一道竞赛题的解法

2002年我爱数学初中生夏令营第一试第二题是一道几何题,董圆圆同学的解法受到主试委员会专家的肯定.现在把她的解法刊登出来供同学们参考.     

一道竞赛题的解法探究

解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题设中所给出的条件,寻找条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路.下面以一道2011年江苏赛区初赛整除试题为例来探究它的解法.     

一道竞赛题的多种解法

<正>~~     

一道竞赛题的巧妙解法

第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题的第６题是：图１　　　　　　　　　图２如图１,有一条河,有两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ（直线）的同一侧,工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为１０千米和８千米．两个工厂的距离为１４千米．现在要在河岸工厂一侧选一点Ｒ,在Ｒ处修建一个水泵站,从Ｒ修直线输水管分别到两个工厂和河岸,使直线输水管的总长最小,请确定出Ｒ的位置,并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离．运用费马点,笔者得到该命题的巧解．解　要使输水管总长（设为Ｓ）最小,则Ｒ到河岸ｌ的输水管必垂直ｌ于Ｄ,且Ｒ是△Ｐ…     

一道竞赛题的多种解法

2004年重庆市初中二年级数学竞赛决赛试题的第16题,答案只给出一种解法．本人又通过构造不同的图形,得出了多种证法,且证明中涉及了平面几何的一些重要图形．现介绍如下．     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

一道竞赛题的多种解法

<正>原题如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证:CD=BD.分析本题中,易知∠CAB=∠CBA=45°,结合∠CAD=30°可以求出一系列角的度数.同时,要充分挖掘三条相等线段的特殊关系,寻找恰当的全等三角形,而辅助线则成为该题解决的一个关键.     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.     

一道竞赛题的初等解法

2010年全国高中数学联赛福建预赛试卷第7题涉及到三角函数、不等式、数列、解析几何等方面的知识．笔者通过研究发现,本题可以用如下的初等方法进行求解,供大家参考．     

一道竞赛题的多种解法

<正>例题(第七届世界少年数学团体锦标赛)正方形ABCD中,点E、F分别在边AB,BC上,且AE∶EB=1∶2,BF∶FC=1∶2,AF分别与DE,DB相交于点G,H;若AG=6,求GH.方法1简析在Rt△ADE中,由三角形的面积公式,可求得正方形的边AB的长,进而可得GH的长.解设AE=a,则由     

一道竞赛题的巧妙解法

有这样一道数学竞赛题: 假定每天正午从甲港向乙港开出一只邮船,同时从乙港向甲港开出同样的另一只邮船,每只邮船在路上整整花费7昼夜,并且它们都按同一航线前进,问从甲港开往乙港的邮船,在航行路上每只船最多能遇到多少只邮船? 在一般的书中是用图解法来解这一题的,下面我们给出另一种解法:     

一道竞赛题的多种解法

关于一道三重积分不等式的数学竞赛题,考虑被积函数和积分区域的特征,分别运用几何方法、柯西不等式和球面坐标,给出了多种解法,与原解法对比,显示出解题思路的灵活性.     

一道竞赛题的解法探究

解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题设中所给出的条件,寻找条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路.下面以一道2011年江苏赛区初赛整除试题为例来探究它的解法.     

一道竞赛题的多种解法

原题来自第二届"南方杯"数学邀请赛最后一道压轴题:原题设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax~2-bxy+ay~2=1,试求f=x~2+y~2的取值范围(值域).解法一:巧妙变换、数形结合令x=m+n,y=m-n.代入已知条件ax~2-bxy+ay~2=1得(2a-b)m~2+(2a+b)n~2=1(※)这表示的是什么曲线?椭圆、圆、双曲线?     

一道竞赛题的多种解法

原题来自第二届“南方杯”数学邀请赛最后一道压轴题： 原题设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax^2-bxy＋ay2=1,试求f=x2＋y2的取值范围（值域）．     

一道竞赛题的解法探究

<正>2012年全国高中数学联赛(B卷)第6题:如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=CC1=2(2)^(1/2),M是BC1的中点,N是MC1的中点.若异面直线AN与CM所成的角为θ、距离为d,则dsinθ=__.本题主要考查立体几何方面的知识,是高中数学的重要内容.考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、数学计算能力.学生只有在掌握线线、线面、面面的位置关系的知识,才能解答