Non-linear stability of doubly curved thin shallow shells on rectangular plan with small geometrical imperfections

Summary This paper deals with some theoretical developments of the problem of stability of doubly curved thin shallow shells on a rectangular plan. After some critical references to results obtained in earlier studies using the linear theory of stability, the problem of elastic equilibrium in the nonlinear range is approached and solved for some types of shells using piecewise linearisation. Load-displacement curves up to post-buckling are obtained. Deflections not conforming to structural symmetry are also considered. The influence of small geometric imperfections deviates the load-displacement curve to other equilibrium positions and hence a shell with imperfections attains its snapping point at a lower load than one without. A comparison with some experimental studies by other authors is given in the appendix.

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Sommario Lo studio tratta di alcuni sviluppi teorici sul problema della stabilità dell'equilibrio delle volte sottili ribassate a doppia curvatura su pianta rettangolare. Nella prima parte vengono esposte alcune considerazioni critiche circa i risultati ottenuti in parte dall'Autore in lavori precedenti con la teoria lineare della stabilità. Il problema dell'equilibrio elastico viene poi affrontato in campo non-lineare e risolto per alcuni tipi di volte mediante una linearizzazione a tratti; le curve carico-spostamento vengono ricavate fino al comportamento post-critico. Vengono altresì ricavate curve carico-spostamento corrispondenti a deformate che non conservano la simmetria di struttura e di carico.La presenza di piccole imperfezioni devia la curva caricospostamento verso altre posizioni di equilibrio e la curva relativa raggiunge il punto di instabilità progressiva per valori del carico notevolmente inferiori di quelli relativi alla stessa volta senza imperfezioni. Infine si riporta in appendice un confronto con risultati sperimentali di altri Autori.

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Study supported by the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

Rigid-plastic structures subject to dynamic loads

Summary The one-degree-of-freedom response of rigid-plastic structures is investigated for a variety of single-parameter dynamic loading-functions. Specific results, valid for any structure under the set assumptions, are obtained for single-pulse and periodic loading. The possibility of linear strain-hardening or reduction of strength with deformation is introduced. In the concluding section, the results are reviewed, and possible future researches are indicated.

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Sommario Si sviluppa uno studio teorico del comportamento di strutture rigido-plastiche sottoposte a vari tipi di carichi dinamici; sia la deformazione che il carico si suppongono dipendenti da un singolo parametro, funzione del tempo. Si approfondisce lo studio dei carichi impulsivi e periodici, per cui si forniscono risultati più dettagliati (p. es. riguardo alla più pericolosa forma dell'impulso, ed allastabilizzazione delle oscillazioni sotto carichi periodici), validi per qualsiasi struttura che rispetti le ipotesi. Si introduce quindi la possibilità di variazione (in aumento o in diminuzione) della resistenza con la deformazione, e si studia in particolare la possibilità di completocollasso. Infine, nel paragrafo conclusivo si riassumono e discutono i risultati ottenuti, e si indicano alcuni possibili sviluppi di questa ricerca.

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(on leave at the Division of Engineering, Brown University, Providence, R. I., 1968/69).     

Weathering of rock,corrosion of stone and rusting of iron

The central purpose of this paper is to present a survey of the extrinsic and intrinsic factors which influence the durability of masonry. In approaching this subject other themes are developed; in particular a study is made of the damage due to the volume changes which accompany all biological, physical and chemical changes. Light can be thrown on the corrosion of stone from a knowledge of the weathering of rocks throughout geological time, and this aspect is explored in the opening section of the paper. The final part of the paper consists of a study of the stresses and cracking of stone which can result from the expansive rusting of iron or steel reinforcements. Although mechanical damage dominates the discussion, some comments are made on the staining and dissolution of stone and examples are illustrated.

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Sommario Scopo del presente articolo e'presentare una rassegna dei fattori intrinseci ed estrinseci che influenzano la durabilita' della muratura. All'interno di tale rassegna si sviluppano altri temi, ed in particolare uno studio sui danni provocati dai cambiamenti di volume che accompagnano le modificatzioni biologiche, fisiche, chimiche. Nella prima parte dell'articolo ci si sofferma sulle modificazioni degli ammassi rocciosi durante le ere geologiche, e sul nesso tra i dati desunti da tale analisi e il problema della corroasione della pietra. La parte finale dell'articolo e'invece dedicata ad uno studio degli stati tensionali e fessurativi risultanti dall'espansione legata alla corrosione di elementi metallici di rinforzo posti all'interno della muratura. Benche' il danno strutturale sia l'argomento centrale della discussione, vengono anche presi in considerazione i problemi conness alla dissoluzione e alla comparsa di macchie, e si illustrano alcuni.

