Dynamic equations of spin spacecraft partially containing fluid in the presence of thrust

Summary The dynamic behavior of a spin-stabilized spacecraft containing fluid under the action of thrust is investigated in the present paper. Using Pfeiffer's method, the dynamic equations are given in form of closed ordinary differential equations. The stability of free oscillation of fluid which is composed of sloshing and vortex flow is studied. An exponential instability is detected in the present simulation and both the stable and unstable regions are plotted in a parameter plane. Since the free oscillation is neutrally stable in Liapunov's sense, the appearance of the fictitious instability is discussed.

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Dynamische Gleichungen eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem teilweise flüssigkeitsgefüllten Tank unter Schubeinwirkung

Übersicht In dem vorliegenden Beitrag wird das dynamische Verhalten eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem flüssigkeitsgefüllten Tank unter der Einwirkung eines Schubes untersucht. Mit Hilfe der Pfeiffer'schen Methode erhält man einen Satz von geschlossenen, gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zudem wird die Stabilität der freien Schwingung des Fluids, dessen Bewegung sich aus Slosh und Wirbelströmung zusammensetzt, betrachtet. In der vorliegenden Simulation entdeckt man eine exponentielle Instabilität und sowohl die Bereiche stabiler wie instabiler Schwingung werden in der Parameterebene gekennzeichnet. Da die freie Schwingung nach Liapunov von neutraler Stabilität ist, wird das Auftreten der fiktiven Instabilität diskutiert.

     

On the stability of Staude's permanent rotations of a gyroscope with damping

Summary The stability behavior of unsymmetric damped gyroscopes varies basically from the well-known behavior of symmetric damped gyroscopes: statically stable gyroscopes may be unstable due to unsymmctries and statically unstable gyroscopes can be stabilized by unsymmetric moments of inertia. The asymptotic stability of unsymmetric gyroscopes is rigorously analysed using the time-invariant equations of motion in a rotating frame and the Hurwitz theorem. The results are presented in the Magnus shape triangle as well for statically stable as for statically unstable gyroscopes.

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Übersicht Das Stabilitätsverhalten des unsymmetrischen gedämpften Kreisels unterscheidet sich grundsätzlich von dem bekannten Verhalten symmetrischer gedämpfter Kreisel: statisch stabile Kreisel können durch die Unsymmetrien instabil werden und statisch instabile Kreisel lassen sich durch unsymmetrische Trägheitsmomente stabilisieren. Die asymptotische Stabilität unsymmetrischer Kreisel wird mit den zeitinvarianten Bewegungsgleichungen im drehenden Bezugssystem vollständig untersucht. Dabei wird das Hurwitzsche Stabilitätskriterium benützt. Die Ergebnisse werden im Magnusschen Formdreieck für statisch stabile und statisch instabile Kreisel dargestellt.

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The authors acknowledge the support of the Deutscher Akademischer Austauschdienst (DAAD), Germany and the Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), Brazil.     

Axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading

Summary Axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading systems are investigated by means of a so-called deformation map. The deformation map was further used for stability considerations of geometrically nonlinear shells, see Shilkrut [1, 2]. The map reveals the complete picture of the axially symmetric deformations and the stability of the investigated structure. The equilibrium differential equations for the above mentioned circular plate were derived by Timoshenko [3]. The boundary value problem of the investigated structure is transformed to an initial value problem (Cauchy's problem). Then the Runge-Kutta (R. K.) method can be used to solve numerically the equilibrium equations. The geometrically nonlinear, simply supported circular plate subjected to uniform radial force and uniform radial bending moment acting along the supported edge is investigated as example, and some new qualitative and quantitative results are obtained. This approach can be used without essential difficulties for the investigation of axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading systems in elastic and non-elastic fields.

