Sur l'extension dans le domaine complémentaire d'une variété

Résumé étant donnés une variétéM, un ensemble compactN enM, des entiersr, n avec 1≤r≤n, un espace euclidienE àn dimensions, uner-variétéA enE et une transformation continuef: N→E−A, alors c'est un problème bien connu s'il existe une extensionf′ def satisfaisantf′(M)∈E−A. Ce problème est discuté.

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Riassunto SianoM una varietà,N un insieme compatto inM, 1≤r≤n degli interi,E uno spazio euclideo adn dimensioni,A unar-varietà inE edf:N→E−A una trasformazione continua. Allora è trattato il problema ben noto dell'esistenza di una estensionef′ dif conf′ (M)∈E−A.

     

Espaces de Thom et contre-exemples de J.L. Verdier et M. Goresky

Résumé SoitS une variété algébrique complexe singulière, de dimension réelle 2s. M.H. Schwartz et R. Mac-Pherson ont défini des classes caractéristiques, généralisation des classes de Chern, dans l'homologie deS (de telles classes n'existent pas en cohomologie). D'autre part l'homomorphisme de PoincaréH ^2s−⋆ (S)→H _⋆ (S) n'est en géneral, ni injectif, ni surjectif. Cet homomorphisme se factorise par l'homologie d'intersectionIH _⋆ (S). Il est naturel de se demander quel est le “comportement” des classes deS (classes de M.H. Schwartz-R. Mac-Pherson) vis-à-vis du morphisme canonique α:IH _⋆(S)→H_⋆(S). J. L. Verdier a construit un exemple dans lequel, le morphisme canonique α n'étant pas injectif, les classes deS peuvent ètre réalisées de plusieurs manières comme images de classes de Chern de variétés lisses, désingularisations deS, et dont l'homologie est isomorphe àIH _⋆ (S). M. Goresky a construit une variation de cet exemple dans laquelle les classes de Chern ne sont pas dans l'image de α. Nous montrons que ces deux exemples sont cas particuliers d'une même situation:S est un espace de Thom associé à un plongement d'une variétéB dans un espaceIP ^k . L'essentiel de cet article a été écrit lors d'un séjour des auteurs à l'Université du Rio Grande do Sul (Porto-Alegre-Brésil), sur invitation de M. Sebastiani. Nous le remercions ici, ainsi que l'Université de Porto-Alegre, de leur accueil et de leur hospitalité      

On the isometries of ideal polyhedra

Résumé  On montre que siX est un polyèdre idéal complet fini satisfaisant la condition CAT(−1) locale, alors toute isométrie deX homotope à l’identité est l’identité, pourvu queπ ₁(X) ne soit pas élémentaire. On montre aussi que le groupe des isométies deX est fini.      

Homéomorphisme entre ouverts lipschitziens

Résumé Dans cet article, on démontre un résultat concernant l'ensemble π(θ, h, R) des partie uniformément bornées deR ⁿ qui sont des ouverts uniformément lipschitziens de constantes données θ, h et R. On démontre que si la différence symétrique entre2 tels ouverts lipschitziens éléments de π(θ, h, R), est de mesure assez petite, alors ces2 ouverts sont homéomorphes. De plus, l'homéomorphisme est lipschitzien, de constante ne dépendant que de θ, h et R. Entrata in Redazione il 5 aprile 1977.     

Equations différentielles linéaires,pour des fonctions d’ensemble

Résumée On étudie l’équation(1), où ϕ est une fonction additive d’ensemble, définie sur une σ-algèbre &, E_P un élément de &, associé au point P, et f une fonction continue de n+1 variables, lipschitzienne par rapport à la dernière. En particulier, on donne une expression simple à l’integrale de l’équation linéaire (5) et du système(22).     

On chain morphisms of commutative rings

Résumé  On dit qu’un homomorphismef :A →B d’anneaux commutatifs est un morphisme de cha?ne (resp., den-cha?ne pour un entiern ≥ 1) si toute cha?ne d’idéaux premiers (resp., d’au plusn idéaux premiers) deA se relève en une cha?ne d’idéaux premiers deB. Sif est un morphisme den-cha?ne, alorsf n’est pas forcément un morphisme de (n + 1)-cha?ne, même siA etB sont des anneaux intègres, doncf n’est pas un morphisme de cha?ne. Sif est un morphisme den-cha?ne pour toutn, alorsf est un morphisme de cha?ne. Un morphisme de cha?ne n’est pas forcément un morphisme de cha?ne universel. Pour tout entiern ≥ 2,f est universellement un morphisme den-cha?ne si et seulement sif est universellement un morphisme de cha?ne. Un morphisme qui est universellement de cha?ne et universellement incomparable n’est pas nécessairement entier, même siA etB sont des anneaux intègres de dimension 1 (au sens de Krull).      

