竞赛中的解三角形问题

解三角形问题,主要是处理三角形中的边、角关系.即通过已知的边角关系,确定三角形中未知量和未知关系.数学竞赛中的解三角形问题,常涉及以下知识点.设△ABC的三个角为A,B,C,它们对应的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.1)正弦定理:sinaA=sinbB=sinCC=2R;2)     

三角形的“四心”与一组面积关系式

1981年芜湖市初中数学竞赛试题中,有如下一道几何题: △ABC为锐角三角形,过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径AA',BB',CC',求证:△ABC的面积等于△A'BC,△AB'C,△ABC'面积之和。本题中,三直径AA',BB',CC'的交点即为△ABC     

一道奥赛题的别证

第三十九届国际数学奥林匹克第五题 :设 I为△ ABC的内心 ,K、L、 M分别是△ABC的内切圆在边 BC、CA及 AB上的切点 ,已知通过点 B且与 MK平行的直线分别与直线L M及 LK交于点 R和 S.证明 :∠ RIS是一锐角 .这里运用解析法进行论证 ,供大家参考 .证明　如图 ,以 I为坐标原点 ,过 I且与 K M平行的直线为 x轴 ,弦 KM的垂直平分线为 y轴 .设△ABC内切圆的方程为 :x2 y2 =r2设点 M( rcosα,rsinα)　 ( 0 <α<π/2 )那么 K ( -rcosα,rsinα) ,设点 L( rcosβ,rsinβ) ,( π α<β<2 π-α)显然点 B( 0 ,rsinα) ,∴　直线 RS…     

2011年全国数学竞赛压轴题的解法探究

2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛压轴题为:如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=（3）^1/2,PB=5,PC=2,求△ABC的面积解法1（旋转法）首先证明△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+     

一道初中数学竞赛题的多种解答

<正>(2017年全国初中数学联合竞赛第二试第二题)如图1,在△ABC中,∠BAC=45°,E为∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点,点F在AB上,且EF⊥AB,已知AF=1,BF=5.求△ABC的面积.分析欲求△ABC的面积,需知△ABC     

一道美国竞赛题的简解和推广

2003年美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛第30 题是: E F入军人一尸1 //二图 如图l，延长△ABC的 三边，使得BD一冬AB，cE ‘ 一合Bc，AF_ △DEF与△ABC 等于(). 冬以，则 ‘ 的面积比 图2 (A)3，1(B)13， (D)14:15(E)10 解由题愈易得 4(C)7 .2 命.2延长凸四边形 ABCD的四边，使B     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

对一道高考题参考答案的改进

2005年全国高考湖北数学卷(文史类)第18题:在△ABC中,已知tanB=3~(1/2),cosC=1/3,AC=36~(1/2),求△ABC的面积.参考答案:     

一个三角形面积不等式的推广

文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有　　　　　△≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1　预备知识引理 1[2 ] 　设△ ABC的三边长及     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

一个涉及Fermat点的不等式的推广

设△ ABC的三边和面积分别为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,AF、BF、CF的延长线分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.文 [1]建立了如下不等式 :f2a f2b f2c≥ 3 3△ (1)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .本文将把 (1)式推广为 :若 t≥ 2或 t<0 ,则　 fta ftb ftc≥ 3(3△ ) t2 (2 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明 (2 )式 ,先给出一个引理 .引理　设 a1 ,a2 ,… ,an ∈ R ,k≥ 1或k <0 ,则　　∑ni=1aki ≥ n(1n∑ni=1ai) k (3)此结果见文 [2 ].下面证明 (2 )式 .证明　由 t≥ 2…     

一道IMO备选题的推广

IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理　如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明　如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β　 　点 P、M、A、B共圆　 ∠ MPA =∠ M…     

从厄尔多斯不等式的研究谈起

1 厄尔多斯不等式 1935年,保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)提出了一个猜想[1]: P是△ABC的内部或边界上任一点,又PD、PE、PF分别是P到△ABC三边BC、AC和AB的距离,则PA+PB+PC≥2.(PD+PE+PF)①,当且仅当△ABC是等边三角形,而且P为△ABC中心时①的等号成立.     

一道习题的三角证法

很多中学数学参考书都收入了这样一道习题: “在△ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3(cm),DC=2(cm)。求△ABC的面积。对于此题,几乎所有的参考书都采取了如下的证法:(有的以习题形式收入的还直接提示辅助线的作法)。解:作△ABC的外接圆O,过C作圆O的直     

一个欧拉定理的推广及应用

定理1(欧拉定理) △ABC所在平面上的任意一点P在三边AB、BC、CA上的射影分别为C1,A1,B1,若△ABC及△A1B1C1的面积分别为△及△1,△ABC的外接圆半径为R,P点到△ABC外心O的距离为d,则△1=(△)/(4)|1-((d)/(R))2|.下面我们将给出它的推广,并展示其有益的应用.     

一个有价值的三角形不等式

1966年,荷兰的O.Bottema建立了下述不等式:设P为△ABC内部任一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N,则其中s为△ABC的半周长。等号当且仅当P为△ABC的内心时成立。 (1)不仅形式简洁,证明不易,而且其等式成立的条件还表明:对任意给定形状的     

浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

一道国际数学竞赛题的再推广

[原命题] 锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于三角形ABC的面积.(见图1) 这是第28届国际数学奥林匹克竞赛的一道试题。《中学生数学》89年第6期《一道国际     

两个向量形式的三角形面积公式

向量作为一种工具,在解(证)数学题时有着广泛的应用.下面介绍两个向量形式的三角形面积公式.已知△ABC中,CB=a=(a1,a2),CA=b=(b1,b2),则△ABC的面积为:(1)(2)证明设CA、CB的夹角为α,则