平面区域问题

在高中数学竞赛大纲中 ,二元一次不等式表示的区域是解析几何的一个重要组成部分 .这类问题主要包括区域的确定、区域面积的计算、区域型最值的求法、区域内整点的计数等 .在直角坐标平面内 ,直线l可以用二元一次方程Ax +By +C =0来表示 ,点P(x0 ,y0 )在直线l上的充要条件是Ax0 +By0 +C =0 ;若点P不在直线l上 ,则Ax0 +By0 +C >0或Ax0 +By0 +C <0 ,二者必居其一 .直线l :Ax +By +C =0将平面划分为两个半平面Ax +By +C >0和Ax +By +C <0 ,位于同一个半平面内的点 ,其坐标必适合同一个不等式 .要确定一个二元一次不等式所表示的半平…     

点到直线的距离

空间解析几何的教学中 ,空间点、直线、平面之间的关系是学习的一个重点。点和直线的位置关系包括两种 :点在直线上 ,点在直线外。当点在直线外时 ,点到直线距离的计算随之出现。笔者在教学中发现 ,这一问题的解决可以涵盖空间解析几何教学中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点。下面以一具体例题说明。例　求点 A( 2 ,4,1 )到直线 L:x+12 =y2 =z-2-3 的距离。解法一　先求过 A点与直线 L垂直的平面方程 .用点法式 ,得2 ( x -2 ) +2 ( y -4) -3 ( z -1 ) =0即 2 x +2 y +3 z -9=0 .　　将直线方程用参数方程表示为x =2…     

线段与直线相交问题解法

在直角坐标平面内,直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0表示,点p(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0,若P不在直线l上,则Ax0+By0q-C<0或Ax0+By0+C>0,二者必居其一.直线l:Ax+By+     

求解函数关系式中字母系数的取值范围两例

<正>求函数关系式中自变量的字母系数的取值范围问题,涉及知识点多,求解方法灵活多变.现举例说明如下,供参考.例1如图1,已知直线l_1:y=-2x+4与直线l_2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l_2与x轴的交点为A(-2,0),求k的取值范围.分析可将点A的坐标代入到直线l_2关系式中,得出用k表示的b,这样,再解由两条直线组成的方程组,求出用k表示的方程组的解,即为点M的坐标,     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

巧用图形求解趣题

先从图1谈起,它是一个非常简单的图形,现在我们赋予它一些有趣含义:设想图1中,16个变点表示16个人,在同一直线上的交点(人)彼此都是好朋友,不在同一直线上的交点(人)彼此都不是好朋友.由此可以得到如下结论:"在这16个人中,每人都有6个好朋友,每两个人都有两个共同的好朋友."您说对吗?     

直线与圆

选择题1　直线ｘｃｏｓα ｙ 1=0的倾斜角θ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [- π4 ,π4 ].　　　 (Ｂ) [π4 ,3π4 ].(Ｃ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π) .(Ｄ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π].2　下列命题中正确的是 (　　 )(Ａ)经过点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线都可以用方程 ｙ -ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )表示 .(Ｂ)经过定点Ｐ(0 ,ｂ)的直线都可以用方程 ｙ =ｋｘ ｂ表示 .(Ｃ)不经过原点的直线都可以用方程 ｘａ ｙｂ =1表示 .(Ｄ)过任意两个不同的点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)和Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )的直线都可以用方程 (ｙ - ｙ1) (ｘ2 -ｘ1) =(ｘ -ｘ1) (ｙ2 - ｙ1)表示 .3　过点Ａ…     

关于斜率的一场讨论

老师:我们已经知道,直线的斜率是用它倾角的正切来表示的。大家还知道:三角函数不止正切一个,能否用别的函数,如正弦、余弦、余切、正割、余割来表示斜率呢?张天:用正弦表示不行,因为当两条直线的倾角互补时,它们的正弦值相等。     

对平面公理2的理解

《立体几何》中平面的基本性质公理2为:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线,这可用下面的数学符号语言表示: 若A6∈α,A∈β,则存在惟一直线α,使α∩β=α,且A∈α.(见图1) 对公理2,我们可从三个方面去进行理解. (一)如果两个平面有两个公共点A、B,那么直线AB就是这两个平面的交线 例1 如图2,平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且C∈l,又AB∩l=R,过     

直线系的应用

一、直线系 具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程,如直线系方程y=kx+3(其中k是参变数)表示一簇过点(0,3)的直线;y=2x+b(其中b是参变数)表示斜率为2的一簇平行直线.     

《超级画板》帮你教直线

用数据(坐标)来表示事物(点)的位置,这比较容易想到.人们在观测星象和航海活动中,早就用了这种方法.真正不平凡的思想,是用方程来表示曲线.有了用方程表示曲线的想法,解析几何也就应运而生了.解析几何最基础的部分是直线的方程,本文将介绍如何用超级画板绘制各种形式的直线,如何探索点与直线,直线与直线的位置关系.     

