新题征展(109)

A 题组新编 　　1.已知数列{an}的前n项和Sn=1/2n(n-1),且an是bn与1的等差中项. 　　(1)求数列an和数列bn的通项公式; 　　(2)若cn=(1)/(nan)(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;……     

正项二阶等差数列的不等式

文[1]、[2]研究了正项等差数列方幂的不等式,本文研究由递增正项二阶等差数列若干项构成的不等式.为了简便起见,以下约定{an}是递增正项二阶等差数列,bn=an 1-an,{bn}的公差为d,其前n项和为Sn,m,k,n,p为正整数.引理d>0,an 1=Sn a1.证设an=an2 bn c,a,b,c∈R,且a>0.∵bn=an 1-an     

找准错因,防止再错

我校2011届高三高考模拟卷中有这样一道数列题:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;(2)设cn=3bn-λ.2an3(λ∈R),若数列{cn}     

对2000年一道高考试题的研究与推广

今年全国高考数学理科第 (2 0 )题为 :( )已知数列 { cn} ,其中 cn =2 n + 3n,且数列 { cn+ 1 - pcn}为等比数列 ,求常数 p:( )设 { an}、{ bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn =an + bn,证明数列 { cn}不是等比数列 .这是一道“主要考查等比数列的概念和基本性质 ,推理和运算能力”的好题 .从本校许多考生的信息反馈来看 ,该试题起点低 ,入手宽 ,且具有一定的难度和较好的区分度 .经研究 ,笔者发现该试题所述的两个问题可归结为同一个模型 ,从而可用统一的方法加以解决 .定理　设 a、b、c、r、s、t均为实常数 ,则等式　　　 arn-1 + b sn-1 =c tn-1 (* )对任意的 n∈ N恒成立的充要条件为　　　　 a =b=c=0 ;(1)或　　 a + b=c=0 ,r=s;(2 )或　　 a =0 ,b =c,s=t;(3)或　　 b =0 ,a =c,r=t;(4 )或　　 a + b=c,r=s=t. (5 )证明　 (充分性 )逐一验证 (1)～ (5 )知它们均可分别使 (* )对任意的 n∈ N恒成立 ,故“充...     

我为高考设计题目

题83已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=-12,b1·b2·b3=27,且a1+b1,a2+b2,a3+b3是各项均为正整数的等比数列的前3项,求数列{an},{bn}的通项;     

利用构造法巧解一道高考题

(1998年全国理科试题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1 b2 … b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{bn}的通项an=loga(1 1/b)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与1/3logabn 1的大小,并证明你的结论. 解(1)易求得bn=3n-2. (2)由(1)可得     

用待定系数法求解一类数列的通项

2005年重庆高考数学卷第22题,原题为:数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),记bn=1/an-1/2,要求根据计算b1,b2,b3,b4的值再求数列{bn}的通项公式.……     

新题征展(116)

A 题组新编 1.(胡寅年)设{an}是首项为1的正项数列,且n+1a2n+1-na2n+an+1an=0. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(ln(1+an))/(an),证明:①bn≤bn+1;②ln2≤bn相似文献   

与直线方程有关的最值问题

（2006年江苏高考第21题）设数列{an}，{bn}，{Cn}，满足：bn=an-an＋2，Cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{Cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）     

综合题新编选登

题61 已知函数f(x)(0,1)上是增函数.1)求实数a的取值范围;2)若数列{an}满足a1=c∈(0,1)且an+1=ln(2-an)+an(n∈N*),证明0相似文献   

2006年一道高考题的引申

(2006年江苏高考第21题)设数列{an},{bn},{cn},满足:bn=an-an 2,cn=an 2an 1 3an 2(n=1,2,3,…),证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn 1(n=1,2,3,…)此题的必要性易证,充分性的一个证明思路是:根据等差数列{cn}的性质有cn 2-cn为常数,结合bn≤bn 1得到bn     

正项二阶等差数列的不等式

文[1]、[2]研究了正项等差数列方幂的不等式，本文研究由递增正项二阶等差数列若干项构成的不等式，为了简便起见，以下约定{an}是递增正项二阶等差数列，bn=a（n＋1）-an，{bn}的公差为d，其前n项和为Sn，m，k，n，p为正整数．     

一类正项等比数列新不等式的再研讨

安徽盛宏礼先生在文[1]里,对于正项等比数列和组合数,建立如下新的不等式:定理1已知数列{an}是正项等比数列,n为自然数,求证:C0n/a1+C1n/a2+C2n/a2+…+Cnn/an+1≤2n-1(1/a1+1/an+1).①原文对此不等式的证明过程比较繁杂,其实,证明是     

常系数一次分式递归数列是有穷数列的充要条件--Whc116的一种解决途径

Whc116[1]数列{xn}满足 xn+1=axn+b/cxn+d (c≠0,ad-bc≠0,a、b、c、d∈R)(*)x1=α,试问a、b、c、d、α满足什么条件时,数列{xn}为n0项的有穷数列?n0有一个计数公式吗?     

