塞瓦定理的三维推广

定理l召、尸、G、H、形、N分别为四面体ABcD的棱cD、DB、BC、A刀、AB、月c上的点,若六个平面ABE、月口尸、ADG、召‘万、cDM、DBN共点,则望.禁.嘿·丝一1(l)乃闷召刀刀月万刀口口 证设六个平面交点为0,月口、仪)、‘勺、伪分别交对面于M,、MZ、对3、对;(图1)平面ABE、月口尸、A     

数学奥林匹克问题选登

1992年3月号问翅解答 (解答由供坦人给出) 19.设H是平面上△月刀‘区域的任一点,月万、刀万、‘万的延长线交△ABc三边于D、E、F,求证:在△月刀‘区域,存在一个以△刀召尸的某两边为邻边的平行四边形. 证如图,G是△月刀‘的重心,D‘、E‘、F‘分别为肥、“、AB边上中点,则△A肥区域被 一48一划分为六个区域:△AF‘G,△BF‘G,△胳G,才△C刀’G,△口召‘G,△AE‘G,不妨设H点落在△cR,G区域,如~口一口刀一_口召,图易知:筋镇’,兹镇l,篇、,,由塞瓦定李理,得豁·器·釜一1=>器一器·纂、1,器一豁·器、影冷艺BFD)艺FDE,乙”D“)匕…     

tgA tgB tgC=tgAtgBtgC新证

对公式ts月 tg召 tgc=ts凡ts召tg〔,(其中A、B、C为△儿义泊勺内角),下面给出一种连初中学生也能接受的证法.A脚rllll化18︼卜‘ 产/了/2、\Ic为习A J川.月,口U G己I 证明如图,口为圆心,AA,、朋‘、“‘为其直径.数字l~12表示相应的小三角形的面积,由等积定理,显然有: S:十52=5     

一类椭圆型Euler方程非平凡解的存在性

设G是。维欧氏空间E”中的有界区域,沙G记G的边界.设p>l,冲二(G)是通常的Co、o月eB空IbJ,附石(G)中的函数在eo、o二eB意义下满足边界条件 “l沙。二0.在命石(G)中的范数取为 1 1 u 11,;‘。。一(f‘}?ul·、x)令.设F(x,u,g)是在GxE’xE”上定义的函数,满足Carath己odory条件,即u,g固定时,F是x的可测函数,x固定时,F是“,g的连续函数。设 I(u)二了‘F(x,u(x),口u(x))dx(l)对“〔沁打伪有定义,又设u,g)=“,户“_丁丁丁F(x,“,户和口亏“沙F(x,u,g) XX 了、、‘ 口口FF!、......气满足Carath6odory条件.如所周知, 口u泛函I(u)的极小…     

数学年刊 第14卷 B辑 第1期(1993年) 目录和提要

完备形emann流形上调和色数的Ha。“k不等式’‘- 李嘉禹-一_‘;、、- 木文首先证明了,在具有非负Roo。曲率完备Riemann流形二乙咸立痴o1e,型不等式 l孙卜>氏。}咧、(“》l),。eH狄均一、‘的充要条件为v,(约一vol(凡(r))>o武且。一,华,.其次,设二与丽为一致等价基附完备尸~目~~’‘/J.、/一、’、了了一‘z一九一匕’‘’2一2了一,一.~“诀“李丫~广一’一“~Rieman。流形,在厕上有V。(r)>口初产,则在河上成立J比,Nirenbe劝g不等式.最后,等午SobeJ仰不等式和Jolin书ir二berg不等式,并利用M,er方法,得到了皿上调和函数的na细改。k不等…     

从圆幂定理到圆锥曲线幂定理

设圆的方程为G(二,y),x“十y“一左2=0,尸(二。,夕。)为平面」详毛意一点,我们称 乙(·。,夕。)一:;*一夕}一RZ为点尸(x。,少。)对于圆口(x,y)=0的幂. 当点尸(x。,y。)在圆G的外部时、幕G(x。,y。)‘x0“ 夕。“一R“的几何意义是:从点尸(x。,y。)向圆‘(x.夕)=xZ十y“一R“=0所引切线尸T长的平方,即G(x。,y。)=O尸2一RZ=尸TZ(图下左). 将上述切线尸7’改为害吐线尸T;7’:(图_上丫:),山切割线定理可知,幂G(二。,.v。)的几何意义是有向线段尸T,,尸了2的乘积,即抓G(x。,y。)=尸T,·尸TZ(I) 当点尸(x。,y。)在圆〔汉x.y)~o的上面或在…     

