Die Berechnung einer nichtrotationssymmetrisch belasteten Kreiszylinderschale

Ohne Zusammenfassung     

Numerische Iterationen zu der Berechnung des Relaxationsspektrums aus dynamischen Messungen

Zusammenfassung Es wurde eine Iterationsmethode ausgearbeitet, die auf der mathematischen Lösung der Integralgleichung des Faltungstyps vonRoesler-Twyman beruht, aber von der dritten Näherung des Relaxationsspektrums vonSchwarzl-Staverman aus den Angaben des Realteiles des dynamischen Moduls als Grundfunktion ausgeht.Die Methode ermöglicht es, das Relaxationsspektrum mit hoher Genauigkeit aus einem engeren Frequenzbereich zu bestimmen als die ursprünglicheRoeslers-Twymansche Methode.In der Arbeit wurde weiter gezeigt, daß man auf ähnliche Weise das Relaxationsspektrum auch bei der Angabe des Imaginärteiles des dynamischen Moduls mit Hilfe der ersten und zweiten NäherungFujitas oder der zweiten Näherung vonSchwarzl-Staverman berechnen kann.

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Summary An iteration method has been proposed for the calculation of relaxation spectrum. TheRoesler-Twyman solution of an integral equation of a convolution type has been used to obtain the spectrum from the third approximation ofStaverman andSchwarzl (in which the basic function is represented by the real part of the dynamic modulus). The proposed method enables one to calculate the relaxation spectrum with a high accuracy from data obtained in a much narrower frequency range than was required by the originalRoesler-Twyman method. In comparison with theSchwarzl-Staverman approximation our method has a much higher resolution power of discrete relaxation times. Two examples of the calculation are given. It is further shown that the relaxation spectrum may be calculated in a similar way from the loss modulus data when use is made of the first and second approximation ofFujita, or of the second approximation ofSchwarzl-Staverman.

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Erste Fassung eingereicht am 9. Dezember 1966     

Berechnung der Erwärmung des Zweischichtenkörpers endlicher Dicke

Zusammenfassung Das eindimensionale Erwärmungsproblem in geschichteten Körpern und seine strenge mathematische Lösung, die hier für den Zweischichtenkörper hergeleitet und angegeben wird, ist in vielen Bereichen der Technik von großer Bedeutung. So stellen z.B. Halbleiterbauelemente stromdurchflossene Schichtkörper dar, deren Siliziumschicht die Verlustleistung des Ventils erzeugt, sich aber über eine bestimmte Temperatur nicht erwärmen darf. Die Ermittlung des Erwärmungsverlaufs ist nur rechnerisch mit Hilfe der Lösungen des Zweischichtenkörpers möglich, da ein adiabatisches Rechenmodell nicht toleriert werden kann und die Vorgänge im Silizium eine Temperaturbestimmung nicht zulassen.

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Calculation of the heating of a finite double-layer body

The one-dimensional heating problem of multi-layer bodies and its exact mathematical solution, which is derived here for a double-layer body, is of great importance in many technical fields.Semiconductors for instance are such multi-layer-arrangements, where the power loss generated in the silicon-layer of these electrical valves must not cause a temperature rise above a prescribed value.Determination of the temperature field is only possible with the solution for the two-layer model, because an adiabatic model could not be tolerated and measurements would impose considerable difficulties.

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Formelzeichen (SI-Einheiten in Klammern) Wärmeleitfähigkeit [W/Km] - Elektrische Leitfähigkeit [1/m] - Dichte [kg/m³ ] - c Spezifische Wärme [J/kgK] - a=/c Temperaturleitfähigkeit [m²/s] - x_i x-Koordinaten [m] - L_i Längen, Schichtdicken [m] - A Querschnittfläche [m² ] - T Temperaturen [K] - P Wärmestrom, Wärmeleistung [W] - k_i Unbestimmte Separationskonstante, die beim Lösen derpartiellen Wärmeleitungsgi eichung entsteht [m^–1 ]     

Zur Berechnung des Wärmetransportes durch Strahlung mit der Monte-Carlo-Methode

Zusammenfassung Mit der Monte-Carlo-Methode ist es möglich, den Wärmetransport durch Strahlung für sehr allgemeine Fälle zu berechnen, für die geschlossene Lösungen nicht bekannt sind. Es wurde ein digitales Rechenprogramm erstellt, das speziell den Wärmetransport durch Strahlung innerhalb eines Hohlzylinders, dessen Deckel-, Boden- und Mantelfläche unterschiedliche vorgegebene Temperaturen und Emissionsverhältnisse aufweisen, mit der Monte-Carlo-Methode berechnet. Die einzelnen Rechenschritte dieses Programmes werden beschrieben. Die Ergebnisse einiger für die Praxis interessanter Sonderfälle werden dargestellt.