     

On wave propagation in thermoelastic solids whose polarization quadric is an ellipsoid of revolution

Summary The propagation of plane waves of first and second order is considered for a thermoelastic solid characterized by Tolotti's isothermal potential. The variation of their amplitude in the time is also studied. In particular, thermodynamic influences on the behavior of the first order waves as well as the case when these plane waves are material surfaces are examined.

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Sommario Si studia la propagazione di un'onda piana sia del primo che del secondo ordine in solidi termoelastici comprimibili assumendo il potenziale isotermo proposto da C. Tolotti. Si determina inoltre la variazione nel tempo dell'ampiezza delle onde. In particolare per l'onda del primo ordine si esaminano le influenze termodinamiche sul fenomeno e si considera la possibilità che la superficie di discontinuità sia materiale.

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Work performed under the auspices of: Gruppo Nazionale perla Fisica Matematica del CNR presso l'Istituto di Matematiche Applicate U. Dini della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.     

Extension to continua of some minimum theorems in elastoplastic theory

Summary A study of the response of a continuum to given loads is carried out assuming a piecewise linear yield locus, normality, non-interacting yield planes and linear strain bardening. Minimum properties are determined for the plastic strain rates in the incremental case and for plastic strains satisfying holonomic and non-holonomic stress-strain laws, thus extending to continua the minimum properties determined elsewhere for discrete structural linear hardening systems.

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Sommario Si studia la risposta di un generico continuo soggetto ad assegnati carichi quando per il materiale sì assumano le ipotesi di assenza di interazione e di normalità. Introdotto un funzionale delle deformazioni plastiche incrementali e delle deformazioni plastiche soddisfacenti leggi di scorrimento olonomo ed anolonomo, si determinano delle proprietà di minimo che estendono al continuo alcuni teoremi di minimo per sistemi strutturali discreti.

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Study supported by the C.N.R. (Plasticity Group).     

On a magneto-elastic system with discontinuous coefficients and the propagation of a weak discontinuity

Summary In this paper we deduce the magneto-elastic system of equations in the three-dimensional case. As an application we study the propagation of a weak discontinuity when a strong discontinuity also occurs.

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Sommario In questa Nota si deduce un sistema di equazioni per la Magneto-elasticità con deformazioni finite nel caso tridimensionale. Come Applicazione si studia la propagazione di una discontinuità debole nella ipotesi che i coefficienti delle equazioni risultano essi stessi discontinui. Tale ipotesi risulta verificata, ad es., quando si considerano due differenti mezzi magneto-elastici uno in contatto con l'altro.

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Work supported by the CNR through the Gruppo Nazionale per la Fisica-Matematica.     

Bifurcation problems in fluid-mechanics

Summary A general perturbation technique for dealing with nonlinear problems in the neighborhood of branching points is presented. The general method is then applied to the treatment of several problems in fluid mechanics, i. e. shock waves in an inviscid and a viscous gas, shock structure in kinetic theory, shock waves in mixtures and ionized gases, onset of instabilities in a fluid.

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Sommario Si espone un metodo perturbativo di carattere generale che permette di trattare problemi nonlineari nell'intorno dei punti di biforcazione. Si applica poi il metodo generale alla trattazione di diversi problemi di meccanica dei fluidi e precisamente alle onde d'urto in gas ideali e viscosi, alla struttura delle onde d'urto secondo la teoria cinetica dei gas, alle onde d'urto in gas ionizzati e miscele e all'insorgere di instabilità in un fluido.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. Group for mathematical research.     

Couette-Poiseuille flows and their stability in anisotropic M.H.D.

Summary We determine the M.H.D. laminar steady flows in a plane layer with rigid and conducting walls, taking into account the Hall and ion-slip currents. We study the non linear stability in the means of these motions in the class of laminar perturbations.

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Sommario Si determinano i moti magnetoidrodinamici stazionari in uno strato piano con pareti rigide conduttrici, in presenza delle correnti di Hall e di ion-slip, e si studia la stabilità non lineare in media di questi moti nella classe delle perturbazioni laminari.

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Work performed under the auspices of G.N.F.A.-C.N.R., Italy.     