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Axialsymmetrische Verformung und Stabilität geometrisch nichtlinearer Kreisplatten unter mehrparametrischer statischer Belastung

Übersicht Zur Untersuchung axialsymmetrischer, geometrisch nichtlinearer Verformung von Kreisplatten und ihrer Stabilität bei mehrparametrischer Belastung wird eine sog. Deformationskarte benutzt. Sie wurde auch für Stabilitätsbetrachtungen geometrisch nichtlinearer Schalen benutzt, s. Shilkrut [1,2]. Die Karte zeigt das vollständige Bild der axialsymmetrischen Verformung und die Stabilität der untersuchten Struktur. Das Randwertproblem zu den differentiellen Gleichgewichtsbedingungen, die für die betrachtete Platte von Timoshenko [3] hergeleitet wurden, wird in ein Anfangswertproblem (Caudy-Problem) überführt, welches numerisch nach der Methode von Runge-Kutta gelöst wird. Als Beispiel wird die nichtlineare Kreisplatte unter radialer Zug-und Biegemomentenbelastung am einfach gestützten Umfang untersucht, und man erhält einige neue qualitative und quantitative Ergebnisse. Die Methode läßt sich ohne wesentliche Schwierigkeiten auch auf axialsymmetrische, nichtlineare Verformungen und die Stabilität von Kreisplatten unter anderen mehrparametrischen statischen Belastungen im elastischen und nichtelastischen Bereich anwenden.

     

The effect of symmetry on the imperfection-sensitivity of coincident critical points

Summary The imperfection sensitivity of an N-degree-of-freedom symmetric system exhibiting a two-fold coincident critical point is studied. Symmetry in one as well as in both the critical coordinates is considered. The concepts of general and special critical points, associated with smooth and improper equilibrium surfaces respectively, are used to explore all the relevant stability properties of the system without resorting to formal stability considerations. An illustrative example concerning a column on elastic foundation is analyzed.

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Übersicht Es wird die Parameter-Empfindlichkeit eines Systems von N Freiheitsgraden untersucht, das zwei zusammenfallende kritische Punkte besitzt. Dabei wird sowohl in einer als auch in beiden kritischen Koordinaten Symmetrie vorausgesetzt. Die Begriffe der allgemeinen und der speziellen kritischen Punkte, abgeleitet von den Eigenschaften der Gleichgewichtsoberflächen, werden dazu verwendet, alle wichtigen Stabilitätseigenschaften zu untersuchen, ohne daß die üblichen Stabilitätsbetrachtungen angestellt werden müssen. Als Beispiel wird eine Säule auf nachgiebiger Unterlage untersucht.

     

Stability of orbiting gyrostats in the elementary cases

Summary The stability of the elementary cases of equilibrium of an orbiting gyrostat have been examined previously by two other authors using two different methods. In the first instance only two of the three equilibrium cases has been analysed, while in the second the author arrives at unnecessarily restrictive sufficient conditions for stability. The present paper systematically reexamines the stability question using the two previous methods and a third which makes a direct appeal to the Thomson-Tait-Chetaev theorem (not a logically independent method, but one having a considerably different guise). It extends the first technique to the missing case and significantly sharpens all previous results. In comparing the three approaches it establishes that all three, when properly used, lead to precisely the same set of stability inequalities, but that the third method involves substantially less labor. The stability results are interpreted in a certain inertia phase plane.

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Übersicht Die Stabilität der elementaren Fälle für das Gleichgewicht eines als Satelliten kreisenden Gyrostaten wurde von zwei anderen Autoren nach zwei verschiedenen Methoden untersucht. In der ersten dieser Arbeiten wurden nur 2 von den 3 möglichen Gleichgewichtsfällen analysiert, während der zweite Autor zu unnötig scharfen hinreichenden Bedingungen für die Stabilität gelangt. In der vorliegenden Arbeit wird die Frage nach der Stabilität systematisch aufgegriffen, wobei neben den früheren beiden Methoden ein drittes, unmittelbar auf dem Satz von Thomson-Tait-Cetaev aufbauendes Verfahren verwendet wird. Dadurch kann die erstgenannte Methode auf den bisher ausgelassenen dritten Fall angewendet und eine bedeutende Präzisierung aller früheren Ergebnisse erreicht werden. Ein Vergleich der drei Methoden zeigt, daß alle drei zu genau demselben Satz von Stabilitätsbedingungen führen, daß jedoch die dritte Methode weniger Aufwand erfordert. Die Ergebnisse werden als Stabilitätsdiagramme in einer Trägheits-Phasenebene dargestellt.

