Extensions of commutative rings in which trees of prime ideals contract to trees

Résumé  Une extensionA⊂B des anneaux (commutatifs) satisfait à la propriété si tout arbre dans Spec(B) couvre un arbre dans Spec(A). Il est possible qu'une extension entière d'un anneau Noethérien ne satisfait pas à . SiA⊂B soit unei-extension satisfaisante à soit “going-up” soit “going-down”, alorsA⊂B satisfait à . Cependant, une extension d'anneaux satisfaisante à “going-up”, “going-down”, et peut être nonunibranche dans hauteur >1. Un anneau intègreA a le spectre d'un arbre si et seulement siA⊂B satisfait àP pour tout anneau intègreB contenantA (resp., suranneau de BézoutB deA). De plus, si un anneau intègreA n'ait pas de spectre d'un arbre mais soit localement de dimension finie, (par exemple, tout anneau intègre Noethérien de dimension au moins 2), alors il existe un suranneau de BézoutB deA et un arbre saturé dans Spec(B) de sorte que card=4 et l'image de à l'égard de la flèche canonique Spec(B)→Spec(A) est un ensemble saturé tel que card =3 mais n'est pas d'arbre. On donne également des caractérisations associées des classes desi-domaines et des ai-domaines.      

Lifting chains of prime ideals to paravaluation rings

Résumé  SoitR ⊂T une extension des anneaux commutatifs et soit {P _α :α ∈I} une cha?ne croissante des idéaux premiers deR (I étant un ensemble totalement ordonné, peut-être infini). Alors il existe un anneau de paravaluationV deT et une cha?ne {Q _α} des idéaux premiers deV de sorte queR ⊂V etQ _α ∩R =P _α pour toutα ∈I. Tout d’abord, on établit le cas spécial dans lequelT est un corps; dans ce cas, on trouve en effet un tel anneau de valuationV deT. Ensuite, l’assertion ci-dessus pour le cas général découle comme conséquence. Dans le cas général, on peut aussi remplacer le mot “paravaluation” avec le mot “valuation” siR est un anneau de Marot etT est son anneau total de fractions.      

On chain morphisms of commutative rings

Résumé  On dit qu’un homomorphismef :A →B d’anneaux commutatifs est un morphisme de cha?ne (resp., den-cha?ne pour un entiern ≥ 1) si toute cha?ne d’idéaux premiers (resp., d’au plusn idéaux premiers) deA se relève en une cha?ne d’idéaux premiers deB. Sif est un morphisme den-cha?ne, alorsf n’est pas forcément un morphisme de (n + 1)-cha?ne, même siA etB sont des anneaux intègres, doncf n’est pas un morphisme de cha?ne. Sif est un morphisme den-cha?ne pour toutn, alorsf est un morphisme de cha?ne. Un morphisme de cha?ne n’est pas forcément un morphisme de cha?ne universel. Pour tout entiern ≥ 2,f est universellement un morphisme den-cha?ne si et seulement sif est universellement un morphisme de cha?ne. Un morphisme qui est universellement de cha?ne et universellement incomparable n’est pas nécessairement entier, même siA etB sont des anneaux intègres de dimension 1 (au sens de Krull).      

Going-down pairs of commutative rings

Résumé  D'après D. E. Dobbs, Houston J. Math. 23 (1997), 1–11, nous disons que l'anneau (commutatif)A est un anneau-“going-down” siA/P est un domaine-“going-down” pour chaque idéal premier deA. Etant donné une extension,R⊆T, nous disons que (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” (respectivement, une paire “going-down”) siS est un anneau-“going-down” pour chaque anneau tels queR⊆S⊆T (resp., si “going-down” est satisfait par chaque extension d'anneauxA⊆B tels queR⊆A⊆B⊆T). On montre que siR est un anneau de la dimension 0 (au sens de Krull), alors (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” si et seulement sitr.deg. _R/(P∩R) T/P≤1 pour chaque idéal premier minimalP deT. Des résultats partiels sont obtenus quandR n'est pas de dimension 0. En outre, si (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” tel queT ait un seul idéal premier minimal, alors (R, T) est une paire “going-down”. Des résultats dans l'esprit ci-dessus sont également obtenus pour quelques autres types de paires.

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This paper is taken from the author's doctoral dissertation of May 2000, written under the direction of Professor David E. Dobbs of the University of Tennessee, Knoxville.     

