On edge effects and related sources of error in rotational rheometry

Summary We consider theoretically the problem of the shear rate in a cone-and-plate rheometer, giving particular attention to the effect of variable-viscosity behaviour on the departure of the predicted shear rate from that used in the conventional interpretation of experimental results. It is concluded that this departure is much greater for shear-thinning fluids than for Newtonian constant-viscosity fluids. It is also shown that edge effects are significantly enhanced by variable-viscosity behaviour. However, the predicted departure from the constant shear-rate normally assumed is still insignificant for gap angles usually employed in cone-and plate rheometers ( 4°).Some consideration is also given toLodge's proposed method of normal-stress measurement which uses a truncated cone-and-plate assembly. It is concluded that the assumptions required to interpret the experimental results are valid to a sufficient degree of approximation. These assumptions concern the smooth transition from torsional flow to cone-and-plate flow near the abrupt change in geometry.Finally, we discuss edge effects in the re-entrant cone situation suggested byCowsley. These are concluded to be significant, pointing to a serious source of experimental error.

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Zusammenfassung Das Problem der Schergeschwindigkeitsverteilung in einem Kegel-Platte-Rheometer wird theoretisch behandelt, wobei vor allem der Einfluß einer veränderlichen Viskosität auf die Abweichung der vorausgesagten Schergeschwindigkeit von dessen üblicherweise bei der Interpretation experimenteller Ergebnisse vorausgesetztem Verlauf untersucht wird. Man kommt zu dem Schluß, daß solche Abweichungen bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung wesentlich stärker als bei newtonschen Flüssigkeiten sind. Ebenso wird gezeigt, daß die Randeffekte durch nicht-newtonsches Verhalten merklich vergrößert werden. Allerdings ist die vorausgesagte Abweichung von der in der Regel zugrundegelegten konstanten Schergeschwindigkeit dennoch vernachlässigbar, wenn die normalerweise bei Kegel-Platte-Rheometern benutzten Kegelwinkel ( 4°) Verwendung finden.Weiterhin wird die vonLodge für Normalspannungsmessungen vorgeschlagene Methode betrachtet, bei der ein abgeschnittener Kegel benutzt wird. Man findet, daß die dabei gemachten Annahmen in hinreichender Näherung erfüllt sind. Diese Annahmen betreffen den stetigen Übergang von der Torsionsströmung zur Kegel-Platte-Strömung im Bereich der Geometrieänderung.Endlich werden noch Randeffekte bei einem einspringenden Kegel untersucht, dessen Verwendung vonCowsley vorgeschlagen worden ist. Diese stellen sich als erheblich heraus, was auf eine ernsthafte Fehlerquelle bei der Auswertung der Experimente hinweist.

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With 26 figures     

Non-steady two-phase stratified laminar flow of polymeric liquids in pipes

Summary A numerical method of solution is given for the non-steady two-phase stratified. laminar flow of various non-Newtonian fluids in pipes. In particular, the Ellis fluid model is chosen to illustrate inelastic shear thinning effects. It is shown that the method can be applied to the non-steady multi-phase stratified laminar flow of some non-Newtonian fluid models. An Oldroyd six constant model is used to illustrate the fully elastic flow. It is found that the presence of two phases of the same kind of immiscible liquids tends to suppress the typically viscoelastic response to time dependent situations that the same liquids would exhibit as a single phase. Overshoot of flow rates is reduced, if not completely eliminated in both the generation and decay of steady flows. In two-phase pulsatile flows, the flow enhancement is less marked and the time dependence of the individual flow rates can be significantly different. Theoretical results are used to interpret some of the flow instabilities encountered during the capillary flow of polymeric liquids.