高考专题复习系列讲座——直线和圆

[考试内容和考试要求]考试内容:直线的倾斜角和斜率,直线方程的点斜式和两点式,直线方程的一般式;两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;用二元一次不等式表示平面区域,简单的线性规划问题;曲线与方程的概念,由已知条件列出曲线方程;圆的标准方程和一般方程     

一个平面点集问题上界的探讨

对于平面上ｎ个点 ,任意两点有一个距离 ,记这些距离中的最大者与最小者之比为λｎ,求λｎ的最小值ｉｎｆλｎ.在文 [2 ]中 ,笔者已经证明了ｉｎｆλｎ >1 2π ｎ- 1 ,下面我们证明ｉｎｆλｎ <1 2π ｎ 1 ,(1 )这是用初等方法给出的最好估计之一 .首先我们约定｜Ａ｜表示集合Ａ的元素个数 ,如Ａ为平面区域 ,Ｓ(Ａ)表示Ａ的面积 .下面给出(1 )的证明 .先给出几个引理 :　　引理 1　对于平面上任一圆Ｏ及圆外一点Ｐ ,有以下两个结论 :(1 )过点Ｐ一定有直线不和圆Ｏ相交 ;(2 )如果过点Ｐ有一条射线 ,它的反向延长线与圆Ｏ的某条直径所在的直线…     

两条异面直线所成角的余弦公式

定理[1]在四面体A－BCD中，对棱AB和CD所成的角为θ，则如图1，E、M、N分队为BC、CA、BD的中点，则MEN为导面直线AB和CD所成的角，推论在四面体A—BCD中，对核AB与CD垂直的充要条件是AC‘＋BD’一BCZ＋ADZ（刀）应用定理的结论，我们可报方便地求出两条异面直线所成的角．因为总可以在两条导面直线上分别适当的选两个点构成四面体．然后应用对棱所成角的余弦公式（I）计算出以一般用反余弦表示）．（I）称为两条导面直线所成角的余弦公式．例1（1995年全国高考题）如图2，ABC一个BC；是喜三梭往，ZBCA三90o，DI、FI…     

垂线存在吗?

<正>在人教B版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修二《空间垂直关系》一节中,有这样一个例题:例题1过一点和已知平面垂直的直线只有一条.已知:平面α和一点P(如图1).求证:过点P与α垂直的直线只有一条.下面是书上的证明:不论点P在α外或内,设PA⊥α,垂足为A(或P).如果过点P,除直线PA⊥α外,还有一条直线PB⊥α,设     

空间距离的统一向量公式及应用

立体几何中的空间距离(指点线距离,点面距离,线面距离,异面直线距离及平行平面距离;下同)是用数量刻划点、线、面的空间位置关系,也是空间垂直关系的运用和拓展,在立体几何中有着重要的地位.由于空间距离涉及到诸多的线与线,线与面、面与面的垂直关系,求空间距离成为了学习几何的难点.笔者在教学实践中,体会到用向量恰好能避免这一难点,归纳出空间距离的统一向量公式:d=|n0·p|=|n·p||n|,其中p为两个图形任意两点的连线向量,n0为平面(或直线)单位法向量,n为平面(或直线)法向量.1证明下面分四种情况说明.(Ⅰ)点到直线距离:如图1,n为l的法向…     

染色问题与染色方法

染色问题是一类逻辑性强、富于智巧,别具特色而且饶有趣味的问题,染色问题本质是分类,巧妙地运用染色方式,还可将其它问题转化为染色问题别以解决。最简单、形象、直观的染色是点的染色,一条直线由无穷多个点组成,如果我们对一条直线l上的每个点都染上红色或蓝色,那么我们立即可以断言:存在无穷多个同色点。     

如何判定两直线异面?

判定两直线异面的依据是什么 ?是异面直线的定义 .异面直线的定义是 :“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线” .要对任何一个平面进行检验 ,这是不可能的 ,因此 ,用异面直线的定义时 ,必须用到反证法 .请看课本中的一道例题 :过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不经过该点的直线是异面直线 .本题就是根据定义用反证法来证明的 .用反证法一般有两种方式 :一种方式如课本所示 ;再一种方式是分相交和平行两种情况 ,分别推出矛盾 ,对上述例题 ,也可以用这种方式来证 .有时 ,如果题目指明了相交与平行两种关系中的一种不成立 ,则…     

平面、空间两条直线

本单元知识点及重要方法1)运用三个公理及三个推论解决共面、共点、共线的问题 .2 )空间二直线的三种位置关系及相关定理和问题 .其中异面直线的三个问题是重点 :①异面直线的判定有直接运用判定定理或用反证法进行判断的方法 ;②求异面直线所成角的方法一般为通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角求解 ;③求异面直线距离的方法主要有直接找公垂线段的方法和转化为线面距离或点面距离求解的方法 .练　习 　选择题图 1　第 1题图1　 如图 ,ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1为长方体 ,Ｏ是Ｂ1 Ｄ1的中点 ,直线Ａ1 Ｃ交平面ＡＢ1 Ｄ1 于点…     

把握《直线》一章内容 理解“解几”基本思想

《直线》这一章是研究各种运动方向和位置关系的基本工具,也是后续几章学习的基础.1.1　考点简析1　本章的考点本章的考点共有11个.即有向线段,两点间的距离,线段的定比分点,直线的方程,直线的斜率,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,直线方程的一般式,两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角,两条直线的交点,点到直线的距离.(新课程版中还包括“用二元一次不等式表示平面区域”与“简单的线性规划问题”).1.2　考点应达到的知识要求本章教学达到的知识要求应与高考要求基本同步,即要达到“理解与掌握”层次以上.具体要求是:理…