Sur les anneaux hereditaires ou semi-hereditaires

Les anneaux considérés sont unitaires ; on entend par idéal d'un anneaú A un idéal bilatère de cet anneau. On utilisera les notations l et r ou, plus précisement l _A et r_A,pour désigner les annulateurs à gauche au à draite pris dans l'anneau A.

On dira qu’un A-module à gauche, au à draite, M est semihéréditaire (resp. héréditaire) si tout sous-A-module de type fini (resp. quelconque) de M est projectif.     

Dimension de Krull,Nullstellensätze et évaluation dynamique

Résumé. Nous démontrons un Nullstellensatz qui établit une équivalence entre l'existence d'une identité algébrique d'un certain type, d'une part, et l'impossibilité de trouver une suite croissante de variétés irréductibles répondant à certaines contraintes d'autre part. De ce point de vue le Nullstellensatz usuel correspond au cas des variétés réduites à un point. Nous établissons aussi un Nullstellensatz formel du même type, en relation avec les suites croissantes d'idéaux premiers. Un cas particulier important est donné par la notion de suite pseudo régulière, plus générale que la notion de suite régulière. Nous obtenons de cette manière une nouvelle caractérisation de la dimension de Krull d'un anneau : un anneau a une dimension de Krull si et seulement si il existe une suite pseudo régulière de longueur dans l'anneau. Dans les cas où ces résultats peuvent avoir une signification constructive précise, nos preuves y aboutissent constructivement. Nous pensons avoir donné ainsi quelques éléments en vue d'une interprétation constructive de la théorie de la dimension de Krull des anneaux commutatifs. Notre méthode utilise la notion de structure algébrique dynamique introduite dans des articles précédents. Received: 4 October 1999; in final form: 11 October 2000 / Published online: 25 June 2001     

A characterization of going-down-ring pairs of commutative rings

SoientA ⊆B des anneaux (commutaifs et unitaires). On dit que (A,B) est une paire d’anneaux de going-down siD est un anneau de going-down pour tout anneauD tel queA ⊆D ⊆B. On preuve que (A,B) est une paire d’anneaux de going-down si et seulement siA[b ₁,b ₂] est un anneau de going-down pour toutb ₁,b ₂ εB.     

A field-theoretic invariant for domains

SoientR ?T des anneaux intègres. D’après Dobbs-Mullins, on pose Λ(T/R) ? sup{λ(k _Q (T)/k _Q∩R (R)) |Q ∈ Spec(T)} où, pour des corpsK?L,λ(L/K) est la longueur maximale d’une chaîne de corps contenus entreK etL. On introduitσ(R):=sup{Λ(T/R)|T est un suranneau deR\. On détermineσ(R) siR′, la clôture intégrale deR, est un anneau de Prüfer et également siR est un anneau de pseudo-valuation. On considère le cas oùσ(R)=1, en particulier siR′ est une extension minimale deR. Plusieurs calculs sont facilités par un résultat sur les carrés cartésiens, et il y a des exemples divers.     

Anneaux noethériens de hilbert

Résumé Soit D un anneau intègre noethérien. On etudie le radical hilbertien de D (ensemble des èlèménts f tels que D_f est un anneau de Hilbert) et on donne des conditions pour que D tout un anneau de Hilbert, en relation avec son radical dimensionnel. Enfin, on caracterise les anneaux de Hilbert par diverses conditions de chaine. On montre en particulier que D est un anneau de Hilbert si et seulement si, pour tout ideal premier 𝔅 de D[X], de trace 𝔭 dans D, la cohauteur de p dans D est majoree par celle de 𝔅 dans D[X].     

Germes d’ensembles analytiques dans une hypersurface algébrique

Résumé Dans ce papier, nous nous intéressons au problème suivant : soit a _N une suite de points d’une hypersurface algèbrique convergeant vers a∈H ; supposons que pour tout N, il existe un germe de disque holomorphe en a _N , γ _N , contenu dans H. Alors, d’après des résultats classiques (voir [5] et [6]) le point a n’est pas un point de 1-type fini et donc, il existe un germe de disque holomorphe en a vivant dans H (voir [5]). Dans ce qui suit, nous proposons une méthode effective pour reconstruire, à partir de la suite a _N et des γ _N , un germe d’ensemble analytique en a contenu dans H.     