Gronwall型积分不等式的推广

虽1.引言 I.Bihari[‘]推广了T.H.Cronwal工「“J的结果,建立了如下不等式: 设。(t)及拭t)是团,T习土的非负连列、函数,口(力(:李0)是单调非减连续函数,且g(s)>0(当:>O时),K为非负常数,必i果·(‘)、K {:·(·)。(·‘·))、·丫,。〔。,::(1 .1)那么:·(‘)、G一(G(尤) !;·‘·)d·)v,。〔。,犷1:(1 .2)其中T:任(o,犷〕,而G(:)由G(‘)=dt.‘g(t)O相似文献   

多面体和旋转体

一、选择题(l)正方体的对角线长为l,则它的全面积是( (2)设材二苦正四棱柱飞万二子长方休飞尹~f直四棱柱},Q二子正方体冬,则它们之问的关系是().(a)行才2(月)(D)22,(a) 召C)Q 0 PoN。材Q二N。奋。尸Q c M c Nc尸’广行 、尸、.户人C 沙‘才..,一34一)(丑为地球l一4’ 口)Qc=万二材CP (3)过单位正方体Ac’的顶点月、尸、D作平面区,设对角线A产C与平面.相交于材,则A,C与平面“的夹角是()则卫星离地面的高度应是半径) (A)盖,(B)及(C);,归)ZR(A)45。(C)90。(B)60“(D)120.2产5扩 (4)若斜平行六面体AaCD一E尸G万的底面AaCD是菱形…     

用解几方法解某些立几题

本文试图通过几个例子介绍一下用平面解析几何方法处理某些立体几何问题。 例1在直角坐标系内有互不重合的四点A、B、C、D,其坐标分别为(x:,g,)、(勺,烧)、 (心,骊)、(x’,如).,且A、e和B、D在x轴的两旁,将这平面沿x轴折成二面角后,求过A、B的直线与过C、D的直线共面的条件。 解:设这四点的位置如图一,若它们共面,则有:l)直线AC与BD都交x轴于同一点尸,设坐标 为(a,o).于是有::月材上!尸N!2 因此,的椭圆;了. 例3材N,…}了协f 12+}MN!“=了,即尸·sin26+了=矛. 当。<6<合时,所求轨迹为上式所表示当。=令时,所求轨迹为一个圆尸+犷=,已…     

珠连璧合 相得益彰

立体几何总复习题中,有一道大家熟知的习题:如图1,A刀和平面口所成角为口:,AC在平面a内,通C和AB的射影AB产成角0:,设艺BAC=0,则eos。== cos。:·。0502①夕对角线AC将△ABC折起,使刀点在平面通DC上的射影恰好落在通刀上,的大小。 解:如图2,刀在平面刁刀C上的射影为凡则E在AD上.设匕BAE二a,二面角刀一通C一力的平面角为甲。由己知求二面角B一月C,一刀 若过少作户D土AC,D为垂足,连BD。由三垂线定理可知BD/工AC,则乙刀DB‘为二已面角B一姓C一刀产的平面角.设乙BDB’为,,易证得: 5 1 ns一=5 in口.sin中-易得4亏’5 in/BAC=s…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

关于三次插值样条的逼近阶

计算数学1983年 设f(二)〔C,。,,:且f(0)~f(l),对[0,l]的分划△,,我们用穿△,(f::)表示f(二)关于分划△,的三次周期样条插值,当△。是,等分分划时,简记为g。(f;二).用了(幻表示广(幻的周期延拓,并令 c志已〕一{f(x)}了(、)〔c乳。, 。)} ~{f(二){f(x)〔C品,1:且f(o)~f(l),f’(o)~f’(l),…,fp(o)~f‘p’(l)},L‘p’‘一{‘(‘)}二;淤l〕}‘(‘ ‘) ‘(一‘)一2‘(·,}一o(“)},Lip,‘l一{f(‘)l、撇I尹(‘ h) 7(x一h)一2了(‘)卜o(“)}·关于穿△,(f;x)对f(幻的逼近阶与f(幻光滑性之间的关系,我们有如下的定理. 定理1.设f(:)〔c鹿.1〕,q>o…     