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Zusammenfassung Es wird eine numerische Methode für die nichtstationäre geschichtete Zwei-Phasen-Strömung verschiedener nicht-newtonscher Flüssigkeiten durch Rohre angegeben, wobei zur Veranschaulichung unelastischer Scherentzähungseffekte speziell das Ellis-Modell ausgewählt wird. Dabei zeigt sich, daß diese Methode für die Anwendung auf nicht-stationäre Mehrphasenströmungen geschichteter laminarer Strömungen nicht-newtonscher Flüssigkeiten geeignet ist. Zur Veranschaulichung des vollständigen elastischen Fließens wird ein Oldroyd-Modell mit sechs Konstanten gewählt. Es wird gezeigt, daß die Anwesenheit von zwei Phasen nicht-mischbarer Flüssigkeiten die Unterdrückung des typisch viskoelastischen Verhaltens unter zeitabhängigen Bedingungen, wie es beim Vorhandensein einer einzigen Phase beobachtet wird, zur Folge hat. Das Überschwingen der Fließgeschwindigkeit wird sowohl beim Anfahren als auch beim Anhalten einer stationären Strömung verringert, wenn nicht gar völlig verhindert. In pulsierenden Zwei-Phasen-Strömungen ist die Geschwindigkeitserhöhung weniger ausgeprägt, und die Zeitabhängigkeit der beiden Fließgeschwindigkeiten kann wesentlich verschieden sein. Die theoretischen Ergebnisse werden dazu verwendet, einige bei der Durchströmung von Polymerflüssigkeiten durch Kapillaren beobachtete Fließinstabilitäten zu interpretieren.

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With 15 figures     

Zur Viskosimetrie strukturviskoser Flüssigkeiten bei hohen Werten des Geschwindigkeitsgefälles

Zusammenfassung Viele technisch wichtige Flüssigkeiten, z. B. die Schmieröle, werden im Einsatz einem hohen Schergefälle unterworfen, während die für ihre Wirkung wichtige Viskosität bei einem wesentlich niedrigeren Schergefälle in den genormten Viskosimetern ermittelt wird. Da nicht immer mit Sicherheit Newtonsches Verhalten vorausgesetzt werden kann, besteht in diesen Fällen die Notwendigkeit, das Fließverhalten unter den der Praxis entsprechenden Bedingungen zu bestimmen.Nach allgemeinen Erörterungen über die Ermittlung und Darstellung des Fließverhaltens strukturviskoser Flüssigkeiten und der Fehlerquellen wird das Struktur-Viskosimeter nachH. Umstätter in einer weiterentwickelten Form als ein zur Untersuchung des Fließverhaltens bei hohen Schergefällen geeignetes Gerät beschrieben.Die mit strukturviskosen Ölen mit hochpolymeren Zusätzen erhaltenen Ergebnisse zeigen die bei den Messungen zu beachtenden Besonderheiten (Selbsterwärmung, Relaxation, Molekülabbau). Möglichkeiten zur Interpolation und Extrapolation der Ergebnisse werden angegeben und diskutiert.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. April 1961 in Bad Oeynhausen.     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

Experimental investigation of the turbulent boundary layer in the pipe flow of viscoelastic fluids

Summary In turbulent flow of viscoelastic fluid the boundary layer plays an essential rôle. Measurements by help of a Laser Doppler apparatus designed for this purpose were performed to give reliable results under the difficult situations in viscous sublayer and buffer layer. It could be shown that the viscous sublayer in comparison to the Newtonian case is unchanged. The buffer layer splits up with polymer concentration and Reynolds number, in contradiction to some literature results. With increasing polymer concentration and increasing Reynolds number the buffer layer expands more and more at the expense of the core region.Finally the buffer layer extends asymptotically almost to the middle of the pipe giving the ultimate profile. For this case a correlation in a mixing length model with a reduced mixing length has been found, which describes the experiments well.Integration of the ultimate profile and the logarithmic core profile at low drag reduction gives the corresponding points of the flow characteristic with good accuracy.The results derived are also valid for fluids with non-linear flow curve by using a representative viscosity.