Prix Bolyai. avec un rapport par Henri Poincaré

Conclusions Après cet exposé, un long commentaire serait inutile. On voit quelle a été la variété des recherches deM. Hilbert, l'importance des problèmes auxquelles il s'est attaqué. Nous signalerons l'élégance et la simplicité des méthodes, la clarté de l'exposition, le souci de l'absolue riguer. En cherchant à être parfaitement rigoureux, on risque parfois d'être long, et ce n'est pas là acheter trop cher une correction sans laquelle les mathématiques ne seraient rien. MaisM. Hilbert a su éviter ce que ces longueurs auraient pu avoir d'un peu pénible pour ses lecteurs, en ne leur laissant jamais perdre de vue le fil conducteur qui lui a servi à s'orienter. On voit toujours aisément par quel encha?nement d'idées il a été amené à se poser un problème et à en trouver la solution. On sent que, plus analyste que géomètre au sensordinaire du mot, il a néanmoins aper?u l'ensemble de son travail d'un coup d'œil, avant d'en distinguer les détails, et il sait faire profiter le lecteur de cette vue d'ensemble. M. Hilbert a exercé une influence considérable sur les progrès récents des sciences mathématiques, non seulement par ses travaux personnels, mais par son enseignement, par les conseils qu'il donait à ses élèves et qui leur permettaient de contribuer à leur tour à ce développement de nos connaissances en se servant des méthodes créées par leur ma?tre. Il n'est pas besion, ce semble, d'en dire davantage pour justifier le choix de la Commission qui a été unanime à attribuer àM. Hilbert le prix Bolyai pour la période 1905–1909.     

Sur l'intégration des systèmes différentiels extérieurs

Résumé L'étude des intégrales des systèmes différentiels extérieurs en involution a été commencée parE. Cartan [3]. Ses mémoires sur ce sujet s'occupent, il est vrai, seulement des systèmes de Pfaff, mais ils contiennent tout ce qui est essentiel pour le cas général. C'est àE. Kahler qu'on doit l'extension des résultats de Cartan aux systèmes de degré queconque. Depuis lors, d'autres auteurs se sont occupés du même probleme. En particulier, on doit d'importants résultats àSchouten et àVan der Kulk [12]. Tous ce auteurs étudié surtout les éléments plans intégraux réguliers et les variétés intégrales régulières. Or, il se trouve que, assez souvent, il est intéressant d'étudier aussi les variétés intégrales singulières. Pour prendre un exemple banal, si on considère un système d'équations du I^er ordre à une fonction inconnue dek variables indépendantes à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Sur un problème asymptotique relatif au système de deux équations différentielles ordinaires

Résumé Dans l'article présent nous indiquons une condition nécessaire et suffisante de caractère topologique pour qu'un ensemble W contenu dans un domaine plan et borné D soit engendré par la famille de toutes les intégrales d'un système autonome convenable de la forme(2,3) qui sont entièrement contenues dans D. Nous nous bornons au cas des systèmes(2,3) dont les intégrales traversent la frontière F, suffisamment simple, de D en passant de l'intérieur à l'extérieur de D. La méthode que nous appliquons se sert de la notion du ? rétracte asymptotique ?. Elle est, au fond, celle de notre note antérieure (cf. Remarque 8). Ce résultat se rapporte au phénomène asymptotique relatif aux équations différentielles ordinaires, phénomène qui, sous ses nombreux et importants aspects, a été magistralement traité par le Professeur Giovanni Sansone. Je suis d'autant plus heureux que cette article fait partie du volume qui lui est dédié. à Giovanni Sansone pour son 70^ème anniversaire.     