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On the calculation of heat transfer by radiation using the Monte Carlo method

Using the Monte Carlo method, it is possible to solve completely general problems in heat radiation, for which analytical solutions may not be known. A digital computer program, based on the Monte Carlo method has been written for the special case of heat transfer by radiation inside a hollow, closed cylinder; the boundary conditions on this problem are the temperatures and emissivities of the top, bottom and walls of the cylinder. The program structure is described and the solutions for some typical applications are given.

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Bezeichnungen A Fläche - C _s Strahlungskonstante des schwarzen Körpers - H Helligkeit - J Wärmestrom pro Flächen- und Zeiteinheit - L Länge des Zylinders - Q Wärmemenge pro Zeiteinheit - R Zylinderradius - T absolute Temperatur - n Anzahl Strahlungsquanten - r Startradius - r _a Auftreffradius - z Abschnittshöhe - y Starthöhe - y _a Auftreffhöhe - Winkel zur Beschreibung der Flugrichtung - Emissionsverhältnis - ¯ Winkelverhältnis - Verhältnis Radius/Abstand - Zufallszahl Indizes B Boden - D Deckel - G Gesamtes System - M Mantelfläche - i Zählindex für axiale Abschnitte:i=1, 2,, m - k korrigiert - k Zählindex Der Verfasser dankt Herrn Dr. J. Lieberoth für die Durchsicht des Manuskriptes.     

Biegungsschwingungen der in ihrer Mittelebene belasteten Kreisplatte

Zusammenfassung Es wird die Abhängigkeit der Eigenschwingzahlen einer am Rande eingeklemmten Kreisplatte von einer in ihrer Mittelebene wirkenden Belastung durch allseitig gleiche radiale Druck- oder Zugkräfte bestimmt. Mit zunehmendem Radialdrucke sinkt die Kreisfrequenz, sie verschwindet dann, wenn der Radialdruck einen jener kritischen Werte erreicht, bei denen die Kreisplatte ausknickt. Radiale Zugkräfte haben eine Erhöhung der Kreisfrequenzen zur Folge. Die Zahlenangaben in den Tabellen 1 und 2 enthalten die numerischen Lösungen der Frequenzengleichungen (10) und (16) sowie der zwei fÜr die Grundschwingung gÜltigen Näherungsformeln (15) und (17); nach letzteren ist die den Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Belastungszifferm darstellende charakteristische Kurve in erster Näherung im Bereiche des Druckes eine Ellipse, im Bereiche des Zuges eine Hyperbel.     

Zur Aerodynamik des stark belasteten Tragflügels

Ohne Zusammenfassung     

Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

Übersicht Zur Gewinnung der Berechnungsgrundlagen für eine neuartige Axiallagerform werden die Verhältnisse im Tragspalt zwischen einem bewegten kreisförmigen Gleitschuh und einer dagegen geneigten ruhenden Ebene untersucht. Zur Lösung der für die Druckverteilung gültigen Reynoldsschen Gleichung wird der Gleitschuh netzförmig unterteilt und die auftretenden Differentialquotienten näherungsweise durch lineare Ausdrücke der unbekannten Druckwerte an den Netzknoten ersetzt. Mit Hilfe der Relaxationsmethode werden aus dem entstehenden linearen Gleichungssystem diese Druckwerte ermittelt und aus ihnen durch numerische Integrationen schließlich Tragfähigkeit, Reibungswiderstand, Druckmittelpunkt und Durchflußmenge des Lagers bestimmt.

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Summary In order to obtain a basis for calculation for a new type of thrust bearing, the conditions in the clearance between a moving cylindrical pad and an inclined resting plane are explored. To solve the Reynolds' equation, which validly describes the pressure distribution, the pad is covered with a rectangular network and the derivatives occuring in it are replaced approximately by linear equations through the unknown pressures at the nodal points of the network. With the aid of the relaxation method, these pressures are calculated from the resulting set of linear equations. Finally, load carrying capacity, frictional resistance, center of pressure and rate of flow of the bearing are determined from these equations through numerical integrations.

