直线分线段所成比的应用

在中学数学教学过程中,经常见到如下的练习题：设过两点Ｐ１（ｘ１,ｙ１）,Ｐ２（ｘ２,ｙ２）的直线与直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０相交于点Ｐ（不同于点Ｐ２）,则点Ｐ分Ｐ１Ｐ２所成的比λ为λ＝－Ａｘ１＋Ｂｙ１＋ＣＡｘ２＋Ｂｙ２＋Ｃ①（λ可称为直线ｌ分Ｐ１Ｐ２...     

一类平几问题的代数解法

平面几何中有一类解比例线段的问题，通常作法是作辅助线（如平行线）或利用三角形相似或利用与之相关的定理（如梅涅劳斯定理）来解决．这些方法对学生的识图能力、逻辑思维能力等有着较高的要求．本文试图利用一个公式，从代数的角度，用“计算”的方法简洁地解决这类问题． 定理 已知两定点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２），直线 ｌ：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ＝０（点 Ｐ２不在 ｌ上）交Ｐ１、Ｐ２ 所确定的直线于Ｐ点，则Ｐ分有向线段Ｐ１Ｐ２所成的比 该定理证明简单，可参见人教版《平面解析几何》教学参考书附录１． 下百仅以例…     

运用直线系过定点巧解几何问题

若直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０,ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０相交于点Ａ,则方程（Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１）＋λ（Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２）＝０（λ为任意实数）是通过ｌ１和ｌ２的交点的直线系方程（除去ｌ２本身）．在解析几何问题中,有一类问题,如果用直线系过定点来解,则可使问题轻松地得以解决．例１　求证：无论ａ为何值,直线（ａ－２）ｙ＝（３ａ－１）ｘ－１都过第一象限．分析　此题从表面看,觉得很难下手,但若将ａ看作参数,则该直线即为直线系,若该直线系过的定点就在第一象限,那么问题就迎刃而解了．证明　将…     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

谈直线的“侧”及其应用——中学数学笔谈之十二

平面中一条直线把整个平面分成两个半平面,我们称它们为直线的两个“侧”．取定一直角坐标系．设直线ｌ的方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０①（Ａ,Ｂ不同时为零）．当一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）不在ｌ上时,把它代入①的左端必不为零．容易证明,在ｌ同（异）侧的点的坐标代入①左端...     

圆的切线方程

圆的切线方程４３２１００湖北孝感楚环中学徐圣明《平面解析几何》中有结论：经过圆ｘ２＋ｙ２＝２’上一点Ｍ（ｘ０，ｙ０）的切线方程是ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．由此命题，我们联想到它的两个道命题：Ⅰ若点Ｐ（ｘ１，ｙ１）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上，则直线ｘ１ｘ＋ｙ１...     

点 直线 平面之间的对称性的解析表达式

点直线平面之间的对称性的解析表达式艾则孜·卡得尔（新疆和田高等师专数学系８４８０００）命题１Ｐ１（ｘ１，ｙ１，ｚ１）关于Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）点的对称点的坐标为：命题２平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０外一点Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）关于该平面的对称点的坐...     

应用直线参数方程探求动点的轨迹方程

应用直线参数方程探求动点的轨迹方程史树德（北京师大燕化附中１０２５００）《平面解析几何》（必修）１１４页给出：过点Ｍ０（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓα，ｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎα｛．其显著特征是参数ｔ＝Ｍ０Ｍ，Ｍ（ｘ，ｙ）...     