Les extensions quadratiques du corps des rationnels,ou du corps de Causs,ou du corps des racines cubiques de l'unité de calibres 1

Résumé Nous transposons certains des résultats sur le problème du nombre de classes 1 établis dans le cas des extensions quadratiques réelles de ℚ au cas des extensions quadratiques de ℚ(i) et ℚ(j): nous caractérisons (en terme de contrainte sur leurs discriminants relatifs) les extensions quadratiques de ℚ(i) et ℚ(j) dont la classe principale est de calibre 1, puis déterminons, sous l'assomption d'une forme convenable de l'hypothèse de Riemann, ces extensions quadratiques de calibre 1, i.e. ces extensions à classe principale de calibre 1 qui sont principales. Le cas des extensions quadratiques de ℚ(j) est particulièrement satisfaisant: après avoir amendé dans ce cadre les valeurs des bornes de Minkowski jusqu'à ce jour connues, nous disposerons d'une caractérisation de principalité des extensions quadratiques de ℚ(j) qui se spécialisera en une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle extension soit de calibre 1. La motivation de cette détermination repose sur le résultat de R Paysant-Le Roux suivant lequel il n'existe qu'un nombre fini de corps de nombres de degré et de calibre donnés. Notons que nos résultats s'étendent sans difficulté au cas des extensions quadratiques d'une des neuf corps quadratiques imaginaires principaux, et ce d'autant plus aisément que les deux cas que nous traitons ici sont ceux qui sont source du plus de difficulté du fait qu'ils correspondent aux corps quadratiques imaginaires pour lesquels le groupe des racines de l'unité n'est pas réduit à {−1,+1}.

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On the expected number of generators of a submodule of a free module over a finite principal ideal ring

Résumé  On généralise un résultat de Dobbs-Lancaster sur les espaces vectorielles au cadre des modules sur un anneau principal finiR. SoitV une module libre de type fini. On trouve une formule explicite et des valeurs dans la limite du nombre anticipé de générateurs d'un sousmodule arbitraire deV. De plus, on calcule ces valeurs anticipés quand tout sousmodule a un poids naturel (par exemple, quant a sa cardinalité). Enfin, on trouve une formule explicite et des valeurs dans la limite du rang anticipé du sousmodule libre le plus grand contenu dan un sousmodule arbitraire deV.      

Determinazione del massimo numero di eccezioni allan-vocità dell'inversa di una trasformazione piana continua

Résumé Si, par une transformation continue d'un cercleC, la circonférence en est amenée à tournern fois autour d'une régionA' du plan-image, celle-ci est recouverte (au moins)n fois par l'image du cercle. Néanmoins, il se peut qu'il existent dansA' des points ?exceptionnels? c'est-à-dire qui sont image de moins quen points deC. On résout ici complètement le problème de savoir quel est le maximum de points exceptionnels dans une régionA': c'estn—1. Le théorème qu'on démontre donne même un résultat plus précis, qui n'est pas susceptible d'amélioration.      

Quelques théorèmes sur le moment cinétique d'un corps solide

Résumé Les équations de mouvement rotationel d'un corps solide relatif à un point Q (fixe dans l'espace ou centre de gravité du corps) admettent, on le sait, des intégrales premières immédiattes dans les deux cas suivantes: 1. Un axe de direction fixe passant par Q est sans moment des forces. 2. Le même pour un axe de symétrie dans le corps. On démontre que ces deux axes spéciaux appartiennent à une classe renfrenant une infinité d'autres qui dans les mêmes conditions rendent le même service. à M. Eurico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Les axiomes de la mecauique du point materiel

Résumé L'examen préalable des concepts mathématiques indispensables aux énoncés des Axiomes de la Mécanique fait partie integrante de ces énoncés. Le concepts qui interviennent ce sont d'abord ceux concernant certains espaces ponctuels ou vectoriels euclidiens et les produits cartésiens qui en sont constitués, en suite ceux rélatifs aux formes linéaires ou bilinéaires attachées à ces espaces. Après avoir définit la série d'espaces et de formes qui sont nécessaires pour constituer la Mécanique inertiale du point, nous devons passer à la Mécanique du point dans un champ. Pour y parvenir nous devons dotér d'abord l'espace R de la metrique qui s'impose et en constituer ainsi l'univers deEinstein-Minkowski. Avec R comme base, nous formons un espace fibré qui est le siège du champ de vecteurs deMaxwell et ensuite un second espace, fibré par un espace de tenseurs, qui nous donne les champs non holonomes des mésons et d'autres champs dont l'interprétation reste encore à être donnée. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

关于函数正规族论中蒙德耳-密朗达圈属

<正> 于1933年前后,蒙德耳氏数度揭露他久已感觉是正确的且曾被攻研而未经证明的一个正规定则.在最简单的形状下,命题可述如:定理Ⅰ.凡在单位贺内全纯的函数族,若每函数不取值0且其任意一级 K 的纪数不