欧拉公式的证明与应用

欧拉研究多面体时，得到了一个著名的欧拉公式：V＋F-E=2，其中V表示简单多面体的“顶点数”，F表示“面数”，E表示“棱数”，若将简单多面体去掉一个面，并将其余各面拉开压缩到该面所在平面，便得到平面内多边形的“点数、面数与线数”的三者关系：V＋F-E=1．这里的V表示“点数”，F表示“面数”，E表示“棱（线段）数”．     

多面体欧拉定理

欧拉定理是数学第二册(下)中的研究性 学习课题．学习欧拉定理有助于我们进一步掌 握多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系． 欧拉定理是指简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系V+F-E=2．     

图的笛卡儿积的测地数

对于图G内的任意两点u和v，u-v测地线是指u和v之间的最短路．I（u，v）表示位于u-v测地线上所有点的集合，对于．S∈V（G），I（S）表示所有I（u，v）的并，这里“u,v∈．S．G的测地数g（G）是使I（S）=V（G）的点集．S的最小基数．在这篇文章，我们研究G×K3的测地数和g（G）与g（G×K3）相等的充分必要条件，还给出了T×Km和Cn×Km的测地数，这里T是树．     

Pm×Kn的邻点可区别全色数

设G是简单图．设f是一个从V(G)∪E(G)到{1,2,…,k}的映射．对每个v∈V(G),令C_f(v)={f(v)}∪{f(vw)|w∈V(G),vw∈E(G)}．如果f是k-正常全染色,且对任意u,v∈V(G),uv∈E(G),有C_f(u)≠C_f(v),那么称f为图G的邻点可区别全染色(简称为k-AVDTC)．数x_(at)(G)=min{k|G有k-AVDTC}称为图G的邻点可区别全色数．本文给出路P_m和完全图K_n的Cartesion积的邻点可区别全色数．     

高度图的独立集复形

给定图G，称以G的所有独立集为单形的抽象复形I（G）为G的独立集复形．如果两个图G和H的独立集复形I（G）和I（H）的各阶同调群都是同构的，则称两个图是独立同调的．J（G）表示Gc的连通分支数，J3K2（G）表示Gc中同构于（3H2）c的连通分支数．本文研究了最小次δ（G）至少为其阶数|V（G）|减5的图G的独立集复形的结构，对满足δ（G）≥|V（C）|5，δ（H）≥|V（H）|－5的两个图G和H，（I）证明了，G和H独立同调的充要条件为J（G）＝J（H），J3K2（G）＝J3K2（H），且I（G）和I（H）的Euler示性数相同．（Ⅱ）给出了一个在图上计算I（G）的一维Betti数的方法，得到了一个I（G）是无圈复形的充要条件     

矩阵损失下多元统计中期望向量的线性Minimax估计

设yi，y2，…，yn，i．i．d，Ey1＝β，Cov（y1）＝∑，这里ε∈RP和∑＞0未知，我们估计β，估计类为L＝｛Liyi：Li为p阶常数方阵，i＝1，2，…，n｝，损失函数为其中V1，V2＞0已知，我们研究β的一个线性估计在L中的Minimax性．主要结果是1．当V2＝kV1，k＞0时，β的唯一的Ⅰ-型线性Minimax估计为Y／（1＋），其中Y＝＝2．当V2＝kV1对所有k＞0不成立，但V1V2＝V2V1时，β的Ⅰ-型线性Minimax估计不存在．3．当V1V2＝V2V1时，β的Ⅱ-型线性Minimax估计为，这个估计在V1，V2满足条件V1V2＝V2V1下变化时，构成了集合｛AY：A对称，A的特征根均在（0，1）中｝．4．对于一般的V1，V2；Y仍是β的Ⅱ-型线性Minimnax估计，这个估计在V1，V2任意变化时，构成了集会｛AY:A的特征根是实的，特征根全在（0，1）中，且A只具有线性初等因子｝．     

图的下测地数和上测地数

对于图G(或有向图D)内的任意两点u和v,u—v测地线是指在u和v之间(或从u到v)的最短路．I(u,v)表示位于u—v测地线上所有点的集合,对于S(?)V(G)(或V(D)),I(S)表示所有I(u,v)的并,这里u,v∈S．G(或D)的测地数g(G)(或g(D))是使I(S)=V(G)(或I(S)=V(D))的点集S的最小基数．G的下测地数g~-(G)=min{g(D)：D是G的定向图},G的上测地数g~ (G)=max{g(D)：D是G的定向图}．对于u∈V(G)和v∈V(H),G_u H_v表示在u和v之间加一条边所得的图．本文主要研究图G_u H_v的测地数和上(下)测地数．     

Halin-图的点强全染色

图G(V,E)的一个k-正常全染色f叫做一个k-点强全染色当且仅当对任意v∈V(G), N[v]中的元素被染不同色,其中N[v]={u|uv∈V(G)}∪{v}．χTvs(G)=min{k|存在图G的k- 点强全染色}叫做图G的点强全色数．对3-连通平面图G(V,E),如果删去面fo边界上的所有点后的图为一个树图,则G(V,E)叫做一个Halin-图．本文确定了最大度不小于6的Halin- 图和一些特殊图的的点强全色数XTvs(G),并提出了如下猜想:设G(V,E)为每一连通分支的阶不小于6的图,则χTvs(G)≤△(G) 2,其中△(G)为图G(V,E)的最大度．     