证明(两)曲线对称的一种方法

要证明曲线ｃ：ｆ（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ′就是ｃ;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ′的方程就是ｃ的方程,即只需证明ｃ′的方程就是ｆ（ｘ,ｙ）＝０．要证明两曲线ｃ１：ｆ１（ｘ,ｙ）＝０与ｃ２：ｆ２（ｘ,ｙ）＝０关于点Ｐ（或直线ｌ）对称,只需证明曲线ｃ１关于点Ｐ（或直线ｌ）的对称曲线ｃ１′就是ｃ２;由曲线和方程的关系,只需证明ｃ１′的方程就是ｃ２的方程,即只需证明ｃ１′的方程就是ｆ２（ｘ,ｙ）＝０．我们把上面证明（两）曲线对称的方法叫同一法…     

利用点与曲线的位置关系解题

利用点与曲线的位置关系解题８３１５００新疆阜康市一中张志略对于点和曲线的位置关系，我们有命题１设直线１的方程ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ｂ＞０），若点Ｍ（ｘ１，ｙ１）在直线ｌ的上（下）方，则有ｆ（ｘ１，ｙ１）＞（＜）０；若两点Ｍ（ｘ１，ｙ１），...     

直线方程x_0x y_0y=r~2的几何意义

我们知道：若已知圆的方程是ｘ２＋ｙ２＝ｒ２,则经过圆上一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）的切线方程为：ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２（高中平面解析几何课本Ｐ６４例３）．由此,不难得出下面命题１亦成立．命题１若点Ｍ（ｘ０,ｙ０）在圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上,则直线方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ...     

对一道高考题的探究

对一道高考题的探究李兴无（广东深圳宝安西乡中学５１８１０２）１９９５年高考数学试题理科最后一道题为：已知椭圆ｘ２２４＋ｙ２１６＝１，直线ｌ：ｘ１２＋ｙ８＝１，Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足：｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当...     

有心圆锥曲线的一类轨迹问题

有心圆锥曲线的一类轨迹问题刘康宁（西安市西光中学）请看下面几个问题：问题１　已知直线ｙ＝ｘ＋ｍ和椭圆ｘ２＋２ｙ２＋４ｙ－１＝０交于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是这条直线上的点，且｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜２，求当ｍ变化时点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（《数学通讯》...     

坐标方法的应用

坐标方法的应用晨旭４．求曲线方程问题例７自点Ａ（－３，３）发出的光线ｌ射到ｘ轴上，被ｘ轴反射，其反射光线所在直线与圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ＋７＝０相切，求光线ｌ所在直线方程．分析：本题目标明确，ｌ所在直线上一个定点Ａ是已知的，所以只要求出此直线的斜率...     

运用直线重合的条件解题

运用直线重合的条件解题２２４３００江苏射阳中学钱军先，邓超众所周知，直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０与直线ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０（其中Ａ１、Ｂ１、Ｃ１、Ａ２、Ｂ２、Ｃ２均不为零）重合的充要条件是．运用这一条件求解某些数学问题，可以收到出奇制...     

谈直线参数方程点斜式的教学

过定点Ｍ０（ｘ０,ｙ０）,倾斜角为α的直线ｌ的参数方程ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎα｛（ｔ＝Ｍ０Ｍ为参数）○＊（本文称○＊为点斜式）是解析几何中的重点内容之一．教材（必修）Ｐ１１４例２给出了它的推导过程,且在Ｐ１２１第６题中初步体现了它的应...     

何以点可以视为圆?

何以点可以视为圆？周传忠（华南师范大学５１０６３１）我们知道，若曲线ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝０和ｋ：ｇ（ｘ，ｙ）＝０相交，则方程ｆ（ｘ，ｙ）＋λｇ（ｘ，ｙ）＝０表示通过这些交点的一个曲线系．利用这一结论来解一些问题常是很方便的．文［１］、［２］更提出，可以...     

点到直线距离的一种新求法

已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则　 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -…     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

ON THE NON-EXISTENCE OF LIMIT CYCLES OF CERTAIN QUADRATIC SYSTEMS

§１．Ｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｘ＝－ｙ＋δｘ＋ｌｘ２＋ｎｙ２＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｙ＝ｘ（１＋ａｘ－ｙ）＝Ｑ（ｘ，ｙ），｛（１．１）ｗｅｃａｎｆｉｎｄｉｎ［１］ｔｈｅｆｏｌｏｗｉｎｇ：ＣｏｎｊｅｃｔｕｒｅＩ．Ａｓｓｕｍｅ１ａ＜０，ｎ＞１，ｎ＋ｌ＞０，ｎａ２...