Cycles de congruences stratifiables dans un espace projectif de dimension impaire

Résumé Dans un espace projectif S_2n−i(n≥3) à 2n−1 dimensions, on étudie un système composé de n congruences non-paraboliques de droites L₁, L₂, ..., L_n qui jouissent de la propriété que chaque couple de congruences L_i,L _i+1(i=1, 2, ..., n; L_n+i=L_i) est stratifiable dans le sens de L_i vers L_i+1. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Fragmented domains have infinite Krull dimension

Résumé  On dit qu'un anneau intègreR est fragmenté si pour tout élément non-inversibler deR, il existe un élément non-inversibles deR tel que r∈∩Rs ⁿ. On montre, pour un anneau intègreR qui n'est pas un corps, qu'il existe un idéal maximal deR qui contient une cha?ne strictement croissante d'idéaux premiers deR. Si, de plus,R n'ax qu'un nombre fini d'idéaux maximaux, alors on peut reformuler l'affirmation précédente pour tout idéal maximal deR. Il découle que toute anneau intègreR, qui n'est pas un corps et qui possède un idéal premierP tel queR+PR _p soit fragmenté, doit être de dimension infinie (au sens de Krull). On donne un exemple d'un tel anneauR qui n'est pas fragmenté.      

Successioni regolari relative e ideali sizigetici

Riassunto Si utilizzano le successioni regolari relative strette per studiare i moduli di sizigie e i gruppi di omologia del complesso di KoszulK(f₁,…,f_n;A) di un sistema di elementif ₁,…,f _n appartenenti ad un anello commutativo con unitàA, estendendo, tra l'altro, un noto teorema diJ. P. Serre valido per le successioni regolari. Numerose applicazioni geometriche illustrano i risultati conseguiti.

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Résumé On utilise les suites regulières relatives strictes pour étudier les modules des syzygies et les groupes d'homologie du complex de KoszulK(f ₁,…,f_n;A) d'un systéme d'élémentsf ₁,…,f _n d'un anneau commutatif avec unitéA, généralisant un théorème bienc connu deJ. P. Serre valide pour les suites régulières. Nombreuses applications géométriques clarifient les résultats obtenus.

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La presente Nota riproduce fedelmente la prima di 3 conferenze, tenuta dall'autore il 12 giugno 1979 alla XVIII Session du Séminaire de Mathématique Supérieures de l'Université de Montréal.

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Lavoro eseguito nell'ambito della GNASAGA-CNR.     

Approximation du temps local des processus gaussiens stationnaires par régularisation des trajectoires

Résumé Soit X un processus gaussien stationnaire non dérivable. Nous étudions le nombre de passages en zéro du processus régularisé par convolution. Sous des hypothèses peu restrictives sur X, cette variable convenablement normalisée, converge au sens de L ² quand la taille du filtre tend vers zéro. Lorsque X admet un temps local continu, la limite obtenue est le temps local.

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Summary Let {X(t)} be a stationary non differentiable Gaussian process and let ϕ_ɛ(u=ɛ⁻¹ ϕ(u/ɛ) be an approximate identity. Setting X _ɛ(t)=X*ϕ_ɛ(t) and letting N _ɛ(T) be the number of zeros of X _ɛ in the interval [0, T] it is shown that under weak technical conditions there are constants C(ɛ) so that C(ɛ) N _ɛ(T) converges in L ² as ɛ→0. When X admits a continuous local time, the limit is the local time L(0, T) at zero of X(t).

     

Extensions of commutative rings in which trees of prime ideals contract to trees

Résumé  Une extensionA⊂B des anneaux (commutatifs) satisfait à la propriété si tout arbre dans Spec(B) couvre un arbre dans Spec(A). Il est possible qu'une extension entière d'un anneau Noethérien ne satisfait pas à . SiA⊂B soit unei-extension satisfaisante à soit “going-up” soit “going-down”, alorsA⊂B satisfait à . Cependant, une extension d'anneaux satisfaisante à “going-up”, “going-down”, et peut être nonunibranche dans hauteur >1. Un anneau intègreA a le spectre d'un arbre si et seulement siA⊂B satisfait àP pour tout anneau intègreB contenantA (resp., suranneau de BézoutB deA). De plus, si un anneau intègreA n'ait pas de spectre d'un arbre mais soit localement de dimension finie, (par exemple, tout anneau intègre Noethérien de dimension au moins 2), alors il existe un suranneau de BézoutB deA et un arbre saturé dans Spec(B) de sorte que card=4 et l'image de à l'égard de la flèche canonique Spec(B)→Spec(A) est un ensemble saturé tel que card =3 mais n'est pas d'arbre. On donne également des caractérisations associées des classes desi-domaines et des ai-domaines.      