     

Zur Berechnung des gebogenen oder gedrillten Ringstabs mit Kreisquerschnitt und der zylindrischen Schraubenfeder

Ohne Zusammenfassung     

Die Berechnung der Schubspannungen in der Bogenscheibe

Ohne Zusammenfassung     

Beitrag zur Berechnung der Halbkreisplatte

Ohne Zusammenfassung     

Berechnung des Torsionsmomentes an einer Extruder-Schneckenspitze

One of the essential problems of plastics processing is the automation in the production of extruded semifinished and finished goods. The melt viscosity of the material may be employed as guide value in cascade control systems. The viscosity can be determined in the most simple way by a continuous measurement of the torque at the screw tip. By a thorough analysis of the spiral flow generated in the gap between screw tip and barrel the correlation between the different parameters has been deducted. It has been ascertained that the calculation method for the spiral flow assuming non-isothermal conditions yields an accurate correspondence to the test results.     

Zur parametererregung des rad-schiene-systems: Berechnung der fahrzeug-fahrweg-untergrund-dynamik und experimentelle verifikation am hochgeschwindigkeitszug intercity experimental

Übersicht Die diskrete Stützung der Schiene auf Schwellen in regelmäßigem Abstand ergibt für den fahrenden Zug eine Parametererregung. Die Berechnung der parametererregten Schwingungen und der zugehörigen dynamischen Radlasten erfordert die Analyse des Gesamtsystems Fahrzeug-Fahrweg-Untergrund. Es wird eine Substrukturmethode vorgestellt, bei der Fahrzeug, Fahrweg und Untergrund jeweils mit geeigneten Methoden (Mehrkörperdynamik, Finite Elemente, Randelemente) berechnet werden. Das Verfahren wird auf eine Situation angewandt, die auch mehrfach experimentell untersucht wurde, die Hochgeschwindigkeitsversuchsfahrten des Intercity Experimental (ICE) auf der Neubaustrecke bei Würzburg. Es werden die Ergebnisse der Teilsysteme und des Gesamtsystems und schließlich die dynamische Radlast für verschiedene Fahrgeschwindigkeiten dargestellt. Die dynamische Radlast nimmt bei Steigerung der Fahrgeschwindigkeit bis 200 km/h zu, bleibt bei höheren Fahrgeschwindigkeiten jedoch ungefähr konstant. Eine ähnliche Tendenz wird bei den Erschütterungen in der Umgebung bemerkt. Mit den berechneten Radlasten werden die ICE-Vorbeifahrten sehr detailliert simuliert und die berechneten Erschütterungen mit den gemessenen verglichen. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung, so daß der wichtige Fahrgeschwindigkeitseffekt als theoretisch und experimentell abgesichert angesehen werden kann.

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Parametric excitation of rail-wheel-system: calculation of vehicle-track-subsoil-dynamics and experimental results of the high speed train intercity experimental

Summary The discrete support of the rail on regularly spaced sleepers leads to a parametric excitation of the running train. To calculate the resulting vibrations and the additional dynamic loads the complete vehicle-track-subsoil system must be considered. A substructure method using appropriate methods for each subsystem (rigid bodies, finite elements, boundary elements) is presented and applied to a situation which was measured three times during highspeed test runs of the Intercity Experimental (ICE) near Würzburg. The results of the subsystems are shown and the coupling leads finally to the dynamic loads moving on the track. These loads increase with speed up to 200 km/h but remain nearly constant at higher speeds. A similar tendency was found in the measured vibrations near the track. To compare theory and experiment the calculated moving loads were used to simulate the environmental vibrations of the ICE test runs showing a good agreement.

