Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和a~x+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,m是正偶数,V(r)+U(r)(-1)~(1/2)=(m+(-1)~(1/2))~r.本文证明了:当a=|V(r)|,b=|U(r)|,c=m~2+1时,如果r≡5(mod8),m>r~2且r<11500或者m>2r/π且r>11500,则方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r).     

Diophantine方程x~2+(8k-1)~m=(4k)~n与Terai猜想

设k是正整数,N.Terai曾经猜测:方程x~2+(8k-1)~m=(4k)~n仅有正整数解(x,m,n)=(4k-1,1,2).这是一个迄今尚未解决的数论问题.运用初等方法给出了Terai猜想成立的若干条件由此可知当k≤25且k≠3,6,10,13,15,19,21,24时Terai猜想成立.     

指数Diophantine方程(143n)~x+(24n)~y=(145n)~z

设(a,b,c)是一组满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b的本原商高数,运用初等数论方法讨论方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z正整数解(x,y,z,n),证明了:当(a,b,c)=(143,24,145)时,方程仅有正整数解(x,y,z,n)=(2,2,2,m),其中m是任意正整数,上述结果说明此时Jesmanowicz猜想成立.     

关于七阶广义商高数的Terai猜想

设m是正偶数.运用初等数论方法证明了:当m≡2(mod 4)时,方程|m(m~6-21m~4+35m~2-7)|~x+|7m~6-35m~4+21m~2-1|~y=(m~2+1)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,7).并且指出了相关文献中的一个不足之处.     

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

Diophantine方程x~2+2~m=y~n的全部解

运用高次Diophantine方程和指数Diophantine方程的己知结果证明了:方程x~2+2~m=y~n仅有正整数解(x,y,m,n)=(2~(3k)×5,2~(2k)×3,6k+1,3),(2~(2k)×7,2~k×3,4k+5,4),(2~(3k)×11,2~(2k)×5,6k+2,3),(2~(5k+2)×11,2~(2k+1)×3,10k+5,5),(2~(2kl+3k+l+1),2~(2k+1),4kl+6k+2l+2,2l+3),其中k和l是任意非负整数.     

关于非本原商高数的Je?manowicz的一点注记

设n是正整数,(a,b,c)是本原商高数.1956年,L.Jesmanowicz曾经预测:方程(ab)^x+(bn)^y=(cn)^z仅有正整数解(a,b,c)=(2,2,2),这是一个迄今远未解决的数论问题.对于正整数t,设P(t)是t的不同素因数的乘积.运用Baker方法证明了;当n>1,(a,b,c)=(f²-4,4f,f²+4),其中f是适合f>348的奇数时,如果P(n)■a,则Jesmanowicz猜想成立.     

关于本原商高数的Miyazaki猜想

设a,b,c是适合a=2~(2r)-n~2,b=2~(r+1)n,c=2~(2r)+n~2的正整数,其中r是正整数,n是奇素数.运用初等数论方法讨论了指数Diophantine方程c~x+b~y=a~z.证明了:当2~r=n+1时,方程仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,2);否则,方程无解。上述结果部分地证实了有关本原商高数的Miyazaki猜想。     

关于Diophantine方程(n+1)+(n+2)y=nz

设n是正整数.本文证明了:方程(n+1)+(n+2)y=nz仅当n=3时有正整数解(y,z)=(1,2).     

关于Diophantine方程a~x+b~y=z~2

设a=2~r,b=p~s,其中p是给定的奇素数,r和s是给定的正整数.运用有关三项Diophantine方程和广义Ramanujan-Nagell方程的结果,将方程a~x+~y=z~2的所有正整数解(x,y,z)进行了分类,从而得出了这些解的可有效计算的上界.     

指数丢番图方程a~x+b~y=c~z

设a=|m(m~4-10m~2+5)|,b=5m~4-10m~2+1,c=m~2+1,其中m是正偶数。利用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻结果,证明了指数丢番图方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5)。     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n

设D是大于1的正整数,p是不能整除D的素数.本文证明了:当D=3a~2+1,p=4a~2+1,其中a是正整数时,除了(D,p)=(4,5)这一情况以外,方程x~2+D~m=p~n仅有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a~3+3a,1,3).根据上述结果得到了该方程解数的最佳上界.     

Diophantine方程nx~2+2~m=y~n(英文)

设n是大于3的奇数.本文运用Y.Bilu,G.Hanrot和P.M.Voutier关于Lehmer数本原素因子存在性的新近结果,证明了方程nx~2+2~m=y~n没有适合gcd(x,y)=1且m为奇数的正整数解(x,y,m).     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n的解的注记

设a为偶数,p为素数,D=3a~2+1,p=4a~2+1。本文指出了乐茂华文献中的错误,并利用两个对数的线性型上界估计的P-adic形式以及广义Fermat方程的解的一些新结论,证明了方程x~2+D~m=p~n仅有两组正整数解(x,m,n)=(0,1,1),(8a~3+ 3a,1,3)．