四面体的两个体积公式

四面体的两个体积公式韩绍文席学勤（河南项城市高中４６６２００）本文给出四面体的两个体积公式．定理１如果一个四面体的两条相对棱的长分别是ａ，ｂ，它们的距离是ｄ，所成的角为θ，那么它的体积是Ｖ＝１６ａｂｄｓｉｎθ证明如图，四面体ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ａ，ＣＤ...     

四面体的一个体积公式及其两个推论

四面体——这种最简单的几何体,其体积的计算公式有各种不同的形式。通常的的几何教材中,采用V=1/3sh,即将四面体的体积等于底面积与高的积的三分之一。本文借助这个公式,导出四面体的另一个体积公式,并推出两个推论,以及它们的应用。一,四面体的体积公式     

关于四面体体积的两个新不等式

定理一若四面体的体积为V ,三组对棱的距离分别为R_1、R_2、R_3,各组对棱中点连线长分别为l_1、l_2、l_3,则有 k_1k_2k_3≤3V≤l_1l_2l_3 当且仅当四面体是正四面体时,等式成立。证明设四面体为DABC,如图,过A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,得新四面体DA′B′_(D′)C′,其体积V′=4V。先证 k_1k_2k_3≤3V 因为AB是△A′B′C′的中位线,所以AB∥平面DA′B′,AB到平面DA′,B′的距离就是AB与CD的距离k_1,故E到平面DA′B′的距离也为K_1,故C′到平面DA′B′~(C′)的距离为2k_1。     

四面体与其内接四面体体积间的一个不等关系

本文给出如下四面体与其内接四面体体积之间的一个不等关系．     

四面体中的两个不等式

本文将用初等方法研究四面体中的几个不等式。定理1 设P是四面体ABCD内任意一点,AP交平面BCD于A＇,BP交平面ACD于B＇,CP交平面ABD于C＇,DP交平面ABC于D＇。则 AP·BP·CP·DP/AA＇·BB＇·CC＇·DD＇≤(3/4)~4 (1)当且仅当P为四面体ABCD的重心时,等号成立。     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

与四面体体积相关的几个不等式

本文推出与四面体体积相关的几个新的不等式 .对于四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 ,采用约定记号 :体积Ｖ ,重心Ｇ ,Ａｉ 所对的面的面积为Ｓｉ,重心为Ｇｉ,Ａｉ与对面的距离为ｈｉ,棱ＡｉＡｊ 的中点为Ｂｉｊ,Ａ1Ａ2 ,Ａ1Ａ3 ,Ａ2 Ａ3 与对棱的距离为ｄ1,ｄ2 ,ｄ3 .相应对棱中点的连线段为ｍ1,ｍ2 ,ｍ3 . 为循环和 .记 1≤ｉ<ｊ≤ 4Ａ2 ｉｊ= Ａ2 ｉｊ(ｉ,ｊ =1,2 ,3,4 ) ,则可以得到 :定理　 1)ｍ1ｍ2 ｍ3 ≥ 3Ｖ .2 )ｍ21 ｍ22 ｍ23 ≥ 33 9Ｖ2 .3)ｄ1ｄ2 ｄ3 ≤ 3Ｖ .4 ) Ａ2 ｉｊ- 2 716 ＡｉＧ2 ｉ≥ 33 9Ｖ2 .5 ) ＡｉＧ2 ｉ≥1633 9Ｖ2 .…     

