Das Dualproblem in der linearen Planungsrechnung

Zusammenfassung Der folgende Beitrag zeigt den ökonomischen Hintergrund des mathematischen Problems der Dualität. Es werden das Beispiel eines Primal- und des zugehörigen Dualproblems sowie die allgemeinen Eigenschaften der Dualität behandelt. Während die Lösung der ursprünglichen Aufgabe eine optimale Ausnutzung der vorhandenen Betriebskapazitäten im Hinblick auf den erreichbaren Maximalgewinn anstrebte, werden durch die Lösung des Dualproblems diesen einzelnen Kapazitäten, dem Grade ihrer Knappheit entsprechend, bestimmte Werte zugerechnet. Aus diesen Werten können wertvolle Hinweise für die Kapazitätsplanung gewonnen werden.

---

Summary The following contribution shows the economic sense of the mathematical dual-problem. An example of a primal-problem and the corresponding dual as well as all general features of duality are dealt with. Whereas the primal-problem is used to find an optimal allocation of scarce resources to maximize the profit, the solution of the dual-problem is used to impute values of these scarce resources. These values are useful guides for decisions concerning the planning of capacities.

     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

---

---

Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

Optimale Produktionsverteilung zur Erzielung des maximalen Reingewinns

Zusammenfassung In diesem Beitrag wird gezeigt, wie die Produktion einer Erzeugnispalette in mehreren Produktionsstätten, unter Berücksichtigung einer Reihe von Kapazitätsrestriktionen, optimal verteilt werden kann. Es wird demonstriert, nach welchem Schema die schon optimal erzeugten Produkte zu den Verbrauchern transportiert werden sollen, so daß aus der kombinierten Produktions-Transportaufgabe der maximale Reingewinn erzielt werden kann.Dazu könnte man sich der bekannten Regeln der Entscheidungstheorie bedienen, der Erfolg aber bleibt dabei sehr in Frage gestellt.Im vorliegenden Beitrag wird dagegen versucht, mit Hilfe der Matrixspiele und des Transportalgorithmus zu einer annehmbaren Lösung zu gelangen.

---

Summary The present work attempts to identify the optimal schedule of a production allocation and distribution problem. Specifically a number of products are to be produced at various plants, under considerations of certain capacity restrictions, and distributed to known markets.A model is presented for this problem and a solution procedure proposed, which utilizes game theory to determine the optimal production schedule and the transportation algorithm to obtain the optimal distribution pattern. The above solution procedure which is demonstrated via a numerical example, seems to perform better than the usual decision theory criteria.

     

Some new results in flow shop scheduling

The problems of finding a schedule with minimal maximum lateness, respectively with minimal mean flow time for 2-machine flow shops with no wait in process, and related problems, including versions with unit processing times and a single resource constraint, are shown to be NP-hard in the strong sense. An algorithm is presented which finds a minimum makespan schedule with no wait in process for the 2-machine unit processing time flow shop under a single resource constraint inO (n logn) time. The obtained results continue to hold for the corresponding preemptive respectively nonpreemptive cases.

---

Zusammenfassung Ablaufplanungsprobleme für Werkstücke, die ohne zeitliche Unterbrechnung nacheinander auf einer Reihe von Maschinen zu bearbeiten sind, werden untersucht. U.a. wird nachgewiesen, daß im Gegensatz zur Minimierung der Planlänge die Minimierung anderer elementarer Kriterien, nämlich der größten auftretenden Verspätung bzw. der durchschnittlichen Fertigstellungszeit der Werkstücke bereits bei zwei Maschinen im strengen Sinne NP-schwierig ist. Es zeigt sich ferner ein enger Zusammenhang zu entsprechenden Problemstellungen, bei denen die Bearbeitung der Werkstücke auf den Maschinen eine beschränkt verfügbare Ressource in Anspruch nimmt, und alle Bearbeitungsdauern gleich sind. Hierzu wird ein Verfahren mit AufwandO (n logn) angegeben, das für zwei Maschinen Ablaufpläne minimaler Länge liefert. Wie ebenfalls gezeigt wird, gelten die dargestellten Ergebnisse auch für die Fälle, daß zeitliche Unterbrechnung zwischen den Maschinen bzw. auf und zwischen den Maschinen zugelassen wird.

     

An application of dynamic programming and the HMMS rule on two-level production control

Summary In this paper the Dynamic Programming technique and the HMMS rule are applied on a production control model of an assembly factory.On the one hand the HMMS rule is applied to the production control of the factory in total. On the other hand Dynamic Programming is applied to the production control of each single capacity group. Next both approaches are integrated.Here, the HMMS rule figures as a smoothing framework in which the production plans per capacity group are embedded.Furthermore, a new technique concerning the calculation of the value tables is introduced: this technique makes the usual interpolations superfluous and therefore reduces computation time drastically.

