一道邀请赛题的思考

题目如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、N是切点,连NO并延长交DE于K,连AK并延长交BC于M.求证:M是BC的中点.该题是第六届北方数学奥林匹克邀请赛试题,设计新颖,构思巧妙,是一道内容丰富、不落俗     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

1998年高中联赛一道加试题的别解

问题对图1，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上．求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径．证明1记a、b、c、r、R、、分别为西ABC的顶点对边、内团圆半径、外援国半径及BC边上着团圆半径，则S。。。一会r。（b＋c—a），另一方面，设AI的延长线交面ABC的外接圆于K，连OK交BC于F，则OK上BC，作IE上BC于E，易知：AD／／IE／／OK，IE—r．比较①②得r。一R（结论成五）．证明2（边和半径记法同证法1）则另过I作IE上BC于E，过O作OF上虫③④可得r。一R．证法3to图3，连AIrt延长交①O…     

一道全国联赛试题的别解

2005年全国初中数学联赛试卷(A卷)第三题(解答题)的第2题是:锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q.证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点.联赛组委会所提供的“参考答案”中,给出了一种漂亮的证法.这里笔者再给出该试     

圆锥曲线一条共点线性质的发现之旅

1 一道赛题的演变 2005年全国初中数学联赛第二试第二题是锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE与BC的延长线交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线(如图1).     

证明线段相等的几种方法赏析

<正>初中阶段证明线段相等的方法非常多,下面我们以一道题为例来说明常见的几种证明线段相等的方法.题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E,求证:DE=EF.证明一、利用全等三角形证明方法一如图2,作DM∥AC,交BC于M.     

解析法

解析法裴光亚（武汉市教研室４３００５０）很多平面几何题的纯几何证法往往是非常困难的，解析几何却是处理某些这类问题的有力工具．这就是所谓的解析法．例１给定任一锐角三角形ＡＢＣ及高ＡＨ，在ＡＨ上任取一点Ｄ，连ＢＤ并延长交ＡＣ于Ｅ，又连ＣＤ且延长交ＡＢ于Ｆ...     

一道课外练习题的别证

题在矩形ABCD中,点M是边AD的中点,点N是边BC的中点,在边CD的延长线上任取一点P,联结PM并延长交AC于点Q,求证:∠PNM=∠MNQ.这是贵刊2011年3月下的一道课外练习题,是由笔者编拟提供的,原解答比例代换繁杂,一般学生不易掌握,今再给出一种学生易掌握的证法.     

对数学问题1720的研究性学习北大核心

《数学通报》（文[1]）2008年2期问题1720为： △ABC中,以BC为轴（长轴或短轴均可）作一椭圆交AB于E,交AC于点F．设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点,EN交FM于点D,求证：AD⊥BC．     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

一道中国北方数学奥林匹克几何题的别证

<正>第11届中国北方数学奥林匹克高一年级第2题:已知AB为△ABC外接圆⊙O的直径,过点B、C作⊙O的切线交于点P,过点A垂直于PA的直线与BC的延长线交于点D,延长DP到点E,使得PE=PB.若∠ADP=40°,求∠E的度数.笔者在此将主要以初中生所熟悉的锐角三角函数求解此题.解按题意作图.连接OP,设OP交BC于点M.连接AM.由题设可得:OP⊥BC,且BM=CM;及     

解一道竞赛题的意外收获

题目：在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN—BM,连AN、CM交于P点．试求么APM的度数,并写出你的推理证明的过程．（1993年北京市数学竞赛初二复赛题）     

察柏尔定理及其在三角中的应用

察柏尔(chapple)定理叙述如下: 若△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,两圆的圆心距为d,则有d~2=R~2-2Rγ。证明:如图1, 连结OI并延长交外接圆于K、L。连CI并延长交外接圆于M,由相交弦定理得:KI·IL=CI·IM,又∵KI·IL=(R+d)·(R-d)=k~2-d~2,∴CI·IM=R~2-d~2 ①下面将全力以赴地寻找CI、IM与R、r的关系,为此作IP⊥BC交BC于P,则IP=r·而得CI=IP/(sin∠ICP)=r/(sin(C/2)) ②连BI,BM,在△BIM中如能证得IM=BM,则问题就会迎刃而解。因为在△CBM中能利用     

一道平面几何题的简证

题目~[1]如图,菱形ABCD,∠DAB=60°,E是AD上一点,CE交BA延长线于F,DF交BE延长线于M,求证:∠BMD=60°.证明连结DB,显然△CBF∽△EDC,于是BC/DE=BF/DC,注意到DC=BC=DB,有DB/DE=BF/DB,     

探究与三角形有关的直线上点的性质

<正>探究一如图1,在△ABC中,D是BC的中点,M在CD上,AD、AM为∠BAC的等角线,P是直线AM上一点(P不与A、M重合),BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点N,则AN是△ABC的外接圆切线.先证明一个引理.引理1如图2,在△ABC中,P是BC延长线上一点,若满足AB2/AC2=BP/CP,则AP是△ABC的外接圆切线.     

一道中考几何题的“先猜后证”

<正>本文以2017年北京中考的几何综合题为例,说明解题中"先猜后证"的思考过程,供参考.一、原题呈现(2017年北京市中考第28题)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).     

对数学问题1720的再研究

《数学通报》(文[1])2008年2期问题1720为:△ABC中,以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆交AB于E,交AC于F(如图1).设M、N分别是点E、F关于直线BC的对称点,EN交FM于D.求证:AD⊥BC. 文[2]中供题者利用伸缩变换给出了上述问题的证法,文[3]给出了该问题的常规解法,并把它进行了探究得出以下结论(文[3]中的性质12),同时把结论拓展到双曲线.     

数学问题与解答

1711四边形ABCD是正方形，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、BF，设BF与AC相交于G，过G点作GH⊥BC于H，过H作BF的垂线并延长交AC于I． 求证：ADHI是等腰直角三角形．     

一道矩形相似试题的多种解法

<正>原题呈现(浙江省宁波市鄞州区2019学年九年级数学期末考试第12题)如图1,矩形ABCD∽矩形FAHG,连接BD,延长GH分别交BD、BC于点I、J,延长CD、FG交于点E,一定能求出△BIJ面积的条件是求出了().