例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

巧用相似三角形知识破解角平分线问题

在解析几何中，有一类涉及到角平分线的问题，这类题型往往与平面向量、圆锥曲线等相结合，通过稍加改变而戒创新题．这类问题若通过联立方程等手段破解，则往往事倍功半．甚至无功而返，而若能巧用相似三角形的性质则可轻松破解这类创新题，下面就“已知角平分线求顶点”和“已知顶点证角平分线”两类问题分别举例分析．     

有关相似三角形的动点问题探究

点是构成图形最基本的元素,其多样的运动状态与图形结合构成了一道道灵活且精彩的综合题.本文中从点的运动出发,研究点运动时形成的相似三角形,尝试通过例题分析探讨这类问题的解决方法.通过这样的研究,一方面与更多教师形成教法上的交流,另一方面间接促进学生综合素养的提升.     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

将探究进行到底——最小覆盖圆的探究教学实录与思考

1引言与接受性学习相比,探究性学习更注重方法的传授、情感的体验和探究能力的培养,体现学生为主体、教师为主导、问题为主线的教学理念,本文以苏科版《义务教育课程标准教科书九年级数学综合与实践活动》     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

构造相似三角形探讨三角问题

众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1　一个重要性质在△ＡＢＣ中 ,以ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＢ ,ｓｉｎＣ为边可以构造一个△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ,且△ＡＢＣ～△Ａ′Ｂ′Ｃ′ .△Ａ′Ｂ′Ｃ′外接圆半径为 12 .图 1　三角形边角关系证　 (如图 1)设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ ,由正弦定理有 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ =12Ｒ(ａ ｂ)>ｃ2Ｒ=ｓｉｎＣ .同理ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ .因…     

二次函数与三角形相似问题两例

<正>二次函数与三角形相似作为初中数学两部分重要内容,常将二者结合在一起出现在综合题里,体现了数形结合和分类思想的具体应用,成为近年来中考热点,本文将对这种类型题目的解法深入探究:一、以抛物线为背景判断三角形是否相似例1如图1,已知抛物线y=-(x-2)²+1的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)试判断△AOC     

关于相似三角形动态问题的研讨

<正>相似三角形复习中经常会遇到动态问题,为了掌握其中的解题技巧,以几道题为例进行研讨.1两个例题例1已知:如图1,△ABC中,AB=16cm,AC=8cm,D为AC的中点,P为AB上的动点,当PA为何值时,以P,A,D为顶点的三角形与△ABC相似?     

由三角形角平分线得出的两个结论

<正>~~     

两个三角形分割后能分别对应相似的条件

<正>原题如图,Rt△ABC与Rt△DEF不相似,其中∠C、∠F为直角,能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形,使△ABC所分割成的两个三角形与△DEF所分割成的两个三角形分别对应相似?能的话,请设计出一种分割方案,并说明理由;若不能,也请说明理由.解能.有两种分割方案.     

由错解引发的探究

<正>~~     

由一道习题引发的探究

<正>老师总说:只要思考,数学探究无处不在.只有亲身经历过一次数学探究之旅后才能对这句话有深刻的体会.引发我们思考的是一道作业中的题目:如图1,△ABC是等边三角形,E,F分别在AB,AC上,△DBC是等腰三角形,BD=DC,∠BDC=120°,∠BDC=2∠EDF,AB=2.求△AEF的周长.     

由习题引发的探究发现

在一次数学课上,老师给我们出了这样一题：已知抛物线y^2=2px（P〉0）,焦点为F,过焦点F且倾斜角为θ的直线l,     

由一道考题引发的探究

1．考题呈现 近日一次高三模拟考中有如下考题： 已知抛物线y2=4x上有一点A（1,2）,过点A作抛物线的两条动弦AB和AC,且AB垂直AC,问：直线BC是否过定点？若过定点,求出该定点;若不过,请说明理由．     

由一道考题引发的探究

1.考题呈现近日一次高三模拟考中有如下考题:已知抛物线y2=4x上有一点A(1,2),过点A作抛物线的两条动弦AB和AC,且AB⊥AC,问:直线BC是否过定点?若过定点,求出该定点;若不过,请说明理由.     

由一道错题引发的探究

最近,我在数学学习中,碰到了一个问题,原题如下： 直线ax＋by＋b-a=0与椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1总有交点,则a,b满足（ ）.