第十讲 复盖问题

所谓平面区域Q复盖平面区域T,即是说,T的每一个点都在O内。很显然,平面上面积为S的固定区域能用n个面积分别是S_1,S_2,…,S_n的区域完全复盖的必要条件是S_1+S_2+…+S_n≥S。但是,反过来,s_l+s_2十…s_n≥s时,这n个区域s_1,s_2,…,S_n的全体却未必能完全盖住区域S。比如,无论你怎样摆弄两个壹分的硬币都不可能盖住一个贰分的硬币,尽管两个壹分币的面积之和大于一个贰分币的面积!下面我们给予这个问题的逻辑证明。例1 求证一个直径为1的圆不可能被两个直径小于1的圆所盖住。分析:由于直径为1的圆,在任何一个方向上的     

正多边形的最优分割问题

记平面边长为1的正m边形为S_m,将S_m剖分成n块:S_(m1),S_(m2),…,S_(mn),这样的剖分称S_m的n剖分,并以T(m,n)表示.以d_(mi)表示区域S_(mi)(i=1,2,…,n)的直径(即区域S_(mi)任意两点之间距离的最大者).记D(m,n)=max{d_(m1),d_(m2),…,d_(mn)}及Ψ(m,n)=■{D(m,n)}.本文将估计Ψ(m,n)的上下界.证明Ψ(6,3)=3/2,Ψ(6,4)=3-3~(1/2),Ψ(6.6)=1,Ψ(6,7)=3/2,估计Ψ(6,n)的渐进性.提出几个猜想.     

五立体几何

1.如果平面外的一条直线与这个平面的一条垂线垂直,那么这直线与这个平面平行。 2.已知a、b为两异面直线,由直线a上两点A、B分别引直线b的垂线,垂足为A_1、B_1,已知AB=2,A_1B_1=1;求异面直线a、b所成的角。 3.已知三条射线SA、SB、SC所成的∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°;求平面ASC与平面BSC所成的二面角的大小。 4.巳知A、B、 C、D四个点在平面a和平面β之外,A、B、C、D在平面a上的射影是A~1、B~1、c~1、D~1,且这四点在一直线上 A、B、C、D在平     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

动中求静

例如下图,在Rt△ABC内有一系列的正方形,其面积分别为S_1,S_2,…,S_n,…,已知AC=a,且知所有正方形面积之和S等于Rt△ABC面积的一半,求BC的边长及∠A。分析由图形知,Rt△ABC内的一系列正方形是变化着的,即面积S_1,S_2,…,S_n,…,在逐渐减小,但仔细研究,不难发现,这些正方形上方的直角三角形均相似,即与∠A对应的各三角形的正切函数相同,可猜想S_1,S_2,…,S_n,…是一个无穷递缩等比数列,设S_1,S_2,…,S_n,…各正方形的边长为a_1,a_2,…,a_n,…,公此为q,则应有关系式:S=a_1~2     

1996年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题及参考解答

一、填空题(本题共5小题,每小题材3分,满分15分)(1)设(?)(x 2a/x-a)~x=8,则a=ln 2(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x一y十2z=8垂直,则此平面方程为2x 2y-3z=0(3)微分方程y″-2y′ 2y=e~x的通解为y=e~x(c_1cosx c_2sin 1)(4)函数u=In(x ((y~2 z~2)(1/2)))在点 A(1,01)处沿点 A指向点 B(3,-2,2)方向的方向导数为1/2(5)设A是4×3矩阵,且A的秩r(A)=2,而B=（?）,则r(AB)=2.     

GENERALIZED TWO-PART SPERNER FAMILIES

Let m, n, S_1, S_2, …, S_n, be non-negative integers with 0≤m≤n. Assume μ(S_1, S_2, …, S_n)={(a_1, a_2, …, a_n)|0≤a_i≤S_i for each i} is a poser, Where (a_1, a_2, …, a_n)<(b_1, b_2, …, b_n) if and only if a_i相似文献   

浅谈等差数列的几何意义及其应用

在等差数列{a_2}中,a_n=a_1+(n-1)d和S_n=na_1+1/2n(n-1)d即a_2=dn+(a_1-d)……(1)和S_n=1/2dn~2+(a_1-1/2d)n……(2)分别是特殊的一次函数和二次函数。(1)式的图象是直线y=dx+(a_1-d)上一系列的点(1,a_1),(2,a_2),…,(n,a_n),…,的集合,(2)式的图象是抛物线y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x上的一系列的点(1,S_1),(2,S_2),…,(n,S_n),…,的集合。根据上面的这种几何意义,对于等差数列,我们可以得到下面的一些关系。     

转换视角看新定义问题

<正>1原题及分析(2023年海淀初三期末)在平面直角坐标系x Oy中,对于点P和线段AB,若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点,则称点P为线段AB的融合点．(1)已知A(3,0),B(5,0),(1)在点P1(6,0),P2(1,-2),P3(3,2中,线段AB的融合点是_____;     

一道课本习题的推广

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3．5第7题．已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列．笔者通过探究,得到如下推广结论推广1已知数列{a_n}成等比数列,S_n是其前     