A comparison between the craig-cox and the kacker-okapuu methods of turbine performance prediction

Summary Two complete comprehensive loss correlations for estimating the efficienty of axial-flow turbines are examinated in this paper: the well-known Craig-Cox method, and the recent development of the Ainley-Mathieson method, presented by Kacker and Okapuu, which reproposes the validity of this approach.Firstly, a comparison is done by evaluating the losses in a number representative cascades, having various solidities, aspect ratios, Reynolds and Mach numbers. It is shown that the two methods are in good agreement for subsonic cascades having high flow coefficients, while significant differences are found in high deflection blades, especially for the secondary losses.In the second part, it is investigated how the choice of correlation affects the project of a turbine stage. A design procedure, automatically carried out by a computer program, was applied to a number of cases: the differences between the two solutions of the same project problem obtained by using the two correlations are discusses. Parameters like specific speed, expansion ratio and size parameter are used to generalize the results.

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Sommario In questo articolo vengono considerati due metodi per la valutazione completa delle perdite fluidodinamiche in turbine assiali: il primo, ben noto, è quello proposto da Craig e Cox, mentre il secondo rappresenta il recente sviluppo del metodo di Ainley e Mathieson, operato da Kacker e Okapuu a conferma della validità dell'approccio originale.Un primo confronto è stato effettuato valutando le perdite in alcune schiere tipiche, con diversi numeri di Reynolds e di Mach. Viene mostrato che i due metodi sono in buon accordo per schiere subsoniche aventi elevati coefficienti di flusso, mentre si rilevano differenze significative in pale ad alta deflessione, specialmente per ciò che riguarda le perdite secondarie.Nella seconda parte si è voluto indagare come la scelta di una o dell'altra correlazione di perdite possa influenzare il progetto di stadi di turbine. Un certo numero di stadi tipici è stato ottimizzato mediante un codice automatico: vengono discusse le differenze tra le due soluzioni dello stesso problema progettuale risultate dall'uso di ambedue le correlazioni. I risultati sono presentati in funzione di parametri quali il numero di giri caratteristico, il rapporto di espansione e il coefficiente di «taglia», nell'intento di generalizzare i risultati.

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On the energy method in the non-linear theory of thin plates

Summary The equilibrium configuration of a thin plate under normal pressure is studied. A variational non-linear treatment of the problem is considered, taking into account the bending stresses and allowing large deflections.Existence, uniqueness, and regularity of solutions are obtained.

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Sommario Si studia il problema non lineare della configurazione di equilibrio di una piastra sottile caricata normalmente nel suo piano medio, tenendo conto delle tensioni di natura flessionale e in un regime di spostamenti moderatamente grandi.Con una tecnica variazionale si studiano l'esistenza, l'unicità, e la regolarità delle soluzioni del problema.

     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Penetration of a solvent into a non-homogeneous polymer

Summary We consider a free boundary problem arising from a model for sorption of solvents by glassy polymers. We assume that the problem has planar symmetry, but it is non-homogeneous in the direction of the advancing front. We give an extensive mathematical analysis of the problem, proving existence and stability of the solution and describing some asymptotical behaviours.

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Sommario Si studia un problema unidimensionale a frontiera libera, che deriva da un modello per l'assorbimento di solventi nei polimeri vetrosi. Si suppone che il problema abbia simmetria piana e che il polimero sia non omogeneo nella direzione di avanzamento del fronte. Si prova l'esistenza e la stabilità della soluzione ed inoltre si descrive il comportamento asintotico.

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This work is partially supported by U.S.A.E.R.O. Contract DAJA 45-83-C-0053, and by the Italian MPI 40% Project Equazioni di evoluzione e applicazioni.     

Uniqueness theorems for the entropy in any differential body of complexity one

By using in an essential way a certain condition of mutual physical equivalence between admissible response functions for the heat flux, in a previous paper uniqueness theorems were proved for the response functions of the internal energy and of the equilibrium stress, in connection with differential bodies of complexity 1. It was then pointed out that the equality expressing the vanishing of the static internal dissipation uniquely determines the rate of entropy variation in terms of the rate of the internal energy variation and of the equilibrium stress. This paper shows, in a threefold manner, that the last result also holds if one does not impose the condition of physical equivalence. The first proof uses the assumption that the response functions are Euclidean invariant. The second proof uses (i) the weaker assumption of Galilean invariance and (ii) a greater degree of smoothness of the response function for the internal energy. Both of these proofs use an axiom postulating the possibility of putting the body in contact with a vacuum. The third proof of the uniqueness property for the entropy is independent of the isolation axiom and uses the assumptions of the second proof. Whereas any of the first two proofs is a consequence of the uniqueness theorem for the internal energy-proved here by using the afore-mentioned axiom-the third proof does not depend on this theorem. Rather, disregarding the above isolation axiom, it implies that uniqueness of the entropy is compatible with non-uniqueness of both the stress and internal energy.