两类递推数列通项的求法

文[1]用待定系数法求出了由递推式an 1=can daan b确定的数列{an}的通项公式(只要方程ax2 (b-c)x-d=0有根(包括复数根),都可用[1]的方法求解;若无根,则a=0,b=c,d≠0,得{an}是等差数列.[1]中对数列{an}的各项取倒数时,应要求an≠0(n∈N*)).受[1]的启发,笔者研究了由递推式an 1=c     

网球运动员专项知觉技能训练有效性试验研究

（2012年江苏高考第20题）已知各项均为正数的两个数列：{an}和{bn}满足：an＋1=an＋bn/√a2n＋b2n,n∈N＋. （1）设bn＋1=1＋bn/an,n∈N＋,求证：数列{（bn/an）2}是等差数例.     

关于一类数列的最大项问题

题1 在数列{A_n}={11~n(n 2)/12~n}中第几项的值最大?这个最大项是多少? 题2 求数列中的最大项。题3 求证,数列中的第一项最大,并求出这个最大项。细心的读者不难看出以上三个题中的数列都是由一个正项无穷递缩等比数列{a_n}和一个正项无穷等差数列{b_n}的对应项之乘积组成的一个新数列{a_n·b_n}。对于这一类数列的最大项问题,我们有下面一个很漂亮的结论。定理数列{c_n}={a_n·b_n}。如果数列{a_n}为正项无穷递缩等比数列,{b_n}为正项无穷递增等差数列,那么 (1)当1/1-q≥b_1/d,取n为区间[1 /1-q-b_1/d,1     

正项等比数列的一类递推公式

文 [1]作者在某些特定形式下 ,研究了等差数列的一类递推公式 .笔者受此启发 ,研究了相应的正项等比数列的一类递推公式 ,设数列 {an}的前n项之积为Tn,则对形如Tn=f(n ,an)的递推公式所确定的数列 {an},在一定特定形式下是一个等比数列 .笔者经初步探索 ,得到如下结果 .命题 1　已知正项数列 {an}的前n项之积为Tn,若对任意的自然数n均有Tn =( pan) n ( 1)　其中p为正常数 ,则数列 {an}为等比数列 .证　由已知 ,当n≥ 2时 ,Tn + 1=(pan + 1) n + 1( 2 )( 2 )÷ ( 1)得　　 an - 1n + 1pann=1( 3)由 ( 3)得 ann + 2 pan + 1n + 1=1( 4)( 4)…     

Banach空间中渐近非扩张映射的不动点迭代

设D是一致凸Banach空间X的非空闭凸子集 ,T∶D→D是渐近非扩张映射且kn ≥ 1 ,∑ ∞n =1(kn- 1 ) <∞ .设T的不动点集F(T) ≠ ,T是全连续的 (X满足Opial条件 ) ,{xn},{yn},{zn}由定义 2给出 ,如果 ∑∞n =1cn <∞ ,∑ ∞n =1c′n <∞ ,∑ ∞n =1c″n <∞ ,且下列条件之一满足 :(i)b″n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈ [0 ,β];bn ∈[0 ,α],αβ β <1 ;(ii)b′n ∈ [a ,b] ( 0 ,1 ) ;b″n ∈ [a ,1 ];bn ∈ [0 ,b];(iii)bn ∈[a ,b] ( 0 ,1 ) ;b′n ∈ [a ,1 ],则 {xn},{yn},{zn}强收敛于T的不动点 .( {xn}弱收敛于T的不动点 ) .     

一个组合问题的解法及拓展

文[1]用待定系数法求出了由递推式 αn＋1=cαn＋d/ααn＋b确定的数列{αn}的通项公司（只要方程αx^2＋（b-c）x-d=0有根（包括复数根），都可用[1]的方法求解；若无根，则α=0，b=c，d≠0，得{αn}是等差数列。[1]中对数列{αn}的各项取倒数时，应要求αn≠0（n∈N^＊）。