Type des orbites périodiques des flots associés à des lagrangiens optiques homogènes

Résumé. Soit L : T M → ℝ un lagrangien optique et homogène dans la fibre défini sur le fibré tangent d’une variété orientable de dimension n et γ un lacet régulier 1-périodique qui est un point critique non dégénéré d’indice p de l’action lagrangienne associée à L (il lui correspond alors un point périodique (x, v) du flot d’Euler-Lagrange (φ_t )). Soit T une transversale en (x, v) au champ de vecteurs dans la surface d’énergie et P l’application de premier retour de Poincaré dans cette transversale; on montre alors que le nombre de Lefschetz pour P en (x, v) est (−1)^n−1+p. On en déduit que si 2n_h est le nombre de multiplicateurs de Floquet réels strictement positifs et non nuls, alors: n_h = n − 1 + p (mod 2). On explique comment déduire qu’un lagrangien optique quelconque défini sur le fibré tangent d’une variété orientable compacte de dimension paire de π₁ non trivial a une une orbite périodique qui est soit dégénérée, soit a un exposant de Floquet hyperbolique dans tout niveau d’énergie au dessus du niveau critique de Ma?é.      

Nomografia anaglifica

Riassunto In questo articolo vengono presentati due nomogrammi che servono come sostegno per la rappresentazione di funzioni a più variabili. Ognuno di questi nomogrammi è costituito da due reticolati sovrapposti disegnati in due colori complementari. Essi vengono osservati attraverso le lenti di occhiali anaglifici colorate ciascuna in uno dei due colori dei reticolati. Le condizioni particolari del disegno sono state scelte allo scopo di ottenere la visione stereoscopica del medesimo. Ne segue che le coppie di punti corrispondenti dei reticolati vengono viste come punti unici sopraelevati dal piano del nomogramma di altezze che vengono misurate per mezzo di un indice mobile. Data la funzione (1)F(α₁, α₂..., α_n) din variabili indipendenti (α₁, α₂..., α_n) separate o separabili riportiamo le scale delle funzioni parziali che costituiscono la (1) su i lati inferiori e di destra dei due reticolati e poi misuriamo, per mezzo dell'indice mobile, le altezze dei punti stereoscopici, visti attraverso gli occhiali anaglifici, che corrispondono agli adatti valori delle funzioni parziali. Con questo metodo si possono rappresentare funzioni di 8 variabili indipendenti legate fra loro per mezzo di operazioni razionali e irrazionali.

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Résumé Cet article montre deux nomogrammes qui servent de support pour la représentation de fonctions à plusieurs variables. Chaque nomogramme est constitué de deux réseaux superposés, dessinés aux deux couleurs complémentaires, qui sont observés à travers les lentilles de lunettes anagliphiques. Les conditions particulières du dessin ont été choisies dans le but d'obtenir sa vision stéréoscopique. Il s'ensuit que chaque couple, des points correspondants des réseaux, est vu comme un point unique surélevé au dessus du plan du nomogramme par une hauteur mesurée à l'aide dun index mobile. Soit (1)F(α₁, α₂..., α_n) une fonction den variables indépendantes (α₁, α₂..., α_n) séparées ou séparables. Tran?ons les échelles des functions partielles qui costituent la (1) des deux parties du c?té inférieur et du c?té droit des deux réseaux. Après cela mesurons à l'aide de l'index mobile les hauteurs des points stéréoscopiques, vues à travers les lunettes, qui correspondent aux valeurs données des fonctions partielles. En se servant de cette méthode on peut représenter des fonctions de 8 variables indépendantes liées entre elles par des opérations rationnelles et irrationnelles.

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L. Bonfiglioli,Anaglyphic Calculating Apparatus, Photogrammetric Engineering, U.S.A. (In corso di stampa).     

Conjecture de l’inertie modérée de Serre

Résumé On considère K un corps complet pour une valuation discrète, de caractéristique nulle et dont le corps résiduel est supposé parfait de caractéristique p. On appelle e l’indice de ramification absolue de K, son anneau des entiers, et une cl?ture algébrique. Soit X _K un schéma propre et lisse sur K admettant un modèle propre et semi-stable X sur . Généralisant les résultats de Breuil (valables pour e=1), on démontre dans cet article un isomorphisme de périodes reliant le r-ième groupe de cohomologie étale de à coefficients dans ℤ/p ⁿ ℤ et un r-ième groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de X. Nous avons toutefois les restrictions er<p-1 et e(r+1)<p-1 si n>1. On en déduit une preuve complète de la conjecture de Serre sur l’inertie modérée (voir [Ser72]).     