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Zusammenfassung Das Widerstandsverhalten viskoelastischer Flüssigkeiten in der turbulenten Rohrströmung wird wesentlich durch die Wand-Grenzschicht bestimmt.Zur Messung der Mittelwertgeschwindigkeit in der viskosen Unterschicht und in der Pufferschicht wurde deshalb zur Erzielung der erforderlichen Genauigkeit eine Laser-Doppler-Apparatur konzipiert.Es zeigt sich, daß bei Benutzung der üblichen dimensionslosen Darstellung die viskose Unterschicht gegenüber der Strömung newtonscher Flüssigkeiten unverändert ist. Die Pufferschicht fächert auf in Abhängigkeit von der Polymerkonzentration und der Reynoldszahl. Mit wachsender Polymerkonzentration und/oder wachsender Reynoldszahl nimmt die Ausdehnung der Pufferschicht auf Kosten der Kernzone zu. Die Kernzone besitzt einen halblogarithmischen Geschwindigkeitsverlauf mit derselben Steigung wie bei newtonschen Fluiden. Im Grenzfall wird die Kernzone fast gänzlich durch die Pufferzone verdrängt. Das Flüssigkeitsprofil verläuft jetzt als ultimate profile. Profile und Widerstandscharakteristik lassen sich in Übereinstimmung mit den Experimenten darstellen, wenn man für Pufferschicht und Kernschicht jeweils unterschiedliche Mischlängen benutzt.Die Resultate sind auch gültig für Flüssigkeiten mit nichtlinearer Fließkuve, wenn man für die Darstellung eine repräsentative Viskosität benutzt.

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Paper presented at the annual meeting of the Deutsche Rheologische Gesellschaft e. V., Dortmund, March 9th–11th, 1977.

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With 6 figures     

The loss of laminar flow stability in non-isothermal flow of plastic disperse systems through circular pipes

Summary Various methods for the evaluation of stability loss conditions for the flow of non-elastic non-Newtonian fluids in circular pipes are considered. Equations are derived for the calculation of stability parameter critical value for non-linear viscoplastic liquids based on the integral value of the kinetic energy of the flow. Computation results by both this method and local stability parameter method are compared with experimental data. The advantages of the first of these methods are shown for pseudo-plastic liquids with behaviour index below 0.5 and viscoplastic fluids with generalized Hedstrom number above 5 10⁴. Defined are stability parameters for non-isothermal flow of non-linear viscoplastic fluid obeying the Bulkley-Herschel equation with and without regard to motion energy dissipation. The effect of rheological properties dependence from temperature and heat flux direction on laminar flow stability is determined. The results of numerical calculations for different variants are presented.

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Zusammenfassung Es werden verschiedene Methoden zur Abschätzung des Stabilitätsverlustes (d. h. des Umschlagens von der laminaren in die turbulente Strömungsform) bei der Strömung nicht-elastischer nicht-newtonscher Flüssigkeiten in Kreisrohren betrachtet. Gleichungen zur Bestimmung der kritischen Werte des Stabilitätsparameters für nichtlinear-viskoplastische Flüssigkeiten werden abgeleitet, die auf der Größe der gesamten kinetischen Energie der Strömung basieren. Rechenergebnisse sowohl für diese Methode als auch die Methode der lokalen Stabilität werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen. Die Vorzüge der erstgenannten Methode werden für strukturviskose Flüssigkeiten mit einem Indexn unter 0,5 und für viskoplastische Flüssigkeiten mit einer Hedström-Zahl größer als 5 10⁴ aufgezeigt. Es werden weiter Stabilitätsparameter für nicht-isotherme Strömungen nichtlinearviskoplastischer Flüssigkeiten definiert, die der Bulkley-Herschel-Gleichung gehorchen, wobei die Energiedissipation sowohl berücksichtigt als auch vernachlässigt werden kann. Die Wirkung der Abhängigkeit der rheologischen Eigenschaften von der Temperatur und der Richtung des Wärmestroms auf die Stabilität der laminaren Strömung wird untersucht. Für eine Anzahl von verschiedenen Bedingungen werden numerisch berechnete Beispiele vorgestellt.