一九九一年中国数学奥林匹克试题解答

一、平面上有一个凸四边形月刀口刀, (1)如果平面上存在一点p.使得△月刀尸,△仪华,△cDP和△DAP面积都相等,问四边形A脚要满足什么条件? (2)满足(l)的点尸,平面上最多有几个? 证明你的结论. 解(l)(i)当p在月优’D内部时,如图一,由几捆,”S△‘,知,成和c点到直线I]P的距离相等,     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

不共线三点所确定的圆的方程

P.设不共线三点尸:(x:,夕:)、p:(x:,夕:)、(x:,夕。)所砍定的圆的一般方程为xZ+万:+Dx+E召+F二o(l)奋把三点坐标代入方程(I),并略加整理而成D、E、F的方程组(xl·夕+夕,·E+F=一(川十川),lx,’甘+夕:·E+F二一(x要+杏二),一x3.口卜万3·E+F=一(x孟十夕孟).由三点不共线跳充要条件可知 ‘“U 笋心.二口.几姗.工丫1夕-劣:玄:工3刀s应用克莱姆法则可得..r‘...,月.‘..lr!!1 1 .1 1 1 1 2 21豹脚如豹如如豹如如xl九xs朴介介幻朴勺川川川嘴几,二..人,二,几,二 .二,﹄3 y夕g山口‘人22,自,曰 y夕yJ++,舀,︸门山,.,.侣」X XXD*一内占1曰…     

平面上三点共线的充要条件的应用

O一b从0翔介loN刃 我们知道平面上兰点(x,,玩),共线的充要条件是…、一溉x‘、一卜谈令;扒加脚xl幻介 下面谈一下这个充要条件在解决解析几何问题中的一些应用。 证明定值问题 例1作定抛物线犷二ZP(矛一a),其中。>O,如果过坐标原点的某直线与这抛物线交于两点则这两点的横坐标的和与积之比为常数. 证明:如图,直线l与矿二2P(x一a)交于M,·!。天卜lxNI·1点(翔,幼,)在椭圆上,厂.、2一兰乎过N两点,且坐标分别为M(rl,了知(,,一。),N(勿,了2户(仰一。) ’.’0.M.N二点共线r曰尸~ 1 0 1 1.汤产.’.lx,V Zb(x,一“)11二O犷产r’、忿 展开行…     

第十四届全俄中学生数学奥林匹克第三阶段试题及解答(一九八八年一月举行)

J、 1.能不能把8个数1个正八边形的各顶点上,年级,2,…,8这样地排列在一使得对于任意位干三个连续硕点男盯各赞兰,:(a)大于,,,(b)大于,“ a气a、尸氏a尸、到 击日a甲1娜.(o)能.各数的排列门j翔卜{l所示.,(b)叔们柬证明.不能用所要求的方式来排厕各..数、暇设相反:存在数1,2,3,…,8这样的排列,介核得对于八边形任意三个连续顶点_l二的各数之和伏于 .,因而不小于14.以a:,a,,…,a:表示写在八边,’形顶点上的数(图2),’以S表示它们的和.根据假设,心下列各个不等式成立.口一+a:+a:方,少今水“‘ 口3十口一十a吕4,4,丈a‘十a。+q。。。+a。+a:>14…     

一道课本习题的巧用

初中几何课本第一册p227第1题:△A肥的中线AD、BE交点为G.求证: S△,。。“S四边形。脚‘(,)这道习题的结论简单易记,用它处理一些面积问题简洁、奇妙.飞证如图4,连D尸交AE于0,由(二S△月阅~S四边形口Bc,,S△加,一S△DoB,:S△,a,=名△a,。, S△,阅 S△,o,十S△,ar 一S四边形oBc     

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献   

切线·切点弦·调和垂线

咨签‘、.了、.尹下且n﹄了‘、了通、 对一于方程 翔x+加夕=产大家眼热它是过圆 广十犷=产上一点P(翔,细)的圆的切线方程。 若点尸不在圆仁,而在圆外呢?这时直线(I)写圆(扣的位置关系如何呢, ’课本《平面解析几协P126页第,24题回答了这个问题犷梦’、若点P在圆外,过P作圆的两条切线.方穆(I)表示过两切点的直线,简称(I)为点尸的圆的切点弦方程。 这里,切点弦(直线)可看作切线的发展切线看作切点弦(直线)的特例,一般与个别的关系得以统“’‘但这并不使得那些爱动脑筋的学生满愈,他们笋问:若点尸在圆内呢,还有切点弦吗? 为此,对点p的位觅…