     

Dynamic behaviour of a ring filled with a fluid

Summary An analysis is carried out for a ring filled with a fluid and subjected to various kinds of axisymmetric loads applied along the outer surface of the ring. The relationships between hydraulic pressure, hoop stress in the ring and time are investigated due to a force such as F exp (–bt) or F sin (t). The fundamental equations of motion for the fluid and the ring are solved by the Laplace transformation method. From the results of the present analysis it becomes evident that the maximum values of pressure and stress become remarkably large.

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Das dynamische Verhalten eines flussigkeitsgefüllten Rings

Übersicht Analysiert wird das Verhalten eines flüssigkeitsgefüllten Rings, der verschiedenen axialsymmetrischen Belastungen auf seiner äußeren Oberfläche ausgesetzt ist. Untersucht wird das Zeitverhalten von Flüssigkeitsdruck und Umfangspannung bei Lasten wie F exp (–bt) oder F sin (t). Die Bewegungsgleichungen von Flüssigkeit und Ring werden mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst. Die Ergebnisse verdeutlichen, daß die Maximalwerte von Druck und Spannung bemerkenswert groß werden.

     

Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Summary A method is suggested which simplifies the investigations to the safety of buckling structures under time depending actions. The static analysis of the structure is used in order to fix the critical deformation state and hence the critical strain energy. Representing the deformation behaviour and the loading by some energetic measures an approximation for the development of the motion during the loading may be computed with less effort by using Galerkin's procedure. Representing the effect of the external actions by the energy which is induced to the structure during the loading the proof of the stability may be given by comparing this external energy to the critical strain energy.

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Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Übersicht Die zum Stabilitätsverlust von dünnen Flächentragwerken führenden Beulphänomene werden für zeitabhängige Einwirkungen an einfachen Tragwerken erläutert. Für die Untersuchung der Stabilität bei zeitabhängigen Einwirkungen wird ein Verfahren vorgestellt, das auf der Basis einer statischen Analyse skalare Energiemaße definiert, die eine zuverlässige Beurteilung der Stabilität zulassen. Die Berücksichtigung des zeitlichen Ablaufs der Verformungen infolge der vorhandenen instationären Einwirkungen erfolgt nur für wenige für den Stabilitätsverlust maßgebende Bewegungsformen. Die Trennung von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung ermöglicht eine effektive Untersuchung beulgefährdeter Tragwerke ohne die numerisch aufwendige Integration der nichtlinearen Bewegungsgleichungen.

     

Stabilität der ebenen Couette-Strömung bezüglich Störungen in der viskosimetrischen Ebene

Zusammenfassung Die Stabilität der ebenen Scherströmung eines einfachen Fluids wird im Rahmen der Kurzwellenapproximation für Störungen in der viskosimetrischen Ebene untersucht. Für kurze Wellen ist eine Stabilitätsanalyse unabhängig von der speziellen Form der Stoffgleichung möglich. Die vorliegende Analyse stellt einen ersten Schritt in diese Richtung dar und führt zu einem hinreichenden Stabilitätskriterium. Für kurze Wellen sind die Maxwell-FlüssigkeitenA undB bezüglich ebener Störungen stabil.

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The stability of a plane shear flow of simple fluids is investigated for perturbations in the viscometric plane within the framework of the short wave approximation. For short waves it is possible to carry out a stability analysis, which is independent of the type of constitutive equation. The analysis presented is the first step in this direction and leads to a sufficient stability criterion. For short waves Maxwell fluidsA andB are stable for perturbations in the viscometric plane.

Korrespondenz bitte an diese Adresse richten     

Stability of miscible fluid displacement in a porous medium

Summary The stability of miscible fluid displacement through porous media has been investigated when concentration induced density and viscosity gradients are present. The dependence of Rayleigh's number on the horizontal planform of cellular motion is established and it is shown that the Rayleigh and wave numbers interact in a nonlinear fashion and hence have to be treated as two independent parameters in the analysis of stability process.Übersicht Untersucht wird die Stabilität der Bewegung mischbarer Flüssigkeiten durch ein poröses Medium bei konzentrationsbedingten Dichte- und Viskositätsgradienten. Der Zusammenhang zwischen der Rayleigh-Zahl und der horizontalen Planheit der Zellbewegung wird aufgezeigt und nachgewiesen, daß die Rayleigh-und Wellenzahlen sich nichtlinear beeinflussen und folglich als zwei unabhängige Parameter der Stabilitäts-analyse zu betrachten sind.