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With 8 figures and 1 table     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

On the steady rotational motion of polar fluids

Summary It is shown that for all physically reasonable boundary conditions employed in the theory of polar fluids the theory predicts the traditional result that a fluid will undergo a pure rigid body rotation when subjected to a steady rotational motion in a cylindrical vessel.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß für alle physikalisch realisierbaren Grenzbedingungen, die in der Theorie der polaren Flüssigkeiten benutzt werden, diese Theorie das klassische Ergebnis liefert: die Flüssigkeit vollführt eine reine Rotation wie ein starrer Körper, wenn sie sich in einem stationär rotierenden zylindrischen Gefäß befindet.

     

On the atomization of elastico-viscous liquids

Summary The mathematical model of high velocity gas atomization developed byBradley is extended to include liquids which possess elasticity. Numerical results exhibiting the dependence of the most frefrently occurring drop size upon elasticity are presented. It is shown that elasticity of the type considered has the effect of reducing the predicted drop size.

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Zusammenfassung Ein vonBradley entwickeltes Modell für die Zerstäubung von Flüssigkeiten durch Gase, die mit hoher Geschwindigkeit strömen, wird auf elastische Flüssigkeiten ausgedehnt. Es werden numerische Ergebnisse über die Abhängigkeit der am häufigsten vorkommenden Tropfengröße von der Elastizität mitgeteilt. Dabei wird gezeigt, daß Elastizität der betrachteten Art eine Verringerung der Tropfengröße bewirkt.

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With 1 figure     

Some observations on the rheological behaviour of dense suspensions

Summary A review is given of current knowledge of the rheology of solid-liquid mixtures of very high solids concentrations, including unsaturated systems. Their behaviour is traced to viscous behaviour of fluids and granular behaviour of particulate solids, and termed granuloviscous. Various features of granulo-viscous behaviour are described: stick-slip, changes in flow curve, packing density variation, wall effects, behaviour of highly flocculated materials, liquefaction, and influence of normal stress. Theoretical work that exists in the literature is referred to, but it would seem that granuloviscous behaviour is open for fundamental research.

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Zusammenfassung Es wird ein Überblick über den gegenwärtigen Kenntnisstand in der Rheologie von Feststoff-Flüssigkeits-Mischungen mit sehr hohen Feststoff-Konzentrationen einschließlich ungesättigter Systeme gegeben. Ihr Verhalten wird sowohl zum viskosen Verhalten von Flüssigkeiten als auch zum Granulat-Verhalten körniger Feststoffe in Beziehung gesetzt und als granulo-viskos bezeichnet. Verschiedene Merkmale des granulo-viskosen Verhaltens werden beschrieben: Haft-Gleit-Phänomene, Veränderungen der Fließkurve, Variation der Packungsdichte, Wandeffekte, Verhalten von hochgradig ausgeflockten Stoffen, Verflüssigung und Einfluß der Normalspannungen. In der Literatur vorgefundene theoretische Untersuchungen werden ebenfalls erwähnt, doch es scheint, daß das granuloviskose Verhalten noch auf eine grundlegende Erforschung wartet.

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With 5 figures     

A computer model of hole-pressure measurement in Poiseuille flow of visco-elastic liquids

Summary Liquid-filled holes used for pressure measurements of visco-elastic liquids give rise to systematic hole pressure errors.Tanner andPipkin have presented an analysis for flows of a second-order fluid in which they derive a simple relation between the first normal-stress difference and the hole pressure for flow situations where Reynolds numbers are very small. Implicit in the analysis is the assumption that the streamlines are symmetric about the hole center line. In this paper, using a numerical solution, we investigate the relationship between the hole pressure and the first normalstress difference for a range of Reynolds numbers where inertial effects are not negligible. The ratio of hole pressure to first normal-stress difference is found to vary from 0.25 to 0.16 as the Reynolds number is varied from 1 to 10. Streamline patterns are presented for Poiseuille flow of a second-order fluid over a slot cut into one wall of an otherwise straight channel. Various geometries are considered. The results naturally include those for an incompressible Newtonian liquid at non-zero Reynolds numbers.

