Precise asymptotics in Chung’s law of the iterated logarithm

Let X, X1, X2,... be i.i.d, random variables with mean zero and positive, finite variance σ^2, and set Sn = X1 ＋... ＋ Xn, n≥1. The author proves that, if EX^2I{｜X｜≥t} = 0（（log log t）^-1） as t→∞, then for any a〉-1 and b〉 -1,lim ε↑1/√1＋a（1/√1＋a-ε）b＋1 ∑n=1^∞（logn）^a（loglogn）^b/nP{max κ≤n｜Sκ｜≤√σ^2π^2n/8loglogn（ε＋an）}=4/π（1/2（1＋a）^3/2）^b＋1 Г（b＋1）,whenever an = o（1/log log n）. The author obtains the sufficient and necessary conditions for this kind of results to hold.     

两个题目的内在联系

题1 若实数a，b，c满足2a＋2b=2a＋b,2a＋2b＋2c=2a＋b＋c，则c的最大值是——．     

最高阶元素个数为4pm的有限群

本文研究了最高阶元素个数对群结构的影响．运用群阶的素因子，k阶循环子群共轭类的长，以及K3-单群和K4-单群的相关结论，证明了最高阶元素个数为4p^m（p为素数，p〉17,2p＋1≠2^a3^b，且2^a3^b-1是素数，m是正整数）的有限群是可解群．     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

关于“一组有趣的数字”的进一步探讨

王世强教授在文[1]中介绍了这样一组有趣的数字：若 a=123789,b=561945,c=642864; d=242868,e=323787,f=761943． 则有 a＋b＋c=d＋e＋f及a^2＋b^2＋c^2=d^2＋e^2＋f^2（＊）把a,b,c,d,e,f的最高1位,2位,3位,4位,5位数字依次去掉后,仍有（＊）式成立．     

瓦西列夫不等式的加强

本刊曾刊登了瓦西列夫提出的如下优美的不等式：设a，b，C〉0，a＋b＋c=1，则，^2a＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/＋a＋b≥2①笔者经过探索，得到了①的一个加强结果：     

瓦西列夫不等式的再推广

贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式，其中之一是下面的瓦西列夫不等式： 设a，b，c〉0，且a＋b＋c=1，则 a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2 （1）     

一道预赛题的简证及推广

2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题为： 设a，b，c为非负实数，满足bc＋ca＋ab=1．证明：b＋c^-1＋c＋a^-1＋a＋b^-1≥2^-5。     

一道三角题解法的再探究

题：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且∠A=8°。a^2=b（b＋c），求C．     

待定系数法解一类条件最值题

问题 设x,y是实数,且a1x2＋b1xy＋c1y2=m（m≠0）时,求S=a2x2＋b2xy＋c2y2的取值范围．     

一道不等式的证明与推广

题目 已知a〉0，b〉0，c〉0，a＋b＋c=1，证明：√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1≤3√2     

2011年高考湖北卷理科压轴题的解法探讨

2011年高考湖北理科压轴题（第21题）： （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx—x＋1,x∈（0,＋∞）,求函数f（x）的最大值; （Ⅱ）设ak,bk（k=1,2,…,n）均为正数,证明： （1）若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn,则a1^b1a^b2^2≤1;     

一道习题引发对减元策略的探究

问题提出 已知对任意实数r,二次函数f（x）=ax2＋bx＋c恒非负,若a〈b,则M=a＋b＋c/b-a的最小值等于____．     

一道第31届IMO预选题的推广

设a,b，c，d∈R^＋，且ab＋bc＋cd＋da=1，求证： a^3/b＋c＋d＋b^3/c＋d＋a＋c^3/d＋a＋b＋d^3/a＋b＋c≥1/3① 这是第31届IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广．     

一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a，b，c≥O，且a＋b＋c=1，求证： √a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

一对优雅的姊妹不等式

本文给出一对优雅的姊妹不等式． 定理若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则     

一道2013年全国高中数学联赛试题的探究

2013年全国高中数学联赛B卷第10题：假设a,b,c〉0,且abc=1,求证：a^2＋b^2＋c^2≥a＋b＋c．     

一个平凡不等式的不平凡应用

定理若a,b,c∈R,则a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca,当且仅当a=b=c时等号成立． 证明由a^2＋b^2≥2ab,b^2＋c^2≥2bc,c^2＋a^2≥2ca相加后除以2即得定理中的不等式．     

从一道自主招生考试试题看能力考查

华中师范大学2010年自主招生考试数学试题的压轴题是：已知当a〉1时,函数y=x^a（a〉0）的图像如图1所示． （i）设a〉1,试用y=x^a（a〉0）的图像说明,当x1〉0,x2〉0时,不等式 （x1＋x2/x）^a≤x1^a＋x2^a/2①成立．