“动态”立体几何问题的解题策略

“动态”立几问题是高考中的创新题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面元素,给静态的立体几何赋予了活力.由于“动态”的存在,也使立几问题更趋灵活,更具挑战性.如何探究此类问题,本文将举例说明.一、当动态问题难于解决时,可采用暂时固定的方法,逆向思索,促使几何关系明朗化.例1已知矩形ABCD,PA⊥面AC于点A,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线?分析(1)取CD中点H,可证AB⊥平面MNH,于是AB⊥MN.(2)由题设可知二面角θ的平面角…     

關于不定方程的三個定理

為了方便起見,現將本文中所用的幾個記號加以說明,並將涉及到的幾個整數性質加以叙述而不予證明。另外,凡本文中所用之字母,如a,b,c,…,若不加說明,皆指正整數而言。 幾個記號:(a_1,a_2,…,a_n)表示a_1,a_2,…,a_n的最大公約數;[a_1,a_2,…,a_n]表示a_1,a_2,…,a_n的最小公倍數,a|b表示a能除盡b。涉及到的幾個整數性質: Ⅰ. 若a,b為任何正整數,則ab-(a+b)≥-1。Ⅱ. 若(a_1,a_2,…,a_n)=d_n,則a_1=a′_1d_n,a_2=a′_2 d_n,…,a_n=a′_nd_n,且(a′_1,a′_2,…,a′_n)=1。Ⅲ. 若[a,b]=m,a|c,b|c,則m|c。Ⅳ. 如果在全是整數的等式k+l+…+n=p+q+…+s中,所有的項,除掉一項外,都是b的倍數,則這一項也一定是b的倍數(即b能除盡這一項)。     

一道课本习题的多解赏析

题目如果直线AB与平面a相交于点B,且与a内过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等,求证:AB⊥a.(人教版第二册(下B)复习参考题九第6题) 在立体几何新课结束后的复习课上,我选了这道题,引导学生多方联系,深入探究,获得如下四种证法. 分析一要证AB⊥a,据“线面垂直的判定定理”,就是证AB与a内两条相交直线垂直.于是有     

一类不等式

<正> 本文首先将(2)换为下面的(4),然后将(3)推广,导出一类不等式. §.2 本文采用记号如下: S_n为n元集{1,2,…,n}上的全体置换所组成的置换群,G为S_n的一个子群. x=(x_1,x_2,…,x_n),α=(α_1,α_2,…,α_n),β=(β_1,β_2,…,β_n)等均为n维欧氏空间中的点,并且不作特别申明时约定各个分量为正.     

空间动点轨迹

空间基本轨迹以平面基本轨迹为基础可以对比地逐一得出,一般而言,平面上轨迹若在空间研究,则点变化为相应的直线,直线则变化为相应的平面,而圆则变化为相应的球,如到两定点A、B的距离之比等于常量λ的动点轨迹,当λ=1时,在平面上是线段AB的垂直平分线,而在空间则是线段AB的垂直平分面;当λ≠1时,若分线段AB之比为λ的内外分点分別为P,Q,则在平面上轨迹是以PQ为直径的     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

三角形鞋带定理的证明、改进及应用

<正>1问题的提出在平面直角坐标系内,若△ABC顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则△ABC的面积是多少?同学们通常采用的方法有以下几种:(1)充分利用坐标的特点,通过割补法求三角形的面积;(2)先计算线段AB的长度和点C到直线AB的距离d,从而S_(△ABC)=1/2·|AB|·d;     

“折叠”问题速解举例

立体几何中的折叠问题，对一般中学的多数学生来说，都是一个难点，特别是折叠后如何作辅助图形，更是难中之难那么，有无不作辅助图形的解法呢？有！只要注意高中立体几何全一册P117第3题的结果及其导出式即可．如图IAB和平面1所成的角是OI，AC在a内，且和AB的射影AB”成角0。，设＜ABC—0．则我们在AB上取点P，作PO上AB’于O，再作OD上AC于D，连PD，证明了公式（1）此公式中，8为线线角，若a斤AC，则B为异面直线a与AB所成角由平面ABB”上a知．OI、0，均为线面角．若在图1中令／APO一中l，LAOD一中2，ZApD一中．则中l…     

調和級数求和的一般方法

調和級数前n項的和 S_n=1/x+1/(x+a)+1/(x+2a)+…++1/(x+(n-1)a)虽然不能表示成任何n的有理函数,但在实际計算过程中,还是可以找到比直接相加更方便的求和办法。由于 d/dx ln x(x+a)(x+2a)…[x+(n-1)a]=d/dx{ln x+ln(x+a)+ln(x+2a)+…++ln[x+(n-1)a]}=1/x+1/(x+a)++1/(x+2a)+…+1/(x+(n-1)a)=S_n,所以 S_n=     

我研究和改进了簡易量地法

在田中央拉一直綫AB(我叫它做准綫)。把准綫等分成n等分,每份長为m,量出各分点的田寬为H_1,H_2,…,H_(n-1),則田面积S=m(H_1+H_2+H_3++…+H_(n-1))。这种方法是根据辛卜孙近似求积法来的,辛氏的方法是欲求曲綫PM与直綫AB所圍成圖形PMBA的面积,將AB等分成AA_1=A_1A_2=…A_(n-1)A_n==m,