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Zusammenfassung Flüssigkeitsgefüllte Bohrungen für Druckmessungen führen bei viskoelastischen Flüssigkeiten zu systematischen Fehlern (hole pressure errors).Tanner undPipkin haben für Strömungen von Flüssigkeiten zweiter Ordnung diesen Effekt analysiert und finden im Falle sehr kleiner Reynoldszahlen eine einfache Beziehung zwischen der ersten Normalspannungsdifferenz und dem Lochdruck (hole pressure). Bei dieser Untersuchung wird implizit von der Annahme Gebrauch gemacht, daß die Stromlinien symmetrisch zur Lochachse verlaufen. In der vorliegenden Arbeit wird unter Anwendung eines numerischen Verfahrens die Beziehung zwischen dem Lochdruck und der ersten Normalspannungsdifferenz für einen Bereich von Reynoldszahlen untersucht, bei dem Trägheitseffekte nicht mehr vernachlässigt werden können. Das Verhältnis von Lochdruck zu erster Normalspannungsdifferenz verkleinert sich von 0,25 auf 0,16, wenn die Reynoldszahl von 1 bis 10 ansteigt. Für die Poiseuille-Strömung einer Flüssigkeit zweiter Ordnung über einer in die Wand eines sonst geradlinigen Kanals eingeschnittene Nute werden Stromlinienbilder dargestellt, wobei unterschiedliche geometrische Verhältnisse betrachtet werden. Die Ergebnisse schließen natürlich den Fall der Strömung inkompressibler newtonscher Flüssigkeiten mit nicht-verschwindender Reynoldszahl ein.

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With 11 figures and 2 tables     

Nonsimilar incompressible laminar boundary-layer flows in micropolar fluids

Summary The solution of the steady laminar incompressible nonsimilar boundary-layer problem for micropolar fluids over two-dimensional and axisymmetric bodies has been presented. The partial differential equations governing the flow have been transformed into new co-ordinates having finite range. The resulting equations have been solved numerically using implicit finite-difference scheme. The computations have been carried out for a cylinder and a sphere. The results indicate that the separation in micropolar fluids occurs at earlier streamwise locations as compared to Newtonian fluids. The skin friction and velocity profiles depend on the shape of the body and are almost insensitive to microrotation or coupling parameter, provided the coupling parameter is small. On the other hand, the microrotation profiles and microrotation gradient depend on the microrotation parameter and they are insensitive to the coupling parameter.

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Zusammenfassung Es wird die Lösung des stationären Grenzschichtproblems inkompressibler mikropolarer Flüssigkeiten für den Fall der Nichtähnlichkeit bei zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern vorgelegt. Die dem Problem zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen werden durch Einführung neuer Koordinaten auf ein endliches Gebiet transformiert. Die so erhaltenen Gleichungen werden mit Hilfe eines impliziten Differenzenverfahrens numerisch gelöst. Die Rechnung wird für den Zylinder und die Kugel durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Grenzschichtablösung früher erfolgt als bei vergleichbaren newtonschen Flüssigkeiten. Wandreibung und Geschwindigkeitsprofile hängen von der Gestalt des Körpers ab und sind nahezu unempfindlich gegen Mikrorotation und Kopplungsparameter, vorausgesetzt, daß der letztere klein ist. Dagegen hängen das Profil und der Gradient der Mikrorotation vom Parameter der Mikrorotation ab und sind ebenfalls unempfindlich gegen die Kopplungsparameter.

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With 6 figures     

Transient rheology in a new type of Couette apparatus.

Summary Calculations are performed which concern a new type of air-bearing viscometer. The transient motions of the rotor are studied for Newtonian fluids, and some applications are described for non-Newtonian fluids. It is shown that the rise and relaxation motions may be generally well described by only one exponential function of the time.

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Zusammenfassung Es werden Rechnungen betreffend ein luftgelagertes Viskosimeter neuen Typs durchgeführt. Die nichtstationären Bewegungen des Rotors werden zuerst für newtonsche Flüssigkeiten untersucht, anschließend folgt eine Anwendung auf nicht-newtonsche Flüssigkeiten. Es wird gezeigt, daß sowohl die Anlauf- als auch die Relaxationsbewegung im allgemeinen hinreichend gut durch eine einzige Exponentialfunktion beschrieben werden kann.