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Sommario In un precedente articolo, utilizzando in maniera essenziale una certa condizione di mutua equivalenza fisica tra ammissibili funzioni costitutive per il flusso di calore, si dimostrano teoremi di unicità per le funzioni costitutive di energia interna e di stress statico in corpi di tipo differenziale e complessità 1. Inoltre si osserva che, di conseguenza, la uguaglianza esprimente l'annullarsi della dissipazione interna statica permette di determinare univocamente la velocità di variazione dell'entropia in termini della velocità di variazione dell'energia interna e dello stress statico. Nel presente lavoro si dimostra, in triplice maniera, che l'ultimo risultato vale anche se non si impone la accennata condizione di equivalenza fisica. Nella prima dimostrazione si usa l'ipotesi di invarianza Euclidea per le funzioni costitutive. Nella seconda si usa (i) la più debole ipotesi di invarianza Galileiana e (ii) un maggiore grado di regolarità per la funzione costitutiva dell'energia interna. In entrambe le dimostrazioni si usa un assioma che postula la possibilità di porre in contatto il corpo con il vuoto. La terza dimostrazione della proprietà di unicità per l'entropia, che usa le medesime ipotesi della seconda, è indipendente da tale assioma. Mentre nelle prime due dimostrazioni si richiama il teorema il teorema di unicità per l'energia interna-qui dimostrato con l'assioma di isolamento-la terza dimostrazione non dipende da tale teorema. Invece, se non si assume l'assioma di isolamento con il vuoto, l'unicità dell'entropia risulta compatibile con certe non-unicità per stress ed energia interna.

     

Dynamics and wave propagation in dilatant granular materials

The equations of motion for dilatant granular material are obtained from a Hamiltonian variational principle of local type in the conservative case. The propagation of nonlinear waves in a region with uniform state is studied by means of an asymptotic approach that has already appeared useful in an investigation on wave propagation in bubbly liquids and in fluid mixtures. When the grains are assumed to be incompressible, it is shown that the material behaves as a continuum with latent microstructure.

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Sommario Si ricavano le equazioni di moto per i materiali granulari dilatanti da un principio variazionale Hamiltoniano di tipo locale nel caso conservativo. Si studia la propagazione delle onde non lineari in una regione di stato costante per mezzo di un approccio asintotico già rivelatosi utile nello studio della propagazione di onde nei liquidi con bolle e nelle miscele di fluidi. Quando si supponga che i granuli siano incomprimibili, si dimostra che il materiale si comporta come un continuo con microstruttura latente.

     

Rigorous constructive solution to monodimensional poiseuille and thermal creep flows

Summary A rigorous constructive method is discussed for solving the linear integral equations which govern either the Poiseuille flow and the thermal creep flow of a rarefied gas between parallel plates. In both cases numerical results are presented for the nondimensionalized mass flow rate, and for certain quantities which are closely related to the mass and slip velocities. Critical comparison with previous results is made wherever possible.

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Sommario Nella nota viene discusso un rigoroso metodo costruttivo per risolvere le equazioni integrali lineari che regolano sia il moto di Poiseuille che il moto di scorrimento termico di un gas rarefatto fra due piastre piane parallele. Per ambedue le situazioni fisiche vengono presentati vari risultati numerici connessi con la portata e con le velocità. Dove possibile, i risultati ottenuti sono confrontati con quelli disponibili nella letteratura.

     

Wave scattering from biased elastic dielectrics

The scattering of harmonic transverse waves is studied in a layered solid half-space which is prestressed and electrically biased. Electromechanic modes propagating normally to the stratification planes are analyzed using a wave-splitting method and a sufficient condition is derived for the existence of the solution. The invariant imbedding technique is employed to obtain a differential equation for the reflectivity matrix. This equation is exploited to formulate the inverse problem whose solution is presented in an iterative form. A useful result is then established about the convergence of the series so determined.

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Sommario Si studia la propagazione di onde armoniche trasversali in un semispazio occupato da un dielettrico elastico stratificato, soggetto a prestress ed elettricamente polarizzato. Si analizzano in particolare i modi elettromeccanici che si propagano normalmente ai piani di stratificazione facendo uso del metodo di wave-splitting e ottenendo una condizione sufficiente per l'esistenza della soluzione. Si riformula poi il problema mediante una equazione di Riccati per la matrice dei coefficienti di riflessione al fine di presentare una soluzione iterativa per il problema inverso. Si dimostra un utile risultato sulla convergenza di questa soluzione.