     

Die Berechnung der Drehschwingungen von Kurbelwellen mittels der Frequenzfunktionen-Tafel

Ohne Zusammenfassung     

Zur Berechnung des Wärmeübergangs bei einphasiger freier Konvektion in der Nähe des kritischen Zustandes

Zusammenfassung Experimentelle Ergebnisse zum überkritischen Wärmeübergang weisen für den Zustandsbereich nahe dem kritischen Punkt zum Teil große Abweichungen von der für unterkritische Fluide bekannten Abhängigkeit des Wärmeübergangskoeffizienten von der Wärmestromdichte auf. Am Beispiel des Kältemittels RC318 (C₄F₈) wird gezeigt, daß auch diese Ergebnisse mit den bekannten Beziehungen zwischen der Nußelt-, der Grashof- und der Prandtl-Zahl beschrieben werden können, wenn der thermische Ausdehnungskoeffizient und die spezifische Wärme in Gr bzw. Pr durch Differenzenquotienten ersetzt und zwei zusätzliche Parameter zur Beschreibung der Dichteänderung innerhalb der beheizten Fluidzone eingeführt werden. Da ein Teil der in den Kennzahlen benötigten Stoffwerte von RC318 im interessierenden Zustandsbereich nicht bekannt ist, werden die fehlenden Stoffwerte mit Hilfe des allgemeinen Korrespondenzprinzips berechnet.

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Calculation of free convective heat transfer near the critical state

For certain conditions free convective heat transfer from horizontal tubes to fluids near the critical state differs widely from the well-known dependency of heat transfer coefficient from heat flux. It is shown that experiments with refrigerant RC318 (C₄F₈) even for these conditions can be described by one of the often applied relationships between Nusselt and Rayleigh numbers, if the special form of density variation within the heated region of the fluid is taken into account. Most of the thermophysical properties of RC318 being unknown near the critical state, thermodynamic similarity considerations are used to calculate these data.

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Formelzeichen F Korrekturfaktor - R individuelle Gaskonstante - T Temperatur - Z Realfaktor - Gr, Nu, Pr Kennzahlen - a Temperaturleitzahl - c_v, C_p spezifische Wärme - d Rohrdurchmesser - g Erdbeschleunigung - h spezifische Enthalpie - m Molekülmasse - p Druck - q Wärmestromdichte - u innere Energie - v spezifisches Volumen - Wärmeübergangskoeffizient - _k Riedel-Parameter - thermischer Ausdehnungskoeffizient - Realanteil - Differenz zwischen einer Zustandsgröße des Fluids an der Heizwand und außerhalb der beheizten Zone - Asymmetrieparameter - Viskosität, dynamische - Wärmeleitzahl - Viskosität, kinematische - Dichte Indizes-hochgestellt normierte Größe - * auf den Wert am kritischen Punkt normierte Größe - 0 im Zustand des idealen Gases Indizes-tiefgestellt B, + Bezugswert - f Fluid außerhalb der beheizten Zone - k am kritischen Punkt - W an der Wand Herrn Professor Dr.-Ing. H. Glaser, Stuttgart, zum 70. Geburtstag gewidmet.Die Autoren danken Herrn Prof. Dr. K. Bier für die unterstützung der Arbeit und für wertvolle Diskussionsbeiträge.     

Zur Berechnung der Stofftransportbeziehungen an der Phasengrenze von Zweiphasen-Mehrkomponenten-Systemen

Zusammenfassung Die Stoffaustauschbeziehungen an der Phasengrenze eines Zweiphasen-Systems auf der Basis der erweiterten Ackermann/Colburn-Drew Gleichungen werden am Beispiel von binären und polynären Gemischen aufgezeigt. Darauf aufbauend werden Beziehungen für die Berechnung des Stoffdurchgangskoeffizienten und für das Verhältnis der partiellen Stoffübergangskoeffizienten für den Fall großer übergehender Stoffströme abgeleitet. Eine vergleichende Analyse mit Rechenansätzen verschiedener Struktur wird anhand von Beispielen gegeben.

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On the calculation of mass transfer relations at the interface of two-phase-multi-component-systems

The mass transfer relations at the interface of a two-phase-system related to the generalized Ackermann/Colburn-Drew equations are presented for binary and polynary mixtures. Therefore relations for the calculation of the overall mass transfer coefficient and the ratio of the partial mass transfer coefficients are derived for the case of high mass fluxes. An analysis comparing calculation procedures of different structures is demonstrated by examples.