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Stabilität der verschiebung mischbarer flüssigkeiten in einem porösen medium

     

Untersuchung zur Stabilität von Arbeitspunkten selbstregelnd betriebener Kreiselarbeitsmaschinen

Übersicht Für die Stabilität von Arbeitspunkten selbstregelnd stationär betriebener Kreiselarbeitsmaschinen werden einfache Bedingungen angegeben. Bei Beschränkung auf hinreichende Kriterien kann allein aufgrund der Kenntnis graphischer Darstellungen der üblichen Kennlinien für Arbeitsmaschine und Verbraucheranlage über die Stabilität entschieden werden.

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Summary Simple conditions are given for stability of stationary operating points of self-controlled running turbomachines. By restriction to sufficient criteria it is possible to decide on stability only from graphs of the usual characteristics of the turbomachine and the plant.

     

On the mean square stability of a class of nonstationary coupled partial differential equations

Summary The stability of the equilibrium solution of a class of coupled partial differential equations with nonstationary random coefficients is studied. Several theorems in regard to mean square stability of the equilibrium state of the system are established. Some examples of the applications of the results to engineering problems are presented and significant improvements on stability region are observed.

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Übersicht Für eine Klasse von gekoppelten partiellen Differentialgleichungen mit nichtstationären Zufallskoeffizienten wird die Stabilität der Gleichgewichtslage untersucht. Dabei werden mehrere Sätze über die Quadratmittel-Stabilität der Gleichgewichtslage aufgestellt. Die Ergebnisse werden auf Beispiele aus dem Ingenieurbereich angewandt und ergeben bedeutende Vergrößerungen der Stabilitätsgebiete.

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The author wold like to thank Miss M. Shaterpouri for her aid in preparation of this work.

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This study is supported in part by the Ministry of Science and Higher Education of Iran and the Atomic Energy Organization of Iran.     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

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Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Flexural vibrations of fissured poroelastic plates

Summary The governing equations of flexural vibrations of thin, fluid-saturated, poroelastic plates are derived in detail. The plate material obeys the Aifantis-Beskos theory of poroelasticity with two degrees of porosity, while the plate theory employed is the one due to Kirchhoff. The dynamic response of a rectangular, simply supported, poroelastic plate with two degrees of porosity to harmonic load is obtained analytically-numerically and the effects of porosities and permeabilities on the response are studied. A comparison between the single and double porosity material models is also made. The quasi-static problem is analysed as as special case of the dynamic one.

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Biegeschwingungen geklüfteter poroelastischer Platten

Übersicht Es werden die Gleichungen, die die Biegeschwingungen von dünnen, mit Flüssigkeit gefüllten, poroelastischen Platten beschreiben, im einzelnen hergeleitet. Das Materialverhalten der Platte wird durch die Poroelastizitätstheorie von Aifandis und Beskos für Materialien mit doppelter Porosität beschrieben, während für die Platten die Kirchhoffsche Plattentheorie angewandt wird. Man erhält auf analytisch-numerischem Weg das dynamische Verhalten einer rechteckigen, einfach gestützten, poroelastischen Platte mit doppelter Porosität bezüglich einer harmonischen Belastung. Der Einfluß der Porosität und Permeabilität auf das dynamische Verhalten wird untersucht. Weiterhin werden die Modelle für Materialien mit einfacher und doppelter Porosität miteinander verglichen. Das quasi-statische Problem wird als Spezialfall des dynamischen Problems analysiert.

     

Zur Stabilität der ebenen schleichenden Dehnströmung einer allgemeinen Flüssigkeit mit freier Oberfläche

Zusammenfassung Die ebene schleichende Dehnströmung mit freier Oberfläche, die etwa beim Ziehen von dünnen Folien auftritt, wird auf Stabilität untersucht. Dabei wird eine frühere Untersuchung, die nur newtonsche Flüssigkeiten behandelt und stets Instabilität liefert, auf Fluide mit endlichem Gedächtnis verallgemeinert. Es zeigt sich, daß die Frage nach einem etwaigen stabilisierenden Einfluß endlicher Relaxationszeiten für verschiedene Flüssigkeiten unterschiedlich beantwortet werden muß. So liefern ein Maxwell- und ein Doi-Edwards-Fluid zwar wie im newtonschen Fall angefachte Lösungen, jedoch nimmt bei der Maxwell-Flüssigkeit die Anfachungsrate mit steigender Relaxationszeit ab, während sie beim Doi-Edwards-Fluid zunimmt.