     

A highly redundant coordinate formulation for constrained rigid bodies

The paper presents a formulation for the dynamic analysis of rigid multibodies. An introductory part carries out the kinematic analysis and the definition of the highly redundant differential framework along with the choice of unknowns and equations. From the differential formulation the variational principles, either in Lagrangian or Hamiltonian form, are developed. The Hamiltonian formulation is then used to develop the numerical approximation by applying the finite element method in time. The application of the method in its multifield form is discussed and a solution algorithm is proposed. Some examples are finally presented in order to verify the effectiveness of the formulation.

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Sommario Il lavoro presenta una formulazione per lo studio della dinamica dei sistemi multicorpo rigidi. Nella parte introduttiva viene svolta l'analisi cinematica e si definisce il quadro differenziale con la scelta delle incognite e delle equazioni. Dalla formulazione differenziale vengono poi sviluppati dei principi variazionali nella forma Lagrangiana ed Hamiltoniana. La formulazione Hamiltoniana é quindi utilizzata per sviluppare l'approssimazione numerica col metodo degli elementi finiti di tempo. Viene discussa l'applicazione del metodo nella forma multi-campo e viene proposto un algoritmo di soluzione. Da ultimo, vengono discussi alcuni esempi per verificare la correttezza della formulazione.

     

Direct numerical solution of the Boltzmann equation for a relaxation problem of a binary mixture of hard sphere gases

Summary The aim of the paper is the presentation of results obtained by the direct numerical solution of the Boltzmann equation in the case of a binary mixture of hard sphere gases. The system of two coupled Boltzmann equations is solved by a techique combining finite differences with the Monte Carlo evaluation of the Boltzmann collision integrals. It is shown how the technique proposed by Aristov and Tcheremissine for a single gas can be extended to a mixture. The resulting algorithm can be very well vectorized and the results of a few test calculations on the vector computer CRAY-XMP 48 are presented.

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Sommario Il presente articolo si propone la descrizione di alcuni risultati relativi ai fenomeni di rilassamento omogeneo in una miscela binaria di sfere rigide. Il sistema di equazioni di Boltzmann che regge l'evoluzione temporale delle funzioni di distribuzione dei gas componenti viene risolto numericamente con un metodo che combina l'uso di differenze finite con la valutazione dell'integrale di collisione mediante un inetodo di Monte Carlo. La tecnica presentata costituisce per alcuni aspetti la generalizzazione di quella proposta da Aristov e Tcheremissine per un singolo gas. Si evidenzia inoltre come l'algoritmo sia di per sè in massima parte vettorizzabile e si presentano alcuni risultati ottenuti sull'elaboratore vettoriale CRAY-XMP48.

     

Stokes flow with injection in a plane duct

Summary In this paper flow at low Reynolds number is studied in a plane duct with injection along its boundaries, by determining the Green function for the Stokes equation in the strip: in this way it is possible to calculate the fluid-dynamic field for any distribution of injection. To obtain the bi-harmonic function that governs this problem we write the stream function in terms of two harmonic functions f and g, represent these functions using the relevant Green function and write the integral equations that determine f and g. The solution is obtained by means of the Fourier transform technique. An asymptotic representation of this solution is also given.

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Sommario In questo lavoro si studia il campo fluidodinamico determinato) dall'apporto di fluido in un condotto in cui scorre un fluido a piccoli numeri di Reynolds, determinando la funzione di Green per l'equazione di Stokes nella striscia: in tal modo si può calcolare il campo fluidodinamico per una qualsiasi distribuzione di iniezione. Per determinare la funzione biarmonica con derivata longitudinale infinita in alcuni punti della frontiera che governa questo problema, si scrive l'incognita in termini di funzioni armoniche, si utilizza la funzione di Green per rappresentare tali funzioni ausiliarie e si scrivono le equazioni integrali che le determinano. La soluzione di queste equazioni integrali viene ottenuta mediante la trasformata di Fourier. I risultati vengono presentati sia in forma numerica che con serie asintotiche.

     

On the integrability conditions of the equations for Einsteinian gravitational fields

Summary Within the terms of the Einsteinian General Theory of Relativity is studied the behaviour of a material particle with a mass that is not too great in comparison with the total mass of the bodies which generate the field to which the particle itself is subject. The integration of the gravitational equations implies that the corpuscle is rigidly connected with a particular reference system of Fermi type, which is coordinated with the time line of the corpuscle itself.

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Sommario Si studia il comportamento, nella teoria einsteiniana della Relatività generale, di una particella materiale fornita di massa non troppo elevata rispetto alla massa complessiva dei corpi che generano il campo a cui è soggetta la particella stessa. L'integrazione delle equazioni gravitazionali implica che il corpuscolo sia solidale con un particolare sistema di riferimento di Fermi, coordinato alla linea oraria del corpuscolo stesso.