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With 10 figures and 1 table     

Das anomale Fließverhalten von Polyäthylen hoher Dichte

Zusammenfassung Das anomale Strömungsverhalten von Polyäthylen hoher Dichte (HDPE) wird mit Hilfe eines Kapillar-Rheometers am Beispiel der Strömung durch Düsen mit Kreisquerschnitt untersucht. Die Ergebnisse der Untersuchung werden in Form scheinbarer Fließkurven dargestellt. Es wird der Einfluß der Temperatur, der Oberflächenbeschaffenheit der Düse, der Düseneinlauf-Geometrie, des Druckniveaus und der Zugabe von Zusatzstoffen (Stabilisator, Holzmehl) auf den Verlauf der scheinbaren Fließkurve untersucht. Es kann gezeigt werden, daß die bei diesem Material besonders ausgeprägt auftretenden Fließanomalien nicht wie bei anderen Polymertypen (wie z. B. LDPE, PS, PP) auf Vorgänge im Düseneinlauf beruhen, sondern auf eine Änderung der Fließeigenschaften der Kunststoffschmelze im Bereich der Düsenwand zurückzuführen sind. Diese Änderung der Fließeigenschaften führt in der Düse zu einem Gleiten bzw. zu Haft-Gleierscheinungen. Visuelle Untersuchungen, bei denen die Lage- und Gestaltänderungen farbig markierter Proben beobachtet werden, bestätigen diese Ergebnisse.

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Summary The anomalous flow behaviour of high density polyethylene melts (HDPE) is studied with a capillary rheometer. The results are described in form of apparent flow curves. The investigation shows the influence of melt temperature, die surface condition, die entrance geometry, pressure niveau, and content of additives (stabilizer, saw dust) on the appearance of the apparent flow curve. It is shown that the anomalous flow behaviour of this kind of polymer melt is not caused by die entrance effects as it is for other polymer melts (e.g. LDPE, PS, PP). The anomalous flow behaviour can be related on a change in the flow properties of the HDPE-melt in the vicinity of the die wall. This change in the rheological properties causes slip or stick-slip, respectively, at the die wall. Flow visualization experiments confirm the results.

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Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.

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Mit 27 Abbildungen und 1 Tabelle

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Herrn Prof. Dr.-Ing.G. Schenkel zum 65. Geburtstag gewidmet     

Die Elastizität von Flüssigkeiten

Zusammenfassung Ausgehend von einer Suspension elastischer Hanteln bzw. kettenförmiger Teilchenaggregate als dem einfachen Modell einer viskoelastischen Flüssigkeit werden auf induktivem Wege rheologische Stoffgleichungen abgeleitet, in denen das Konzept des elastischen Dehnungsanteils (recoverable strain) eingearbeitet ist und die als nicht-lineare Erweiterung des sog. verallgemeinertenMaxwell-Modells aufgefaßt werden können. In ihnen wird die Flüssigkeit durch eine Folge ineinander verschachtelter Kontinuas gekennzeichnet, denen je ein Elastizitätsgesetz zugeordnet ist. Die Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Beweglichkeit der Strukturelemente bedingt, daß das Verhalten der so dargestellten Flüssigkeiten im allgemeinen von dem einerWeissenberg-Flüssigkeit abweicht.Habilitationsvortrag, gehalten am 5. Februar 1965 vor der Fakultät für Mathematik und Physik der Technischen Hochschule Darmstadt.     