关于四面体的两个不等式

贵刊文 [1]将一个三角形不等式移植到四面体 ,得到如下结果 :图 1　定理 1图定理 1　设四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 的面Ａ2 Ａ3Ａ4 ,Ａ3Ａ4 Ａ1,Ａ4 Ａ1Ａ2 ,Ａ1Ａ2 Ａ3的面积与外接球半径和体积分别为△1,△2 ,△3,△4 ,Ｒ ,Ｖ .Ｐ是四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 内的任意一点 ,ＡｉＰ与Ａｉ 所对的侧面交于点Ａ′ｉ,ｉ=1,2 ,3,4 .则Ａ1Ａ′1·Ａ2 Ａ′2 ·Ａ3Ａ′3·Ａ4 Ａ′4 △′1·ＰＡ′1 △2 ·ＰＡ′2 △3·ＰＡ′3 △4 ·ＰＡ′4≥2 4 3Ｖ316Ｒ8( 1)等号当且仅当Ｐ为正四面体的中心时成立 .受文 [1]启发 ,笔者通过探究 ,得到两个与 ( 1)式类似的…     

关于四面体的两个不等式

本文将给出关于四面体的两个不等式与其证明。定理一若α_i(i=1,2,……,6)、R、r与α_t′(i=1,2,……6)、R′、r′分别表示四面体ABCD与四面体A′B′C′D′的6条棱长和外接球半径、内切球半径,则成立不等式: 144rr′≤sun from i=1 to 6 α_(?)α_(?)′≤16RR′其中左边等号成立的充分必要条件为:两个四面体均为正四面体;右边等号成立的充分必要条件为:两个四面体对应棱长成比例且每一四面体的三对对棱相等。定理二若m_i、h_i(i=1,2,……,6)、R、r与m_i′、h_i′(i=1,2,……,6),R′、r′分别表示四面体ABCD和四面体A′B′C′D′的四条中线、四条高和外接球半径、内切球半径,则成立不等式:     

关联四面体四个量的一个体积公式

笔者最近得到一个关键四面体四个量的一个体积公式: 定理 设四机体任意两面的面积为S_1、S_2,两面所成的二面角的平面角为θ(0<θ≤π/2),两面所夹的棱长为d,则四面体的体积为:V=2/3dS_1S_2sinθ。 证明 在四面体ABCD中,设面ABD和面     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

四面体体积的一个不等式

四面体体积的一个不等式孔令恩（山东枣庄三十中２７７１００）《数学通报》１９８４，１２载文（见［１］），提到杨路先生早些时候研究的不等式“，其中Ｐ为四面体的六棱之积，Ｒ为外接球半径，Ｖ是体积，”本文将给出此不等式的一个下限．定理设四面体的体积为Ｖ，外接...     

界点四面体的体积

文[1]给出了四面体的界点、界心的定义及其坐标公式,本文给出界点四面体的定义和体积的有关结果.     

四面体的一个体积定理的证明和应用

四面体的一个体积定理的证明和应用徐连清（内蒙赤峰巴林右旗大板三中０２５１５０）从所周知，平面几何中最简单的几何图形三角形有面积定理：“三角形的面积等于它任意两边和夹角正弦乘积的一半”，那么立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积定理呢？下面就...     

四面体的又一个体积公式

文[1]给出了四面体的一个体积公式,本文给出四面体的又一个体积公式．供大家参考．     

四面体表面积与体积的平分

引题如图1,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球的球心O,且与BC,DC分别截于E,F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,试比较四棱锥A- BEFD与三棱锥A-EFC的表面积的大小．     

四面体体积比的一个定理

我们知道,若一个四面体被一个平面所截,如果截口是一个三角形,则只要知道了截面分四面体三条棱之比,就可较容易地求出截面分四面体两部分体积之比。但如果截面是四边形,那么情况就要复杂得多。本文介绍四面体体积比的一个定理,从中可以看到用分割法解立几题的作用。 定理 设A—BCD是体积等于V的四面体,它被平面a所截,ABCDA是由四条棱AB、BC、CD、DA首尾顺次相连的空间封闭折线,a与AB、BC、CD、DA的交点依次为P_1,P_2,P_2,P_4     

四面体内心和旁心的另外两个性质

文[1][3]对三角形内心，旁心的性质进行了研究，文[4]给出了四面体内心与旁心的一个有趣性质，笔者深受启发，探究出空间四面体内心和旁心的另外两个性质，为行文方便，我们把文[4]的两个结论作为本文的两个引理．