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The stability of planar creeping extensional flow with a free surface, that may occur in sheet stretching, is investigated. For that purpose a former investigation that only deals with Newtonian fluids and which always leads to instability, is generalized to fluids with finite memory. It is shown, that finite relaxation times have different influences on stability for different materials. Thus a Maxwelland a Doi-Edwards fluid give unstable solutions like a Newtonian fluid, but in the case of a Maxwell fluid the rate of growth of the disturbances decreases with growing relaxation time, while it increases in case of a Doi-Edwards fluid.

     

The effects of material nonlinearity and compressibility in the buckling of nonlinear elastic systems

Summary The stability and post-buckling response of simple perfect and imperfect systems made of nonlinear elastic material are thoroughly discussed. The perfect systems correspond to the three types of bifurcation points, i.e. stable symmetric, unstable symmetric and asymmetric. Material-dependent stability conditions are properly established. It is found that the mechanism of buckling of perfect systems associated with a stable symmetric bifurcation point may become unstable depending on the value of the material nonlinearity parameter. Moreover, it is established that the effect of compressibility on the buckling load may be considerable in case of imperfect systems which in their ideal state are associated with an asymmetric bifurcation point.

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Die effekte von nichtlinearem stoffverhalten und kompressibilität beim knicken elastischer systeme

Übersicht Diskutiert wird die Stabilität und das Nachknickverhalten einfacher nichtlinear-elastischer Systeme mit und ohne Imperfektionen. Die perfekten Systeme gehören zu den drei Arten von Verzweigungspunkten, nämlich stabile und instabile symmetrische sowie unsymmetrische Verzweigung. Theoretisch strenge, materialabhängige Stabilitätsbedingungen werden eingeführt. Es zeigt sich, daß der Knickmechanismus eines perfekten Systems, der mit einer stabilen symmetrischen Verzweigung verknüpft ist, möglicherweise in Abhängigkeit von der Nichtlinearität des Stoffverhaltens instabil wird. Darüber hinaus stellt man fest, daß der Einfluß der Kompressibilität auf die Knicklast erheblich sein kann bei Systemen mit Imperfektion, die im perfekten Zustand eine einsymmetrische Verzweigung zeigen.

     

Stability of elastic,cylindrical shells via Liapunov's second method

Summary In this paper, Liapunov's Second Method in the version of Movchan, Knops, and Wilkes is applied to the stability problem of the circular, cylindrical shell with fixed ends. For a fairly general and practically important loading condition it is shown that certain conditions with regard to the load intensity and to the magnitude of damping warrant stability in the sense of a general norm. In the case of axisymmetric loading, which occurs for example in a silo, the stability is a uniform, pointwise one concerning the deflection.

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Übersicht In dieser Arbeit wird Liapunovs Zweite Methode in der Fassung von Movchan, Knops und Wilkes auf das Stabilitätsproblem der Kreiszylinderschale mit festgehaltenen Enden angewendet. Für eine recht allgemeine und praktisch wichtige Belastungsannahme wird gezeigt, daß gewisse Bedingungen hinsichtlich der Lastintensität und der Größe des Dämpfungsfaktors Stabilität im Sinne einer allgemeinen Norm garantieren. Im Fall einer axialsymmetrischen Belastung, die z. B. in einem Silo vorkommt, liegt hinsichtlich der Auslenkung der Schalenmittelfläche sogar eine gleichmäßig punktweise Stabilität vor.

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The financial support of this research through NRC Grant A 7297 is gratefully acknowledged     

On the imperfection sensitivity of compound branching

Summary The effect of small imperfections on the stability behaviour of an N-degree-of-freedom system exhibiting 2-fold coincident critical points is investigated. The analysis is based on equilibrium surfaces and the multiple-parameter perturbation technique. The relationship between certain forms of the equilibrium surface and the Catastrophe theory is discussed. An illustrative structural model is analyzed.

