矩阵黎卡提方程的精细积分法

选择恰当的参数，将２￣Ｎ类算法用于代数与微分黎卡提方程。证明了算得的解是如此精确，几乎是计算机上的精确解。数例验证了该结论。     

矩阵黎卡提方程的精细积分法

选择恰当的参数，将２＾Ｎ类算法用于代数与微分黎卡提方程。证明了算得的解是如此精确，几乎是计算机上的精确解。数例验证了该结论。     

波动方程的精细逐步积分法

应用现有的波动方程求解方法解决工程实际问题尚存在一定的局限性。本文在结构动力方程精细逐步积分的基础上,提出了波动方程初边值问题的精细逐步积分法,并分别给出了不同边界条件下的精细逐步积分格式。此数值方法虽然是显式积分方法,却是无条件稳定的。分别用精细逐步积分法和其它已有的方法对两个算例进行了计算,一个是有解析解的例子,该例验证了此方法的准确性,另一个例子是求解由波动方程及初始条件和边界条件组成的有杆抽油系统预测模型,此例验证了精细逐步积分法的高效性。     

结构动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构动力系统提出的精细积分方法,能够得到在数值上逼近于精确解的结果,但对于非齐次动力方程涉及到矩阵求逆的困难。提出采用增维的办法,将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,这种方法对于程序实现和提高数值稳定性十分有利,而且在大型问题中计算效率较高,从而改进了精细积分方法的应用,数值例题显示了本文方法的有效性。     

二阶双曲型方程的精细时程积分法

对于二阶双曲型偏微分方程初边值问题，可以用有限差分法进行求解。通常的有限差分法在使用过程中受到精确度和稳定性的限制，本文提出求解二阶双曲型方程的精细时程积分法。由于这种方法是半解析方法，在时间域上可以精确计算，所以这种方法不仅精确度高，而且还绝对稳定。文末的数值算例进一步验证了上述结构，而且对大的时间步长（例如△t=0.5）仍然获得精度很高的数值结果。可见，精细时程积分法是一种很实用的方法。     

时滞抛物型方程的高精度精细积分法

对一类时滞抛物型方程初边值问题,提出了关于空间步长是四阶精度的高精度无条件稳定的精细积分法.数值算例表明,本文提出的精细积分法具有很高的精度,因而是一种有效的数值方法.     

非线性动力方程的增维精细积分法

对线性定常结构的动力系统提出的精细积分法，能得到在数值上逼近于精确解的结果。但是对于非齐次动力方程却涉及到矩阵求逆的困难，而且通常与时间有关的非齐次项不能进入精细积分的细化过程。采用增维的方法，将非齐次动力方程化为齐次方程，在实施精细积分的过程中不必进行矩阵求逆。这种处理方法对于程序实现和提高数值计算的稳定性十分有利，而且在大型问题中可明显提高计算效率，数值算例显示本文方法是有效的。     

非线性动力方程精细积分法的自适应步长研究

基于Adams显式和隐式预估公式实现对时间步长的 自适应选择,利用当前时刻v(tk),采用预估公式的两种形式(显式与隐式),对v(tk+1)进行两次预估,利用两公式局部截断误差关系,得出误差估计值ξ(tk+1),并根据其大小 自适应调节时间步长.将该思想应用于预估型(求解过程需要用到预估公式)精细积分算法中,使精细积分...     

二维扩散方程的单点子域精细积分法

建立了二维扩散方程的单点子域精细积分法,并通过稳定性分析,表明了单点子域精细积分法相对于差分法的优越性。     

求解非线性动力学方程的分段直接积分法

针对n维未知向量v的一阶微分方程dv/dt=Hv f(v,t）进行求解。首先，将非线性部分f(v,t)在所论时刻tk处用t-tk=T的j次多项式来近似，然后借助分段直接积分法，导出了各段内的、用T的解析函数表达的求解公式，通过选取j值，可获得一系列具有不同精度的近似解，便于研究非线性动力学行为与其物理参数的依赖关系。为适应实际计算，还全面讨论了上述多项式的确定方法，其中包括避免求f(v,t)导数的算法。算例表明所提出的方法不仅可用于求解非线性动力响应问题，而且对研究解的形态和稳定性，如对吸引子、极限环、二次Hopf分岔等的分析也不失为一个有效的工具。     

基于精细积分技术的非线性动力学方程的同伦摄动法

将精细积分技术（PIM）和同伦摄动方法（HPM）相结合,给出了一种求解非线性动力学方程的新的渐近数值方法。采用精细积分法求解非线性问题时,需要将非线性项对时间参数按Taylor级数展开,在展开项少时,计算精度对时间步长敏感;随着展开项的增加,计算格式会变得越来越复杂。采用同伦摄动法,则具有相对筒单的计算格式,但计算精度较差,应用范围也限于低维非线性微分方程。将这两种方法相结合得到的新的渐近数值方法则同时具备了两者的优点,既使同伦摄动方法的应用范围推广到高维非线性动力学方程的求解,又使精细积分方法在求解非线性问题时具有较简单的计算格式。数值算例表明,该方法具有较高的数值精度和计算效率。     