---

Zusammenfassung In diesem Beitrag werden dynamische Programmierung und die HMMS-Regel auf das Planungs- und Steuerungsmodell einer Montagefabrik angewendet. Während die HMMS-Regel auf die Gesamtfabrik angewendet wird, erfolgt die Fertigungssteuerung der einzelnen Kapazitätsgruppen mit dynamischer Programmierung. Beide Verfahren werden dann integriert. Hier zeigt sich die HMMS-Regel als glättendes Netzwerk, in das die Produktionspläne der Kapazitätseinheiten eingebettet sind.Außerdem wird eine neue Rechentechnik eingeführt, die die üblichen Interpolationen überflüssig macht und damit die Rechenzeit drastisch verkürzt.

     

Dislocation dynamics and the theory of the plasticity of single crystals

Zusammenfassung Es wird die Kontinuums-Theorie der Dislokationen benützt, um den plastischen Fluss in Einkristallen zu beschreiben. Dabei wird angenommen, dass das dynamische Verhalten der Dislokationen durch ein System von Tensorflüssen zusammen mit Konstitutionsgleichungen für die Dislokationsgeschwindigkeiten und für die Produktionsgeschwindigkeiten positiv-negativer Dislokationspaare beschrieben werden kann. Erhaltungssätze verknüpfen die Dichteänderungen der Dislokationen mit den Divergenzen der entsprechenden Ströme, und die Ströme bestimmen auch die plastische Verformungsgeschwindigkeit. Auf diese Weise erhält man eine Plastizitätstheorie, welche nur von mikroskopischen Parametern abhängt. Falls lange geradlinige Dislokationen vorherrschen, lassen sich die Erhaltungssätze ohne weiteres gewinnen, und die Beschreibung ist vollständig, sobald die beiden genannten Konstitutionsgleichungen gegeben sind. Ist aber die Dichte der Versetzungsschleifen gross, dann muss ein neuer Satz von Grössen eingeführt werden: die Dichte der Ecken an Dislokationslinien. Es wird der Fall einfacher kubischer Kristalle untersucht, und es wird gezeigt, dass es in den Erhaltungsgleichungen sechs Eckendichten gibt. Die Arbeit beschränkt sich nicht auf kleine Verzerrungen, Dislokationsdichten oder materielle Geschwindigkeiten.     

The effect of a transverse pressure gradient on the stability of couette flow

Zusammenfassung Der Einfluss eines transversalen Druck-Gradienten auf die Stabilität einer Couette-Strömung ist durch direkte Lösung der Differentialgleichungen untersucht worden. Es stellt sich heraus, dass für besondere Werte von Drehzahl und Druck-Gradient die Kurve der neutralen Stabilität zwei Minima besitzt; dies führt zu unstetigem Verhalten der kritischen Wellenzahl. Eingehende Resultate sowohl für die Eigenwerte (Taylor-Zahl und Wellenzahl) als auch die Eigenfunktionen (Radial- und Transversal-Komponenten der Störungsgeschwindigkeit) werden hier vorgelegt für den Fall, dass der äussere Zylinder still steht.     

Analysis of the oscillations of the Timoshenko beam

Zusammenfassung Die Schwingungen des Timoshenko-Trägers werden mit Hilfe sich ergänzender Variationsprinzipien analysiert. Es werden Rayleigh-Quotienten, die auf den beiden Prinzipien basieren, für die Eigenfrequenzen angegeben. Sodann werden duale Träger mit konstanten Querschnittpaaren definiert und die Beziehungen zwischen den Eigenfrequenzen und Schwingungsformen der dualen Träger diskutiert.     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

Load-displacement relations for elastic bodies

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass bei statischen Eigenwertproblemen der infinitesimalen Elastizitätstheorie die an einem Teil der Oberfläche, an welchem die Verschiebungen vorgeschrieben sind, angreifende Dyname in den vorgeschriebenen Grössen ausgedrückt werden kann. Das Verfahren verlangt die Kenntnis der Oberflächenverschiebungen und Oberflächenspannungen unter gewissen behelfsmässig definierten Gleichgewichtszuständen. Es wird auf einen Zylinder mit vorgeschriebenen Endverschiebungen und auf den Halbraum unter einem reibungsfreien starren Stempel angewandt.     