Verschiedene Phänomene in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen

Zusammenfassung In Fortsetzung einer vorangegangenen Untersuchung über nicht-lineare Effekte beim Strömen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen werden drei verschiedene Phänomene behandelt:Zuerst wird gezeigt, daß Luftblasen und Feststoffteilchen, die in solchen Flüssigkeiten suspendiert sind in vielen Fällen nicht durch die Düse hindurchgehen. sondern seitlich auswandern und sich in den Zirkularströmungszonen anreichern. Dieser Effekt wird durch die Inhomogenität des Spannungsfeldes im Einströmbereich gedeutet.Anschließend wird die zuerst vonMetzner u. Mitarb. an Lösungen sehr hochmolekularer Polymerer beim Einströmen beobachtete Trübung genauer analysiert und insbesondere gezeigt, daß diese nicht vom Druck an der Auslaufseite abhängt. Hierdurch wird die Vermutung, daß es sich um einen Entgasungseffekt infolge lokalen Unterdrucks handeln könnte, als unhaltbar erwiesen, und es wird wahrscheinlich gemacht, daß die Ursache in einer reversiblen Aggregation der parallel gerichteten, gestreckten Molekülketten zu suchen ist.Endlich wird die Ausströmung aus Lochdüsen in ein Flüssigkeitsreservoir hinein untersucht. Im Widerspruch zu gewissen theoretischen Voraussagen beobachtet man hier keine Zirkulationszonen, sondern eine überall auswärts gerichtete, von der Mitte zum Rand hin monoton abnehmende Strömung, die — abgesehen von einer Krümmung der Stromlinien in unmittelbarer Nähe der Düsenöffnung — nur wenig von der schleichenden Strömung einerNewtonschen Flüssigkeit abweicht. Bei hohen Durchsätzen tritt allerdings ein von den Instabilitätsphänomenen inNewtonschen Flüssigkeiten wesentlich verschiedener Umschlag in eine ganz andere Strömungsform ('bäumchenartige Strömung) auf, die der bei Freistrahlen beobachteten 'Zwiebelablösung korrespondiert. Diese wird ebenfalls durch die vor der Düse gebildeten Aggregationen und deren endliche Zerfallszeit gedeutet. Es wird einsichtig gemacht, warum die Approximationstheorie, welche für Einlaufströmungen durchaus vernünftige Voraussagen liefert, für Auslaufströmungen versagen muß.

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Summary In continuation of a preceding investigation of non-linear effects in viscoelastic flow through dies three different phenomena are analyzed:First it is shown that air bubbles and solid particles, suspended in such fluids, in many cases do not pass through the die, but migrate laterally and accumulate in the neighbouring circulation zones. This effect is explained by the inhomogeneity of the stress field in the inflow area.Subsequently the haze, first observed byMetzner et al. in the inflow zone with solutions of long-chain polymers, is studied particularly, and it is shown that its intensity does not depend on pressure at the outflow side. Hereby the suggestion that this haze should be a degassing phenomenon due to local pressure reduction below atmospheric is shown to be maintainable no longer, and it is pointed out as being very likely to originate from a reversible aggregation of parallelized, elongated chain molecules.Finally, discharge out of holes into a fluid reservoir is studied. In contradiction to certain theoretical predictions, a flow everywhere directed outwards and monotonously decreasing from the midst to the walls with no circulation areas at all is observed which only deviates from slowNewtonian, flow by some curvature of stream lines near the outlet. With high flow rates, however, a transition occurs into a quite different flow type (tree-like outflow) which is characteristically divergent from instability phenomena inNewtonian fluids but corresponds to onion slide-down in free jets. This is also explained by aggregation before entering the die and its finite decay time. It is elucidated why approximation theory, which provides reasonable predictions for inflow, must fail for discharge flow.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 20.–22. Mai 1968

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Für Entwurf und Bau der Versuchsapparaturen sei HerrnH. Stollorz, für die Durchführung der Experimente HerrnH. Pickelin herzlich gedankt.     