凸多面体的欧拉公式的一个证明方法

大家知道,无“孔”多面体的顶点数V,面数F和棱数E之间存在着以下关系式V+F-E=2 下面给出一个证明方法。 设任一个凸多面体,其顶点数为V,面数为F,棱数为E。且它们之间满足V+F-E=x     

几类积图的团染色数

设G=（VE）为简单图,V和E分别表示图的点集和边集．图G的一个k-团染色是指点集V到色集{1,2,…,k）的一个映射,使得G的每个至少含两个点的极大团都至少有两种颜色．分别给出了任意两个图的团色数与它们通过笛卡尔积、Kronecker积、强直积或字典积运算后得到的积图的团色数之间的关系．     

障碍问题有限元逼近的并行Schwarz算法

1．引言设o为R‘中有界多角形区域，V为Sobolev空INH‘（fi）的子空间，叶，·）为VxV上连续强制对称双线性型，，f∈V．为简单计，设V中元素满足齐次边界条件．考虑变分不等式：求u∈K，使其中或者且w，4eH‘mnC‘m．设V‘cHI（m为V的有限元逼近，其结点参数集包含结点上的函数值．考虑（1），（2）或者（l），（3）的有限元逼近问题：求。。EK。，使aa…a；v－…三周v－uh），Vve仇；（4其中a。（·，·）为VxV上连续强制对称双线性型，fhe（V‘）”，而Kh＝（hE叶：hZ一于所有结点｝，（5或者As一扣E＊‘：。三V三中于所有结…     

Kautz网络中的最小反馈点集

对简单有向图D=(V，E)，顶点子集F∈V，如果由V＼F导出的子图不含有向圈，则称F是D的反馈点集。点数最小的子集F称为最小反馈点集。最小的点数称为反馈数。本利用Kautz最小轨道的方法确定出了Kautz有向图K(d，k)反馈数的一个下界和上界。并且具体给出了当k≤3时的反馈数。     

一类Witt代数的包络代数的表示

设C为复数域,P,q∈C,且pq是m次本原单位根．我们构造了一个Zm-分次模类V(a,b),它为Witt代数的包络代数的(P,q)变形U(Wpq)的Zm-分次模类,并证明了任何一个Zm-分次U(Wpq)-模都与某个V(a,b)同构．     

环的左（N，U）－凝聚维数

设R和S是环，U是平坦右R-模，V是平坦右S-模．本中我们证明了(N，(U，V))-lc．dim(R S)=sup((N，U)-lc．dimR，(N，V)-lc．dimS)．     

一类多重联图的邻点可区别E-全染色

设G（V,E）是一个简单图,k是一个正整数,f是一个V（G）∪E（G）到{1,2,…,k]．的映射．如果Au,v∈E（G）,则f（u）≠f（v）,f（u）≠f（uv）,f（v）≠f（uv）,C（u）≠C（v）,其中C（u）={f（u））U{f（uv）｜uv∈E（G））．称f是图G的邻点可区别E-全染色,称最小的数k为图G的邻点可区别B全色数．本文给出了星、路、圈间的多重联图的邻点可区别E-全色数．     

对两个猜想的否定及改进

文[1]对一道高考试题进行了推广和引申，并在文末时提出了以下两个猜想． 猜想1若几何体存在内切球，过内切球球心的任意戴面，将几何体分成两个几何体．若这两个几何体的体积分别为V1，V2表面积分别为S1，S2，截面面积为S，则V1/V2=S1-S/S2-S。     

线性代数精彩应用案例(之二)——同构的应用

同构是数学上一个重要概念．线性空间的同构是线性代数中的一个重要概念．同一个数域F上两个线性空间U,V之间如果存在一个一一映射σ：U→V保持加法和数乘,即σ（α＋β）=σ（α）＋σ（β）与α（λα）=λα（α）对任意α,β∈V与λ∈F成立,就称线性空间U,V同构,也就是说：尽管U,V的元素可以完全不同,     

关于单纯代数群的李代数的限制上同调群

设g是特征数p>2,3的代数闭域k上的单连通单纯代数群的李代数,V是有限维限制g-模,本文得到了关于限制上同调群H_*~1(g,V)的维数估计式,证明了当V的权都不是根或0时,H_*~1(g,V)=0。特别,当g=sl(2,k)和V是不可约(限制)g-模时,进一步决定了H_*~1(g,V)的结构,情况与特征数为0时相反,它们不总是为0。     

环面代数扩张的同态

本文研究了环面代数(即C(T2))扩张问同态的性质．设E1和E2为环面代数通过K的本质酉扩张,φ,ψ:E1→E2为单同态,若φ,ψ在半群V(E1)及商代数上导出的映射一致,则φ与ψ是近似酉等价的．这里K为可分的无限维复Hilbert空间上的紧算子全体构成的C*-代数,V(E1)为E1的矩阵代数中投影的Murray-von Neumann等价类构成的交换半群．     

内积关系与线性变换再探讨

关于欧氏空间V的变换σ满足适当条件时,成为V的线性变换的问题,陈成存[1]和王新哲[2]已做过一些讨论．本文之目的在于建立两个能够包含文[1]与文[2]所有已知结果的统一结论,从而使得对此问题的把握达到一个新的层次．定理1设σ、r、p为欧氏空间V的三个变换,如果对任意a,qeV都有。（a）,。（用）一则p都是V的线性变换．证明"．"Va,肌V,Va,hER都有．"．a为V的线性变换．下证产为V的线性变换．由条件可得：Va,qeV都有．"．Va,p,y6V,Va,b6R都有．"．尸为V的线性变换．完全类似可证：。也是V的线性变换．定义1设a为n（＞0…