Intégration analytique d'un système d'équations différentielles non linéaires dans le voisinage d'un point singulier,II

Résumé Nous avons formé dans le premier mémoire une solution formelle de(28.1) ordonnée suivant les puissances entière des solutions de(E). En annulant les Z_j qui correspondent aux polynomes de degrés différents de σ_v*(<σ_i*), nous obtenons une solution formelle (F _v). Dans le chapitre III, nous cherchons la condition suffisante pour la convergence uniforme de la série formelle (F _v). Dans le chapi tre IV, ce résultat est étendu au cas où la solution formelle dépend essentiellement des polynomes λ_j(x) de divers degrés. Le dernier chapitre est consacré à l'extension du théorème d'existence deM. M. Hukuhara qui joue un r?le important dans notre Mémoire.     

Sur les ensembles linéairement connexes

Résumé Sur la droite projective, la notion de connexité est intuitive. Dans un espace projectif E_n, un ensemble est dit:linéairement connexe, si toutes ses traces sur les droites de E_n sont connexes. Deux ensembles complémentaires sont simultanément linéairement connexes ou non. On définit l'index (d'expansion linéaire intérieure) d'un ensemble linéairement connexe, possèdant des points intérieurs, comme le nombre maximum de dimensions des multiplicités linéaires qu'on peut mener à l'intérieur de l'ensemble. C'est uń nombre positif ou nul. Soient dans E_n deux ensembles complémentaires linéairement connexes possèdant chacun des points intérieurs: A_n et B_n. Leurs index respectifs α_n et β_n, satisfont à la relation: α_n + β_n +1 ≤ n. L'essentiel des résultats du Mémoire est le suivant: Si α_n et β_n sont tout deux nuls ou positifs, la frontière commune F_n, à A_n et B_n, estalgébrique et du secoud degré; si un seul est nul, F_n estconvexe, dégénérée ou non, mais pas nécessairement algébrique. Dans tous les cas la connaissance de α_n et β_n permet de préciser la nature de F_n. En particulier, si α_n + β_n +1 = n, F_n est sans singularité, et réciproquement.     

Sur le problème de Plateau pour un quadrilatère variable qui peut acquérir un point double

Résumé Soit Γ un quadrilatère variable, dont deux c?tés opposés A₂A₃, A₁A₄ sont dans les plans x₃=c, x₃=−c. Quand c tend vers0, Γ tend vers un quadrilatèreΓ ⁰ présentant un point double, A⁰. Le travail étudie la représentation conforme sur le demi-plan R(ix)<0 (ou sur le cercle - unité) de la surface minimale ∑ passant par Γ. Il montre (§ I) que si les affixes x de A₁, A₂, A₄ sont 0, 1, ∞, l'affixe de A₃ sera ɛ⁻², où ɛ tend vers 0 avec c. Il étudie (§ II) l'allure pour ɛ tendant vers 0 des intégrales canoniques de l'équation linéaire du problème. La forme de la relation entre ɛ et c est indiquée au n^o 19; on montre que dans la région de striction ɛ |x| reste borné et que la surface ∑ y est assimilable à une surface minimale simple: la surface de vis à filet carré. La représentation conforme de l'une des deux régions de ∑ qui tendent à se séparer l'une de l'autre tend à envahir tout le demi-plan (ou tout le cercle-unité). Les représentations conformes de ∑ pour c>0 et c<0 ne sont pas analytiquement distinctes (n⁰ 20). A titre d'exemple, on étudie (n⁰ 21) le cas où ∑ possède un axe de symétrie. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique     

Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques

Sans résumé Les résultats obtenus parM. Humbert ont déjà été trouvés parM. Weierstrass bien des années auparavant et communiqués par lui dans son, cours sur les fonctions abéliennes. Mais la méthode suivie par les deux savants est tout à fait différente. ChezM. Weierstrass les conditions pour qu'une intégrale de la forme ∫R(x,y)dx soit une fonction algébrique dex découlent, comme simple corollaire, du théorème sur la réduction de chaque intégrale de la forme considérée à une somme d'intégrales normales de la première, de la seconde et de la troisième espèce. Pour effectuer cette réduction il faut et il suffit de conna?tre: 1^o les coefficients des puissances négatives det aux environs de tous les points analytiques pour lesquels le développement deR(x _t,y_t)dx_t/dt contient en général des puissances négatives det; 2^o la valeur deR(x, y) pourp points analytiques réguliers (a ₁, b₁), …, (t_p, b_p) choisis arbitrairement. Le, théorème deM. Weierstrass est cité, quoique sans démonstration, dans la thèse inaugurale deM. Hettner (Berlin, 1877).