非齐次动力学方程的一种精细积分单步方法

针对非齐次动力学方程■,结合精细积分法和微分求积法,利用同阶的显式龙格-库塔法对计算过程中待求的v_(k+i/s)(i=1,2,…,s)进行预估,提出了一种避免状态矩阵求逆的高效精细积分单步方法。该方法采用精细积分法计算e~(Ht),而Duhamel积分项采用s级s阶的时域微分求积法,计算格式统一且易于编程,可灵活实现变阶变步长。仿真结果表明,与其他单步法及预估校正-辛时间子域法进行数值比较,该方法具有高精度、高效率及良好的稳定性,在求解大规模动力系统时间响应问题中具有较大的优势。     

精细积分方法的发展与扩展应用

钟万勰院士于1991年首先提出计算矩阵指数的精细积分方法,其要点是2^N类算法和增量存储。精细积分方法可给出矩阵指数在计算机意义上的精确解,为常微分方程的数值计算提供了高精度、高稳定性的算法,现已成功应用于结构动力响应、随机振动、热传导以及最优控制等众多领域。本文首先介绍矩阵指数精细积分方法的提出、基本思想和发展;然后依次介绍在时不变/时变线性微分方程、非线性微分方程以及大规模问题求解中发展起来的各种精细积分方法,分析了其优缺点和适用范围;最后介绍了精细积分方法的基本思想在两点边值问题、椭圆函数和病态代数方程等问题的扩展应用,进一步展示了该思想的特色。     

ADAPTIVE INTERVAL WAVELET PRECISE INTEGRATION METHOD FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

IntroductionThepreciseintegrationmethod(PIM) [1],whichwasproposedforsolvingstructuraldynamicequations.Thismethodissimplerandpossesseshigherprecision .Forlinearsteadystructuraldynamicsystems,itsnumericalresultsattheintegrationpointsarealmostequaltothatoftheexactsolutioninmachineaccuracy .InthepreciseintegrationmethodforsolvingPDEs,theequationsshouldbediscretizedinthephysicalspaceforobtainingthesystemofODEsintime ,whichisoftenexecutedbythefinitedifferencemethodorthefiniteelementmethod .Inrec…     

扩散方程单内点精细积分法与差分法比较研究

一维扩散方程初值问题可以用全域或子域精细积分求解。子域积分可以采用不同数量的内点，单内点是其最简单的情况。当单内点精细积分中的传递函数即指数函数用其泰勒展开式的一阶近似来替代时，精细积分转化为差分方程。本文研究了这一对应关系。各种常见差分格式均找到了对应的单点精细积分格式，并在单点精细积分一般公式中得到了统一表达形式     

基于Fourier级数的时变周期系数Riccati微分方程精细积分

结合Fourier级数展开方法,本文提出了基于精细积分的时变周期系数Riccati微分方程求解高效算法.首先,利用Fourier级数展开方法将周期系统表示成三角级数形式,在一个积分步内使用精细积分方法得到对应Hamilton系统状态转移矩阵的表达式.然后,通过Riccati变换的方法,得到含有状态转移矩阵的时变周期系数Riccati微分方程解的递推格式.本文方法充分利用了方程本身的周期性特点,文中的数值算例表明算法具有计算效率高、结果可靠等优势.     

Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

基于Duhamel项的精细积分方法,构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分,对非线性部分进行多项式近似,利用Duhamel积分矩阵,导出了非线性方程求解的一般格式。然后结合传统的数值积分技术,例如Adams线性多步法等,构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点,大大提高了传统算法的数值精度和稳定性,尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆,可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性,并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。     

Characteristic Galerkin method for convection-diffusion equations and implicit algorithm using precise integration

This paper presents a finite element procedure for solving transient, multidimensional convection-diffusion equations. The procedure is based on the characteristic Galerkin method with an implicit algorithm using precise integration method. With the operator splitting procedure, the precise integration method is introduced to determine the material derivative in the convection-diffusion equation, consequently, the physical quantities of material points. An implicit algorithm with a combination of both the precise and the traditional numerical integration procedures in time domain in the Lagrange coordinates for the characteristic Galerkin method is formulated. The stability analysis of the algorithm shows that the unconditional stability of present implicit algorithm is enhanced as compared with that of the traditional implicit numerical integration procedure. The numerical results validate the presented method in solving convection-diffusion equations. As compared with SUPG method and explicit characteristic Galerkin method, the present method gives the results with higher accuracy and better stability. The project sponsored by the State Scientific and Technological Commission of China through “China State Key Project: the Theory and Methodology for Scientific and Engineering Computations with Large Scale”, the National Natural Science Foundation of China and the European Commission Research Project CI1^*CT94-0014.     

病态代数方程的精细积分解法

基于精细积分思想,提出了一种有效的病态代数方程组求解方法。类似于稳态热传导方程可视为瞬态热传导方程的极限形式,将具有正定对称实系数矩阵的病态代数方程组归结为一个常微分方程组初值问题的极限形式,并在此基础上建立了病态代数方程组的精细积分解法。该方法不仅精度高,而且能以指数速度收敛,具有较高的效率。本文还讨论了病态代数方程...