三角问题的解析法

我们知道,如果单位圆x^2＋y^2=1与任意角α终边交于点P（x,y）,则有正弦、余弦的定义sinα=y,cosα=x,这样我们遇到三角问题时,可考虑用这个定义把三角问题转化为单位圆上点P（x,y）的坐标问题,用解析几何知识给予解答,请看以下三例．     

应用题新编选登

题 92 　 (扇形材料的下料问题 )要想在一块圆心角为α (0 <α <π) ,半径为R的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形 ,应该怎样截取 ?求出这个矩形的面积 .解　 1)当 0 <α≤ π2 时 ,有两种截取的情形 :情形 1:如图 1,矩形的一条边落在半径上 ,设AB =x ,AD =y ,Rt△AOD中 ,OD =ysinα,△ODC中 ,∠ODC =π -α ,由余弦定理得R2 =x2 + y2sin2 α- 2·x· ysinαcos(π -α)≥2xysinα+2xycosαsinα ,∴xy≤ R2 sinα2 (1+cosα) =12 R2 tan α2 .当且仅当x =ysinα时等号成立 ,结合xy =12 R2 tan α2 ,易求 y =Rsin α2 ,OD =R2cos …     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

二倍角正弦公式的一个应用

由二倍角正弦公式sin2a=2sinacosa可得cosa=sin2a/2sina 此式的意义在于:任何一个(终边不在横轴上的)角的余弦都可以表示成这个角的二倍的正弦与这个角的正弦的二倍之比。还能得到:cos2a=sin4a/2sin2a,cos4a=     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

利用单位圆解三角函数问题

有些三角函数问题 ,若借助单位圆求解 ,往往使问题得到巧妙解决 .下面举例说明 .1　比较大小例 1　设θ为第二象限角 ,则必有(　　 )(A)tan θ2 >cotθ2 .(B)tan θ2 cos θ2 .(D)sin θ2 cot θ2 ,故选 (A) .图 1　例 1图2　求值例 2　设θ ,β∈ [0 ,2π) ,若sinθ +sinβ =14 ,c…     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x2＋y2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,C（cosγ,sinγ）．若k为整数则有如下结论：     

一道希望杯赛题的背景及应用

第7届希望杯高二赛题:①求证:函数f(θ)=sinθθ(θ<θ≤π2)是减函数;②求证:当0<θ<π4时,sinθ>2 2πθ;③求证:当0<θ<π4时,sinθ<2θπ.(提示:证明②③可使用①的结论)这是一道源于课本而又高于课本的能力型试题,而且具有较为丰富的数学史背景,充分体现了“希望杯”竞赛以能力立意的原则,试作如下解析.1源头这道赛题源于课本题:(04年人教社A版必修4P25B组第4题)设α∈(0,π4),角α的终边与单位圆的交点P(x,y),试利用单位圆比较正弦线、余弦线、正切线的数量的大小关系以及长度的大小关系.当α∈(0,2π)时你能利用单位圆中的函数线,…     

任意角的三角函数

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点：任意角的概念，象限角的概念；弧度的意义，弧度与角度的换算；任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；公式sin^2α＋cos^2α=1及sinα/cosα=tanα的推导、变形及应用，五组诱导公式及其综合运用．     

三角函数与反三角函数

1 已知12sinα=5cosα,求α角的六个三角函数值。 2 α是锐角,在单位圆中,用三角函数线证明:(1)sinα cosα>1;(2)tgα ctgα≥2;(3)sinα<α0的解集。 5 求使等式(ctg~(2α)-cos~(2α)~(1/2)=sina-cscα成立的α的范围。 6 已知函数f(x)=3sin(kπ/7 π/4),其中k≠0,如果要使x经历任意两个整数之间时,函数都至少有一个最大值和最小值,求最小的正整数k之值。     

妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

两角和正切公式与韦达定理

在两角和正切公式中有tanα+tanβ与tanαtanβ,而韦达定理中有两根和x1+x2与两根积x1x2.由此可知两角和正切公式与韦达定理有内在联系,二者的结合点是tanα、tanβ是某一元二次方程的两根,在解题中,若能够注意到这点,能迅速找到切入点,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1已知方程x2+6x+7=0的两根为tanα、tanβ.,求证:sin(α+β)=cos(α+β).分析要证sin(α+β)=cos(α+β),可     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

用余弦定理证公式C_(α+β)

高中《代数》第一册通过作辅助角-β,然后根据两个三角形全等和两点间距离公式证明了公式Cα+β,方法较繁,现给一种简捷法。证明建系如图5,作单位圆O,α、β角的始边为ox,交圆O于P,终边分别交圆O于P_1和P_2,其坐标是:P_1(cosα,sinα)P_2(cosβ,sinβ)。由余弦定理得     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

三角函数与三角恒等变换

1.本单元知识点三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型.本单元的学习重点包括:三角函数的概念,三角函数的图象与性质,同角三角函数基本关系,三角函数诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数模型的应用.本单元的学习难点包括:三角恒等变换.2.典型例题选讲例1已知tanα=13,求值:     

向量的教学体会

一、利用向量可简化某些定理、公式的推导例1求证:cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ证:在单位圆中作向量OA,OB,与x轴正向的夹角分别是α、β,则点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则OA·OB=cosα·cosβ sinα·sinβOA·OB=|OA|·|OB|·cos(α-β)=cos(α-β)故等式成立.又如正弦定理、余弦定理、点到平面的距离公式用向量法证明,其证明过程也大大简化.二、向量使立体几何摆脱了纯逻辑推理,大大降低了求解难度用空间向量的知识和方法,使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题,用具体计算代替空间想象,可操作…     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …