方程(组)同解性应用一则

设二次曲线 Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)与直线 y=kx+d(d≠0) (2)交于两点P、Q,则P、Q两点坐标满足(1)、(2)组成的方程组,而这个方程组与方程组(3): Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx(y-kx)/d+Ey(y-kx)/d+F〔(y-kx)/d)〕~2=0 (y-kx)/d=1是同解的。在特定情况下,解(3)中的二次齐次     

圆锥曲线的内、外点及切线型直线

一条圆锥曲线c的方程总可以表为 f(x,y)=Ax~2+2Bxy十Cy~2十2Dx十2Ey+F=0(1) 设P_0(x_0,y_0)为平面上一点,若F_1(x_0,y_0)Ax_0+By_0+D≠0或F_2(x_0,y_0) Bx_0十Cy_0+E≠0,则称P_0为c的正常点。否则称P_0为c的中心点。     

代换法则的一些应用

众所周知,要求经过一般二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0上一点p(x_1,y_1)的切线方程,可以应用如下的代换法则: (1) 用x_1x和y_1y分别代换方程中的x~2和y~2:     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

二元二次式因式分解的一个简便方法

形如Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F的二元二次式的因式分解,一般可用求根公式法,待定系数法等方法进行分解,但计算都比较复杂。下面我们介绍一种简便的分解方法——取零凑尾法。这个方法的理论根据是定理二元二次多项式f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解为一次式之积(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)的充要条件是对 B=a_1b_2+a_2b_1, (1)使得 f(x,o)=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) (2) f(o,y)=(b_1y+c_1)(b_2y+c2) (3)证明:条件的充分性。设上三式同时成立,     

一般二次曲线为抛物线时的焦点坐标和准线方程

二元二次方程Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0代表一条抛物线的充要条件为：如果令H=A C,则△,G,H都是在坐标轴的平移和旋转变换之下的不变量     

圆锥曲线划分平面的定理及其证明

关于直线划分平面有一个容易记忆,应用方便的重要结论。即,直线l:f(x,y)≡Ax+By+C=0(简记为f(x,y)=0)把平面上不在l上的点划分成两个区域,点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)在同一个区域(或在不同区域)的充要条件是函数值f(x_1,y_1)和f(x_2,y_2)同号(或异号)(见文[2])。对于圆锥曲线Γ:F(x,y)≡Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0(简记为F(x,y)=0),如果我们约定,圆     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线lx+my+n=0(n≠0)和曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,则直线OP,OQ上的点均满足方程Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=0.(*)证设点P的坐标为(x1,y1),则lx1+my1+n=0,即-lx1+nmy1=1(1)Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F=0(2)又直线OP上的点均可表示为(tx1,ty1),其中t为任意实数.∵当x=tx1,y=ty1时,方程(*)的左端Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=t2[Ax12+Bx1y1+Cy12+(Dx1+Ey1)(-lx1+nmy1)+F(-lx1+nmy1)2]=t2(Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F)=0,∴直线OP上的点都在方程(*)表示的曲线上…     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

也谈二元二次非齐次多项式的因式分解

数学通报一九八一年第五期“关于多项式的因式分解问题”一文中的Ⅱ二元二次非齐次多项式的因式分解((P_(12)),这节中有如下定理: 定理:多项式Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F能分解成两个一次因式的条件是:     

二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0

二次曲线系Ax~2 Bxy cy~2 Dx Ey λ=0(其中A、B、C不全为零,λ是参变数,下同)有一些重要性质,值得研究。定理1 二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0……(1)中的非退化二次曲线是下列三种情形之 1°当B~2-4AC<0时,是一簇同轴(指对称轴)位似椭圆; 2°当B~2-4AC>0时,是一簇共渐近线双曲线; 3°当B~2-4AC=0时,是一簇同轴(指对称轴)同p(焦点到准线的距离)抛物线。证明1°当B~2-4AC<0时,曲线系(1)中的所有非退化二次曲线均是椭圆,它们经过适当的坐标变换,总可以化成最简椭圆方程;又因为经过坐标变换得到的新方程的二次项系数和一次项系数只与原方程的二次     

圆锥曲线的极点、极线及其应用

所谓圆锥曲线的极点极线就是:已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是该圆锥曲线的一对极点和极线.这一概念性质深深地隐含在高中数学教材中,并多次在高考试题中直接或间接地表现出来.1极点、极线和该圆锥曲线的位置关系极点、极线和该圆锥曲线反映的是平面上的点、     

巧用圆的一般方程解题

<正>圆的一般方程C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).当点P(x0,y0)在圆外时,x20+y20+Dx0+Ey0+F>0,那么x20+y20+Dx0+Ey0+F的几何意义是什么呢?经过探索,我们发现:结论1已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),当点P(x0,y0)在圆外时,过点P作圆的切线PA,切点为     

谈无中心型二次曲线方程的化简

数学通讯一九八九年第九期发表了《也谈二次曲线的化简问题》,该文通过圆锥曲线的直径方程给出了中心型曲线 u(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+F=0化简的一种方法。本文将利用二次曲线的对称     

从微分学观点看二次曲线中心和对称轴

解析几何中已知二次曲线Ax~2 2Bxy cy~2 2Dx 2Ey F=0其中A、B、C不全为零,当△=B~2-AC(?)0时,有中心,其坐标(x_0,y_0)为Ax By D=0和Bx cy E=0的解。本文试图用微分学的方法给出证明,同时给出对     

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

圆锥曲线直角弦上点轨迹的统一讨论

欲求圆锥曲线上一点对其所对直角弦上射影的轨迹 ,有一种统一的解法 ,且解法简捷明快 ,思路清晰 ,今介绍如下 .引理　直线 L :lx my n=0与常态二次曲线 Φ:Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0的两个交点为 Q和 R,O为原点 ,OQ⊥ OR的充要条件为 ( A C) n2 - ( Dl Em) n F( l2 m2 ) =0 ( * )证　若Φ过原点 ,Q,R在坐标轴上 ,则结论易证 .由　lx my n=0得1 =lx my- n代入二次曲线Φ的方程中得Ax2 Bxy Cy2 ( Dx Ey)·- lx myn F - lx myn2 =0 ( 1 )( 1 )是二次齐次方程 ,表示过原点的两条直线 ,设L和 Φ的交点为 ( x…     

点与二次曲线相对位置的判定条件

本文在研究点与二次曲线相对位置时,把文〔1〕对于二次曲线的结论用初等方法进行证明,还要进一步提出并证明命题:“点M_1(x_1,y_1)和M_2(x_2,y_2)在以二次曲线P(x,y)=0为公共边界的两个相邻区域内的充要条件是P(x_1,y_1)·P(x_2。y_2)<0”,从而将判断方法再行简化。一般来说,二元二次多项式P(x,y)=Ax~2。+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F所对应的二次曲线P(x,y)=0把平面分成两个或者三个区域。就区域而言,“其内每个点连同它的某个邻域都属于这个