旋转体侧面积公式的另一推导

本文给出了旋转体侧面积公式的另一推导,该结论可用来进一步说明用圆台微元得到的旋转体侧面积计算公式的正确性．此文可作为工科学生的一个较好的综合习题。     

旋转体体积计算中的微元法思想应用

通过讨论几类不同数学模型下旋转体体积的计算方法,阐述了"微元法"思想在其中的重要应用价值.特别地,还考虑到两类旋转轴穿过旋转区域内部的情况,并给出了相应的体积计算方法.此外,在利用定积分和二重积分计算外,基于"微元法"给出了一类旋转体体积的曲线积分计算方法,并说明了其一般性.     

微元法在一些积分问题中的应用

本文介绍微元法在求旋转体的体积和面积以及高维积分降维等问题中的应用.     

旋转体体积的计算方法

利用坐标平移及旋转变换法或微元法计算光滑曲线绕任意直线旋转所得旋转体的体积.     

求旋转体体积的一个公式

用二重积分微元法导出一般旋转体体积求法公式,并给出其应用实例。     

旋转体的体积与侧面积计算教学中的一个问题

旋转体的体积与侧面积计算教学中的一个问题王燕生田载今（首都师范大学１０００３７）（人民教育出版社１００００９）旋转体的体积和侧面积计算，是定积分的重要应用之一，在高等数学的课程中，这是必学内容；新颁《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》，也在...     

关于微元法中的微元

针对微元法中微元的能否合理选取，本文给出了判断微元的二个充分条件。     

用“柱壳法”求旋转体体积

对旋转体的体积，通常是取一个扁圆柱体的体积为体积微元，对于有些旋转体用这种方法计算有时比较困难，而采用“柱壳法”却较方便。定理设平面图形（如图1）绕y轴旋转所成旋转体的体积为证明在[a，b]上取小区间[x，x＋dx]以f（x）为高，dx为宽的矩形绕y轴旋转所得的圆柱形薄壳（也称柱壳）的体积的近似值2一八X）dX即为体积微元dV：推论平面图形0＜a＜x＜b，人（x）＜y＜人（x）绕y轴旋转所成旋转体的体积V为例1求y二sinx（0＜x＜。）与x轴所围图形绕y轴旋转所得立体的体积。解选X为积分变量，XE［o，d。在k，d上取小区间》，X十dX〕，…     

八、多面体和旋转体

知识要点］本章共有棱柱、棱锥、棱台、多面体、圆柱、圆锥、圆台、球、旋转体、体积的概念与体积公理．棱柱、圆柱的体积,棱锥、圆锥的体积,棱台、圆台的体积,球的体积共１３个高考要求掌握的知识点．其重点之一是多面体与旋转体的概念与性质,这是历年高考试题的一个...     

利用对称法求旋转体的表面积

对称是研究数学问题常用的思想方法 ,运用对称思想方法来研究旋转体的表面积问题 ,常可获得一些出人意料的、简捷明快的解法 .但有些问题的对称性并不那么直观 ,需要人为地添加构造 .例 1　如图 1 ,边长为 a的正六边形ABCDEF,以一边 AB所在的直线 l为轴旋转 ,求所得旋转体的表面积 .分析　如果按常规 ,需求两个圆锥侧面积、两个圆台侧面积及一个圆柱侧面积的和 ,过于复杂 .利用对称性 ,可以把圆台与圆锥的侧面组合成一个大圆锥的侧面 .再利用对称性 ,两个大圆锥的侧面积相等 ,其和是一个大圆锥侧面积的两倍 .这样 ,大大简化了计算 ,提高…     

旋转体求积的一个简单公式

旋转体求积的一个简单公式叶家旺（福建省建瓯一中３５３１００）高中《立体几何》甲种本中，对于多边形绕同一平面内的一条直线旋转一周所得旋转体的体积，一般采用割、补法，将它转化为若干个圆柱、圆锥和圆台的体积求解．没有给出一般性的求积公式．本文试证一个求旋转...     

组合旋转体的面积与体积

组合旋转体的面积与体积安凤吉（宁波市北仑中学３１５８００）我们把圆柱、圆锥、圆台、球和球缺称为基本旋转体，由线段、圆弧连接而成的封闭曲线，绕它所在的平面内一条直线旋转而成的曲面所围成的几何体，一般可以看作是由部分基本旋转体组合而成的，我们称之为组合旋...     

关于定积分微元法的一点补充

通过一个实例提出问题,进而给出微元法中推导微元及检验微元表达式的简便方法.     

多面体 旋转体

本章内容包括多面体及旋转体的概念、性质、展开图,元素问的位置关系、形状、大小、面积与体积的计算．直线与平面的内容在本章有广泛的应用．     

探索最佳解题途径,启发创造性思维

高级中学课本《立体几何》中有一道复习参考题如下(见甲种本P129第23题)。边长为a的正六边形,以它的一边为轴旋转,求旋转体的全面积和体积。这一习题集中考虑了三种特殊旋转体的体积和侧面积的求解,堪称一道好题(见图1)。为此,我就这道习题上了一堂习题课,用讨论的方式,让学生放开思路,积极地创造性地去思考,取得比较满意的效果。笔者不惴简陋,介绍如下。首先,让学生自己分析题意,再作解答。大多数学生由于认真地分析了这一几何体的特征,作出了如下解答。解法一图2是旋转体的轴截面图,这个旋转体可以看作是由两个相同的圆台挖去两个相同的圆锥然后和一个圆柱组合而成的。由己知     

一类旋转体容球的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性，归纳如下共同性质：球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比．     

球内接、外切圆台的侧面积与体积最值探讨

我们知道,球内接圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最大值,而球外切圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最小值,那么,球内接、外切圆台的侧面积与体积是否存在最大或最小值呢?本文拟通过对角参数的适当选取,解决这一问题。问题1 设球的半径为R,求球内接圆台的侧面积与体积的最大值。解如图1,等腰梯形ABCD为球内接圆台的轴截面,EF过球心O且与BC垂直,设∠EOD=α,∠FOC=β,圆台的上、下底半径、高及母线长则分别为     

内接（外切）旋转体的几个结论

文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1　在定圆锥 (底面半径为ｒ ,高为ｈ)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即Ｖ最大圆柱Ｖ锥 =Ｓ最大圆柱底Ｓ锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23ｒ ,高为 13ｈ时取等号 .证　设圆锥的底面半径为ｒ ,高为ｈ ,圆柱底面半径为ｘ ,体积为Ｖ ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为ｒ -ｘｒ ｈ ,故Ｖ =πｘ2 ·ｒ -ｘｒ ｈ=πｈｒｘ2 (ｒ-ｘ)=πｈ2ｒｘ2 ( 2ｒ - 2ｘ)≤πｈ2ｒｘ +ｘ + ( 2ｒ - 2ｘ)33=42…     

用公式法求点到平面的距离

文[1]将阿基米德的“圆柱容球”定理推广到“圆台容球”和“圆锥容球”，归纳出如下共同性质： 球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比． 这一结论将圆柱容球的性质推广到了常见“旋转体容球”的情况，不仅保持了圆柱容球的优美性质，也体现了数学中由特殊到一般的思想．     

定积分应用中一个值得注意的问题

一些通用教材在介绍由参数方程表示的封闭曲线围成的区域面积计算时，依据的公式往往是只适用于广义曲边梯形，并且y=f(x)是x的单值函数的情形，从而容易出现错误，在用极坐标方程计算旋转体体积时也有类似的情形。