Die SekundÄrströmung in einer Kegel-Platte-Anordnung: AbhÄngigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit bei verschiedenen Polymersystemen

Zusammenfassung Unter Voraussetzung einer Theorie zweiter Ordnung wird das SekundÄrströmungsfeld einer Kegel-Platte-Strömung berechnet, wie es sich infolge der konkurrierenden Einwirkung von TrÄgheit und ViskoelastizitÄt einstellt, und es wird insbesondere die Form der Null-Stromlinie bestimmt, die dieses Feld in je eine Zone dominierender TrÄgheit bzw. dominierender ViskoelastizitÄt unterteilt. Anschließend wird die experimentelle Realisierung einer Kegel-Platte-Anordnung, sowie ein optisches Verfahren zur Ausmessung der Null-Stromlinie beschrieben, und in dieser Anordnung werden eine Anzahl von Polymersystemen — vor allem lineare Polysiloxane mit verschiedenem Molekulargewicht, sowie deren Mischungen und Lösungen — untersucht. Dabei findet man, daß sich einheitliche Polysiloxane von mittlerem Molekulargewicht in weiten Grenzen entsprechend der Theorie zweiter Ordnung verhalten, wohingegen man mit Abmischungen und Lösungen hochmolekularer Polysiloxane mehr oder weniger starke Abweichungen von einem solchen Verhalten erzielen kann.

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Summary Secondary flow in a cone-and-plate arrangement, resulting from the competing action of inertia and viscoelasticity, is calculated on the basis of a secondorder theory. Specifically the contour of the zerostreamline, subdividing this flow field into two parts with predominant inertia and viscoelasticity respectively, is predicted. Subsequently an experimental realization of cone-and-plate arrangement and an optical technique for measuring the zero-streamline diameter are described. With this setup a number of polymer systems are investigated, for the most part linear polysiloxanes with different molecular weights as well as mixtures and solutions of these. It is found that uniform polysiloxanes of medium molecular weight behave according to the second-order theory within a wide range, but that more or less pronounced deviations are to be achieved with mixtures and solutions of high molecular polysiloxanes.

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Über die Ergebnisse dieser Untersuchung wurde unter dem Thema Polymersysteme, die sich wie Flüssigkeiten zweiter Ordnung verhalten auf der Rheologentagung in Bad Ems am 19. Mai 1967 berichtet.

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Herrn Dipl.-Ing.K.- O. Falke (Farbwerke Hoechst) und HerrnB. Cornelsen sei für die sorgfÄltige Durchführung und Auswertung der Experimente, Herrn Dr.J. Pawlowski und seinen Mitarbeitern für die Messung der Fließkurven und Herrn Dr.G. Kaufhold für die Vorbereitung der elektronischen Rechnungen herzlich gedankt.     

Similar laminar boundary layers in incompressible micropolar fluids

Summary A search for similar solutions reveals as only possible similar boundary layer flow in micropolar fluids the flow near a stagnation point. The corresponding equations have been solved numerically by means of a shooting method. Consideration is given not only to the coupling parameterC ₁ and the microdiffusivity parameterC ₂ but also to the microinertia parameterC ₃. It is shown that macroscopic properties of steady boundary layer flows are not very much affected by these parameters, while the microrotation and therefore the inner structure of the layer is very sensitive to all three parameters. These properties of the microstructure can become important in certain unsteady flow problems; then also the macroscopic behaviour may be different to the behaviour of Newtonian fluids.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Untersuchung wird gezeigt, daß ähnliche Grenzschichten in mikropolaren Flüssigkeiten nur in der Nähe eines Staupunkts existieren. Die zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungen werden mit einem Einschießverfahren numerisch gelöst. Neben dem KopplungsparameterC ₁ und dem MikrorotationsparameterC ₂ wird dabei auch der Einfluß der Mikroträgheit im ParameterC ₃ berücksichtigt. Es zeigt sich, daß diese Parameter die makroskopischen Eigenschaften stationärer Grenzschichtströmungen relativ wenig beeinflussen, während sich die Mikrorotation und damit die innere Struktur der Grenzschicht mit diesen Parametern sehr stark ändern kann. Man kann vermuten, daß diese Eigenschaften mikropolarer Flüssigkeiten bei instationären Vorgängen durchaus auch im makroskopischen Verhalten zu größeren Abweichungen gegenüber newtonschen Flüssigkeiten führen können.

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With 6 figures and 1 table