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Beziehungen c Moldichte kmol/m³ - D Diffusionskoeffizient m²/h - Steigung der Gleichgewichts-linie - m Verhältnis der Phasengrenz-konzentrationen - n Stromdichte kmol/hm² - s Weg, Diffusionsweg m - x Flüssigkeitsphasenkonzen-kmol/kmol tration - y Gas-Dampfphasenkonzen-kmol/kmol tration - z Variable - Stoffaustauschkoeffizient kmol/hm² - Unterschichtdicke m - Abweichung - [_bin] Matrix der Stoffübergangskoeffizient en der binären Paare für äquimolaren Stofftransport - [] Matrix der Mehrkomponenten-Stoffübergangskoeffizienten für äquimolaren Stofftransport - [B] =[]^–1, Def. s. Gl.4d - [] Def. s. Gl.4e - [] Verallgemeinerte Ackermann/Colburn-Drew Korrektur Matrix für Mehrkomponenten-Stoffaustausch - [J] Einheitsmatrix Indizes bin binär - d dampfseitig (Stoffübergang) - D dampfseitig (Stoffdurchgang) - f flüssigkeitsseitig - g Phasengrenze - Laufindex - n Gesamtzahl der Komponenten - l l. > Komponente betreffend - 2 2 - charakterisiert für nichtäquimolaren Transport korrigierte Größen     

Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.     

Berechnung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung und der Wandreibung in konzentrischen Ringspalten

Zusammenfassung Ausgehend von einem empirischen Ansatz vonReichardt für die scheinbare kinematische Zähigkeit der Strömung zwischen parallelen Platten wird nach qualitativer Wertung der experimentellen Ergebnisse vonBrighton ein verallgemeinertes Gesetz für die scheinbare kinematische Zähigkeit formuliert, welches den Reichardtschen Fall als Grenzfall enthält. Mit Hilfe dieses Gesetzes wird die turbulente Geschwindigkeitsverteilung und Wandreibung im konzentrischen Ringspalt berechnet, wobei lediglich vorausgesetzt wird, daß die Strömung im Kreisrohr als Grenzfall des Ringspaltes experimentell bekannt ist. Die theoretischen Ergebnisse werden in ausgezeichneter Weise von den experimentellen Daten verschiedener Autoren bestätigt.

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Calculation of turbulent velocity distribution and skin friction in concentric annuli

A generalised relationship has been derived for the eddy viscosity distribution starting from Reichardt's empirical expression valid for the parallel plate geometry and taking account of qualitative trends observed in Brighton's data for the concentric annulus. Using this relationship the turbulent velocity distribution and wall friction is calculated for the annulus. In the numerical calculations use is made only of experimental data pertaining to the circular pipe, which can be considered as a limiting case of the annulus. The theoretical results are in very good agreement with experimental data available.

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Bezeichnungen a Profillänge zwischen benetzter Wand und Geschwindigkeitsmaximum - B Konstante im logarithmischen Widerstandsgesetz - C, C _I Konstante im logarithmischen Geschwindigkeitsgesetz - d _h hydraulischer Durchmesser - F Formbeiwert konzentrischer Ringspalte - f Reibungsbeiwert - K=r _m/R dimensionslose Koordinate des Geschwindigkeitsmaximums - p statischer Druck - R Krümmungsradius des benetzten Umfangs - Re=U _m d _h/ Reynoldszahl - r, (r _m) Radiale Koordinate (des Geschwindigkeitsmaximums) - t Konstante im Ansatz für die scheinbare kinematische Zähigkeit - U, (U _m,U _max) (mittlere, maximate) Strömungsgeschwindigkeit - u* Wandschubspannungsgeschwindigkeit - u ⁺, (u _m ⁺ ,u _max ⁺ ) durch Bezug aufu* mit der örtlichen (mittleren, maximalen) Geschwindigkeit gebildeter Geschwindigkeitsparameter - x Koordinate in Strömungsrichtung - Y=y/a relativer Wandabstand - y Wandabstand - y ⁺=u* y/ Wandabstandsparameter - Z=z/a relativer Mittenabstand - z Mittenabstand - =R ₁/R ₂ Radienverhältnis von Ringspalten - scheinbare kinematische Zähigkeit - ⁺=/(u*a) dimensionslose scheinbare kinematische Zähigkeit - x Konstante im Ansatz für die scheinbare kinematische Zähigkeit - kinematische Zähigkeit - Dichte - , ( _w) (Wand-)Schubspannung Indices 0 Kennzeichnung von Parametern und Konstanten der Kreisrohrströmung - 1,2 Kennzeichnung von Parametern und Konstanten der Strömung in inneren bzw. äußeren Ringspaltzonen Überarbeiteter Auszug aus der Dissertation [1] des Verfassers.