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Übersicht Es wird der Einfluß kleiner Abweichungen auf die Stabilität von Systemen mit N Freiheitsgraden mit einem zweifachen kritischen Punkt untersucht. Die Analyse beruht auf der Betrachtung von Gleichgewichtsflächen und auf der Störungsrechnung für mehrere Parameter. Die Beziehungen zwischen den auftretenden Gleichgewichtsflächen und der Katastrophentheorie werden erörtert. An einem Strukturmodell wird die Vorgehensweise erläutert.

     

Estimation of ultimate safe loads in elastic stability theory

Ultimate safe load estimates are derived for general isotropic materials. Conditions sufficient to assure stability of equilibrium in the dead load traction boundary value problem are obtained from an energy type criterion by application of certain inequalities and by subsequent separation of the incremental shear strain components from the others. Specific estimates are provided for stability of the undistorted states of every isotropic elastic material, and it is shown that the inequalities based upon the estimates derived here imply those given elsewhere; in the natural state of vanishing stress and strain the conclusions are coincident with the classical inequalities for the shear and bulk moduli. General sufficient conditions for stability of equilibrium of an incompressible Mooney-Rivlin body are derived. Simple shear and simple extension analyses for isotropic Hadamard elastic materials reveal that several classical relations can be obtained for this class of materials in the theory of finite strain, and explicit formulae for determination of certain elastic constants and familiar moduli are provided. Sufficient conditions for stability for every such Hadamard elastic material are obtained by special application of the general formulae developed earlier in the work, and particular results for a compressible Mooney-Rivlin type material are given. It is found that these include as a special case our earlier results for the familiar incompressible Mooney-Rivlin body. It happens also that several inequalities usually obtained from certain requirements that assure resonable material response to the loading, but which otherwise have been unrelated to stability, appear here as natural sufficient conditions for stability in the dead load problem. Finally, several of the results are applied to study the problem of stability of an Euler column, and physical implications of the analyses are discussed.

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Zusammenfassung Für allgemeine isotrope Materialien werden völlig sichere Lastabschätzungen hergeleitet. Bei Randwertproblemen nicht mitgehender Lasten werden hinreichende Bedingungen zur Gewährleistung der Stabilität des Gleichgewichts von einem Energie-Kriterium durch Anwendung verschiedener Ungleichungen und durch nachfolgende Trennung des Zuwachses der Schubspannungskomponenten von den übrigen erhalten. Für die Stabilität unverformter Zustände beliebiger isotroper elastischer Materialien werden spezielle Abschätzungen geliefert. Dabei wird gezeigt, daß die Ungleichungen, die sich aus den hergeleiteten Abschätzungen ergeben, diejenigen anderer Autoren enthalten. Die Ergebnisse stimmen für den spannungs- und verformungsfreien Zustand mit den klassischen Ungleichungen für Schub- und Kompressionsmodul überein. Es werden allgemeine hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gleichgewichts eines inkompressiblen Körpers vom Mooney-Rivlin-Typ abgeleitet. Einfache Schub- und Dehnungsberechnungen für isotrope Hadamard-elastische Materialien zeigen, daß einige klassische Beziehungen in der Theorie endlicher Dehnungen für diese Materialien erhalten werden können, und es werden explizite Formeln für die Bestimmung gewisser elastischer Konstanten und üblicher Moduln angegeben. Hinreichende Stabilitätskriterien werden durch eine spezielle Anwendung der allgemeinen Gleichungen gewonnen und Ergebnisse für ein kompressibles Mooney-Rivlin-Material dargestellt. Es zeigt sich, daß diese unsere früheren Ergebnisse für den inkompressiblen Mooney-Rivlin-Körper als Spezialfall enthalten. Es tritt auch der Fall auf, daß einzelne Ungleichungen, die gewöhnlich aus gewissen Forderungen zur Gewährleistung einer sinnvollen Reaktion des Materials auf die Belastung folgen, die aber auf der anderen Seite keinen Bezug zur Stabilität besitzen, hier als natürliche hinreichende Stabilitätskriterien bei Problemen nicht mitgehender Lasten auftreten. Schließlich werden einige Ergebnisse zur Untersuchung der Stabilität eines Euler-Stabes herangezogen und die physikalische Bedeutung der Rechnungen diskutiert.

     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.