆锥曲线一条共点线性质的发现之旅

1 一道赛题的演变 2005年全国初中数学联赛第二试第二题是锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE与BC的延长线交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线(如图1).     

一道圆的题目的推广

例1 已知:如图1,⊙O的弦AB的延长线和切线EP交于点P,E为切点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D, 求证:EC=ED.(人教版《几何》第三册第132页A7)     

该题还可以进一步简证

题目如图1,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,BE与CF交于点P,过点P作BC的平行线分别交DF、AD、DE于点G、H、K.求证:GP=HK.该题,文[1]给出了一个简证,笔者通过一番琢磨,给出一个更为简洁的证明.证明如图2,设过点P与BC平行的直     

一道题引出的两个结论

2013年陕西高考理科有一题是：如图1,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=.我在探索该题多种解法的过程中,发现了圆的切线的两个有趣结论.结论在⊙O中,任作两条相交弦AB、CD,AB与CD交于E,若BC与AD不平行,过E作BC的平行线,     

数学问题与解答

1711四边形ABCD是正方形，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、BF，设BF与AC相交于G，过G点作GH⊥BC于H，过H作BF的垂线并延长交AC于I． 求证：ADHI是等腰直角三角形．     

一道奥林匹克题的另证

题目如图1,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,过点P的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.求证:CE=EF.此为第六届北方数学奥林匹克邀请赛的一道平面几何问题,贵刊初中版2011年第9期袁安全老师的"面积法证题一例"巧妙地用面积法给出了一个十分简洁的证明,令人耳目一新.笔者以为其证     

由一道赛题想到的

问题1 四边形ABCD内接于⊙O,AB与DC相交于P,AD与BC相交于Q,AC与BD相交于R.求证:O为△PQR的垂心. (2001年东北三省数学邀请赛试题) 由问题1,我想到下面两个问题: 问题2 四边形ABCD内接于圆,以B与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q     

1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题及参考答案

1．如图，已知两个半径不相等的圆Q与圆Q相交于M、N两点，且回OI、圆Oz分别与圆O内切于S、T两点．求证：OM上MN的充分必要条件是S、N．7三点共线．（命题组供题〕证明如图，设圆q、圆Q，圆O的半径分别为rl、r。、r．白条件知O、OI、S三点共线及O、OZ、T三点共线，且OS。OT-r，连结OS、OT、SN、--、oM、OIN、OzM、OzN．OIOi．充分性设J、N．T"占其线．则／J一上T．又面＊＊N与西Q人Y"均为等腰三角形，ZS一LOINS，L7"＝fozM"．ZS＝LOzNT，Z7"＝ZOINS．OZN／／OS，OlN／／ffi"，故四边形to；NOz为平行四边形…     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

一道竞赛题的妙证

<正>题目^([1])(第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)如图,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,过点A作⊙O的切线l,l与直线BC交于点D,E为DA延长线上一点,F为劣弧BC上一点,直线EF与劣弧AB交于点G,直线FB、GC分别与l交于点P、Q.证明:AD=AE的充分必要条件为AP=AQ.证明首先证明一个引理.引理:如图所示,条件同上,     

一个竞赛问题的别证及拓展

<正>一、奥数问题题目过圆外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别与圆交于点A、B、C、D.弦AD和弦BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于点E、F.证明:(1/PE)+(1/PF)=(2/PQ).     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

从一道题的解答看数学思想方法的灵活选择

1．题目 如图1,设P为x轴上的任一点,过点P作圆E：x2＋（y-2）2=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,AB与EP交于点M．     

利用基本图形进行课本习题的挖掘和深化

原题1 已知:如图1,∠ABC、∠ACB角平分线交于点F,过F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,求证:BD EC=DE.(初中《几何》第二册P85) 略证∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,DE∥BC, ∴ △DBF、△EFC是等腰三角形, DF=BD,EF=EC, ∴ BD EC=DE. 原题2(初中《几何》)第二册P116,15题,题略)     

一道中国北方数学奥林匹克几何题的别证

<正>第11届中国北方数学奥林匹克高一年级第2题:已知AB为△ABC外接圆⊙O的直径,过点B、C作⊙O的切线交于点P,过点A垂直于PA的直线与BC的延长线交于点D,延长DP到点E,使得PE=PB.若∠ADP=40°,求∠E的度数.笔者在此将主要以初中生所熟悉的锐角三角函数求解此题.解按题意作图.连接OP,设OP交BC于点M.连接AM.由题设可得:OP⊥BC,且BM=CM;及     

我为高考设计题目

<正>题402已知动圆P过点M(-2,0),且与圆N:x²+y²-4x-28=0相切.(1)求圆心P的轨迹Ω的方程;(2)设直线y=1与y轴交于点Q,A,C为轨迹Ω上的两个动点且位于第一象限(不在直线y=1上),直线AQ,CQ分别与轨迹Ω交于B,D两点,若直线AD,BC分别交直线y=1于E,F两点,求证:|EQ|=|FQ|.解(1)由条件可知圆N:(x-2)²+y²=32,     

对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.