Vibrations of rotating beams with tip mass

Zusammenfassung Es werden die zur Rotationsebene normalen Biegeschwingungen eines rotierenden Stabes mit Endmasse studiert; insbesondere wird im Anschluss an eine frühere Arbeit, die sich auf die Grundschwingung beschränkte, der Einfluss der Endmasse bei grösseren Winkelgeschwindigkeiten auf die höheren Eigenschwingungen untersucht. Dabei werden Störungsmethoden und asymptotische Näherungen in Verbindung mit den klassischen Verfahren vonRayleigh-Ritz undSouthwell angewendet. Für Stäbe veränderlichen Querschnittes wird nachgewiesen, dass für Eigenschwingungen genügend hoher Ordnung und hinreichend grosse Winkelgeschwindigkeiten die Eigenfrequenzen durch die Endmasse erhöht werden. Für Stäbe konstanten Querschnittes werden numerische Schranken angegeben, welche dieses Resultat bereits für die erste Oberschwingung beweisen. Dieses Verhalten steht im Gegensatz zu demjenigen der Grundschwingung, deren Eigenfrequenz durch eine Endmasse stets erniedrigt wird.     

Solution of the poisson equation related to a boundary-value problem for the sphere

Zusammenfassung Es werden Lösungen der Poissonschen Differentialgleichungen in den Bereichen innerhalb und ausserhalb einer Sphäre, die gewisse Grenzbedingungen an der Fläche der Sphäre erfüllen, gesucht. Solche Lösungen werden schliesslich als Funktion partikulärer Integrale der Differentialgleichungen ausgedrückt. Ihre Anwendung auf die theoretische Physik wird anschliessend behandelt.     

Electron optics in multi-stage lens system (II)

Zusammenfassung Die Ausdrücke für die relativistischen Kardinalelemente einer elektrischen Zweirohr-Linse werden vermittels eines Störungsverfahrens hergeleitet und auf den Fall schwacher Linsen angewendet. Es wird angenommen, dass das Potential auf der Achse den vonSpangenberg gegebenen Wert besitzt.Hierauf werden die relativistischen Kardinalelemente eines aus solchen Linsen bestehenden Systems in ähnlichen Formen wie im nichtrelativistischen Fall ausgedrückt, unter Heranziehung der Ausdrücke für eine Linse. Die Ergebnisse der Rechnung werden an einem typischen Fall erläutert.     

Magnetic diffusion and the scaling laws for solar wind simulation

Zusammenfassung Es werden Theorien über die Position und die Dicke der Grenze zwischen dem Magnetfeld der Erde und dem Sonnenwindplasma diskutiert. Die Eigenschaften eines im Laboratorium erzeugten Plasmas werden angegeben, welche diese Zusammenwirkung simulieren kann. Es wird ein Experiment beschrieben, welches die korrekten Modellgesetze erfüllt, und die Störung des Magnetfeldes im Modell wird gezeigt. Es wurde gefunden, dass die Eigenschaften des Grenzgebietes mit den theoretischen Voraussagen nicht übereinstimmen. Der Unterschied kann aber durch die Diffusion des Magnetfeldes in den Plasmastrom erklärt werden, wenn ein genauerer Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit benützt wird. Die Bedingungen für die exakte Modellähnlichkeit sind dann nicht mehr erfüllt. Es wird vorgeschlagen, dass eine höhere Elektrontemperatur benötigt wird, um die elektrische Leitfähigkeit genügend zu crhöhen.     

A note on distributions of temperature and eddy diffusivity for heat in turbulent flow near a wall

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Untersuchung durchgeführt, die auf der Energiegleichung aufgebaut ist, um Auskunft über die Verteilungen der Temperaturen und den Energieaustausch in turbulenter Strömung in der Nähe einer Wand zu geben. Es wurde herausgefunden, dass der turbulente Energieaustausch nahe der Wand mit der dritten Potenz des Wandabstandes variiert.     

Ein Kapazitätsmodell für wissenschaftliche Hochschulen unter Einsatz von Netzwerkfluß- bzw. Transportverfahren

Zusammenfassung Das vorliegende Kapazitätsmodell kann bei gewissen Problemen der Ausbildungsplanung an wissenschaftlichen Hochschulen zur Analyse und zur Ermittlung von Entscheidungshilfen herangezogen werden. Wesentliche Elemente des Modells sind Lehrkörper, Studienpläne mit den zugehörigen Lehrveranstaltungen, zulässige Zuordnungen von Lehrkräften zu Lehrveranstaltungen sowie auszubildende Studenten, aufgegliedert nach Studienplan und Fachsemester. Es wird die Anzahl von Engpässen bei Lehrveranstaltungen bezüglich des bestehenden Lehrpersonals minimiert, wobei Netzwerkflußverfahren bzw. Transportverfahren eingesetzt werden können. Unter Annahmen wie Verteilung der Studenten auf Studienpläne und Fachsemester wird eine maximale Anzahl ausbildbarer Studenten bestimmt. Aufgrund der flexiblen Struktur des Modells kann es für Planungsprobleme sowohl an bestehenden als auch an zukünftigen wissenschaftlichen Hochschulen eingesetzt werden.Aus der Sicht der Bildungsplanung wird auf die Anwendung mathematischer Verfahren im allgemeinen und des vorliegenden Modells im speziellen hingewiesen. Erweiterungen des Modells in bezug auf weitere Ressourcen, deren Verknüpfungen sowie zugehörige mathematische Verfahren werden vorgeschlagen.

