抛物线中的几个等比数列

圆锥曲线有许多神奇、美妙的性质,笔者经过探究,得到抛物线中的几个等比数列．     

二、三次函数和若干等比数列的关系

近年来,为考查数列的基本概念和函数的性质,以及考查归纳、推理能力,高考中常有涉及函数与数列的试题.本文着重研究二、三次函数和等比数列的某些关系. 易知,若点M0(x0,y0)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则它过点M0的切线为y=2ax0x-y0 (1)     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

等比数列一个“性质”的修正

《中学生数学》2001年第11(月上)期“等比数列的性质及其应用”一文,列举了等比数列的10个性质,其中的性质5是这样的:若{an}是等比数列,公比为q,则sum fromi=1 to k ai,sum fromi=k 1 to 2k ai,sum from i=2k 1 to 3k ai,…仍成等比数列,其公比为qk. 其实,这个“性质”是有问题的,因为sum fromi=1 to k ai,sum fromi=k 1 to 2k ai,sum from i=2k 1 to 3k ai,…是否成等比数列,与q和k的取值情况有关. 显然,当q=-1,且k为正偶数时,sum fromi=1 to k ai     

等比数列前n项和S_n的一个性质的两个补充

1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

抛物线的一个性质与一组探索性问题

大家都知道抛物线的焦点弦有这样一条性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1.y2=-p2.现对这个性质进行推广,得到抛物线的一条新性质:     

抛物线

1　重、难点分析①在抛物线定义中 ,要注意定点Ｆ不在定直线ｌ上 ,否则轨迹不是抛物线 ,而是一条直线 .②抛物线的标准方程有四种形式 :即 ｙ2 =2 ｐｘ ,ｙ2 =- 2 ｐｘ ,ｘ2 =2 ｐｙ ,ｘ2 =- 2 ｐｙ(ｐ >0 ) ,抛物线标准方程中的 ｐ是焦点到准线的距离 ,ｐ永远大于零 ,焦点的非零坐标± ｐ2 是一次系数的 14 ,方程的右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同 ,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向 .③圆锥曲线定义是其一切几何性质的根源 ,抛物线的定义揭示了抛物线的几何性质 .利用此性质可得到焦半径公式 :设Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线 …     

抛物线焦点弦的性质探究

<正>设抛物线的方程为y2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)作倾斜角为α的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容.下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考.     

抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理

文[2]介绍了一个关于抛物线图形求积定理的证明,本文利用抛物线的一个性质来对抛物线图形求积定理的证明方法进行探究.1抛物线的一个性质     

相似抛物线的一组性质

文[1][2]分别讨论了相似椭圆和双曲线具有的性质,而所有的抛物线都是相似的,那么相似抛物线是否也具有类似的性质呢?笔者经过研究,发现相似抛物线也具有与文[2]中的定理3完全相同的性质.     

抛物线的两个直角性质

本文介绍抛物线的两个直角性质,供读者参考.定理1经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线,与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=     

抛物线与椭圆相切的一些结论

<正>在本刊的文[1]中,屈伸老师探究了抛物线与圆相切的一系列结论.在文末,他建议读者进一步探究椭圆或双曲线与圆相切的性质.在本文,我们对屈老师的建议稍作修改,探究抛物线与椭圆相切的性质.如图1,设椭圆■与抛物线x²=2py相切于两点,设其中一个切点为N.再设抛物线的焦点为F,     

抛物线的两个有趣性质

经过探究,笔者得到了抛物线的两个有趣性质,现介绍如下.性质1如图1,已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为y轴上异于原点的任一点,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线交于点M,直线     

与抛物线内一点相关的一组优美性质

圆锥曲线有许多神奇美妙的性质,本文介绍与抛物线内一点相关的一组优美性质,与读者共赏.性质1设M(t,0)为抛物线y2=2px(p>0)内的任意一点,过点M作抛物线的两条弦AC和BD,点A、D在x轴的同侧,若直线AD和BC相     

圆锥曲线中一个漂亮的统一性质

近日笔者在学习和教学中发现了圆锥曲线中一个漂亮的性质,现与大家分享.性质1若抛物线y2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A,过点A作抛物线的一条割线交抛物线于B,C两点,过焦点F作与割线的倾斜角     

上期课外练习参考解答

高一年级 1.设该等比数列为x1,x2,…,x10.公比为q. 则由等比数列的性质得 x1·x10=x2·x9=x3·x8=x4·x7=xx5·x6. 由已知x1=1,由韦达定理知, 即. 由韦达定理得     

等比数阵及其性质

文[1〕、[2〕给出了等差数阵的若干性质,本文探讨等比数阵的有关问题. 矩形等比数阵 定义l若,。义。数阵恤,}的各行、各列均成等比数列,就称之为川x武矩形)等比数阵. 第,行公比记为尸r,第S列公比记为扣 性质1{产,}与(口,}均为等比数列,且公比相同. 事实上,有 值得一提的是,等比     

抛物线“三和谐”定点问题

在抛物线一节的复习课中,笔者深挖教材,关注高考,聚焦课本试题的演变、高考试题的回归,对抛物线与直线相结合的一系列问题进行了归纳总结,发现一些试题都涉及到定点问题.有趣的是,所涉及到的定点有三类,且都在x轴上,其横坐标成等比数列,本文称其为“三和谐”定点.     

等比数列前n项和公式推导的常用方法

数列求和的一个基本目标是 :减少项数 ,化成简单形式 ,便于求出结果 .同样等比数列求和也应按上述目标来实现 .怎样才能实现上述目标 ?应紧紧抓住等比数列的本身特点和规律 .方法 1　抓住等比数列的定义 ,联想等比定理 .设等比数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公比为 ｑ ,由等比数列定义知 :ａ2ａ1=ａ3ａ2=ａ4 ａ3=… =ａｎａｎ- 1=ｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ≠ - 1时 ,根据比例性质得 :ａ2 +ａ3+ａ4 +… +ａｎａ1+ａ2 +ａ3+… +ａｎ- 1=ｑ ,即　 Ｓｎ-ａ1Ｓｎ-ａｎ=ｑ ,∴ (1- ｑ)Ｓｎ=ａ1-ａｎｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ =- 1时 ,上式也成立 .∴Ｓｎ=ｎａ1　　 (…