---

Summary The capacity-model for universities, described in this paper, allows an analysis and assists the decision-making process of certain educational-planning problems at universities. Substantial elements of the model are faculty, curricula with corresponding courses, feasible teacher-course assignments and students classified with respect to field and year of study. The number of bottlenecks of courses with respect to the existing faculty will be minimized by networkor transport methods. Furthermore, a maximal number of students to be educated can be determined under certain assumptions such as their distribution over fields and years of studying. Because of the flexible structure of the model, it can be applied for educational-planning problems of existing and future universities.In the context of educational planning, the applications of mathematical methods in general and of the described model in particular are discussed. Extensions of the models concerning further resources and their interrelationships, and the mathematical methods are suggested.

     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.     

Comportement d'un câble porteur-tracteur

Zusammenfassung Die Feststellung der mechanischen und geometrischen Merkmale eines Trag- und Zugseiles ist entweder auf empirischem Wege oder durch Berechnung zu erlangen. Im letzteren Falle kann den sich aus der Berechnung ergebenden Formeln keinerlei Vertrauen geschenkt werden, sofern diese Berechnung nicht ausgeht von einer genauen Kenntnis der theoretischen Gegebenheiten, deren wechselseitige Beziehungen man in Form von Gleichungen ausgedrückt zu haben beansprucht.Da der einfachste Fall derjenige einer einzigen Last ist, welche an einem Trag- und Zugseil im Zustand des Stillstandes aufgehängt ist, war es angebracht, eine gründliche und vollständige Analyse einer solchen Aufhängung vorzunehmen. Dies ist der Zweck dieses Aufsatzes.Es wird darin festgestellt, dass jeder Neigungswinkel, in welchem das Tragseil aufgespannt ist, gekennzeichnet ist durch 4 unterschiedliche Werte, welche jeweils das Verhältnis zwischen der Länge des Tragseiles und seinem Gegengewicht bestimmen. Der Verfasser ist der Auffassung, die Berechnung von Tragseilen lasse sich nicht bequem und wirksam durchführen, wenn man nicht über Tabellen verfügt, die übrigens leicht aufgestellt werden können, welche diese 4 Werte für die in Frage kommenden Neigungswinkel angeben.Ferner stellt man fest, dass die dargelegte Theorie sich auch auf feste Seile anderer Anlagen anwenden lässt, vor allem auf die Tragseile von Hängebrücken.     

The ‘static few particle problem’ in the plane

Zusammenfassung Es werden in der Ebene die stabilen Lagen einer Anzahl starrer Kugeln, zwischen denen anziehende zentrale Kräfte wirken, untersucht. Für den speziellen Fall, bei dem die Kraft umgekehrt proportional zur ⁵ ist, wird die Bindungsenergie der letzten zugefügten Kugel in die durchschnittliche Bindungsenergie einer Kugel in Abhängigkeit von der Kugelzahl errechnet. Die Aussagen über stabile Lagen werden mittels Anhäufungen gleicher Bläschen überprüft, die auf einer Seifenlösung schwimmen.     

The effects of electric fields on cloud physical processes

Zusammenfassung Der vorliegende Aufsatz versucht eine Übersicht über neuere Literatur zu geben, die den Einfluss von elektrischen Feldern auf wolkenphysikalische Vorgänge behandelt. Die Resultate der bisherigen Arbeiten können folgendermassen zusammengefasst werden:Theoretische und experimentalle Untersuchungen haben gezeigt, dass das Wachstum von Wolkenelementen in der Gegenwart von elektrischen Feldern beschleunigt wird und dass der Vereisungsprozess in unterkühlten Wassertropfen wohl durch elektrische Felder eingeleitet werden kann, jedoch nur unter Bedingungen, die kaum in atmosphärischen Wolken anzutreffen sind.Der Aufsatz weist darauf hin, dass die Kenntnisse über den Einfluss von elektrischen Feldern auf wolkenphysikalische Vorgänge noch relativ klein und ungesichert sind und weiter ausgebaut werden sollten.