巧用向量证不等式

向量作为一种重要的数学工具,在处理有关几何、不等式等问题中能起到化繁为简、化难为易的效果.特别是对含有乘积之和或乘方之和的不等式,根据向量性质可给出简捷明快的证法. 例1 求证(a21十a22)(b21+b22) ≥(a1b1+a2b2)2.     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)当且仅当且bi=λai(i=1,2,…,n)时,(1)式取等号.这就是著名的柯西不等式,它还有如下等价形式:设ai,bi>0(i=1,2,…,n),则a12b1 ab222 … ban2n>(ab11 ab22 …… abnn)2(2)当且仅当且ab11     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai&;#183;bi∈R（i=1,2,…,n）则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2.     

向量回路法简解竞赛题

例1(第23届希望杯全国数学邀请赛培训题高一41题)△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6,若点O是△ABC的外心,则→AO.→AC的值是.分析标准解答给出的解法是应用余弦定理、正弦定理和向量数量积的定义,繁琐冗长.事实上,若注意到题设条件AC=6及向量回路A→M→O,便有如下简解.简解取AC的中点M,则必有MO⊥AC,     

巧用面积法 妙解竞赛题

面积法就是以面积为出发点,运用面积的基本性质和等积变换等解决那些不直接涉及面积问题的解题方法.它的特点是思路简单、清晰,运算简捷、优美,体现着数学思维的灵活性、敏捷性. 例 1(1992年山东省初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠C=90°,已知CD是∠C     

向量法求轨迹两例

本文选取两道关于求轨迹的例题,用向量法进行处理,以加深同学们对向量法的熟悉和理解.     

利用向量法巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容 .由于向量具有几何和代数的双重属性 ,以向量为工具 ,改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系 ,使几何问题彻底代数化了 ,使数形结合思想体现得更深刻、更完善 .本文试图以向量为工具 ,来探究一些竞赛试题的新解法 .1　 代数试题例 1　 ( 2 0 0 3年全国联赛试题 )设32 ≤ x≤ 5,证明不等式2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x <2 1 9.证明　设　 v=( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,u=( x + 1 ,x + 1 ,2 x - 3,1 5- 3x ) ,由 u.v≤ | u| .| v| ,得2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x≤( x + 1 ) + ( x + 1 ) + ( 2…     

巧用向量的一个性质简解一类数学竞赛题

我们知道,根据向量相等的定义及向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质：这个性质看起来很简单,却有着十分广泛的用途．可利用它来解决一类数学竞赛题,并且解答过程简洁、明了、快捷,给人们耳目一新的感觉．现采撷几道赛题说明如下：     

向量法求最值两例

例1若a十b 。~1，求杯了干了 杯歹干寻- 丫丁耳几了的最小值. (1998年河南省高中数学竞赛试题) 分析由待求无理式的结构特征，构造向 量P=(a，b)，g=(b，。)，r一(。，a). 则多 奋十芬一(a b十。，b十。 动一(1，1). 而{多}一在，十歹，}翻一了占它千。，，}和一 六2 矿. 根据     

巧用公式法解一元二次方程两例

利用公式法解某些特殊的一元二次方程,若能根据方程的特点先将方程适当的恒等变形或将求根公式进行变形再利用,往往能给解题带来很大的方便,现列举两例,供参考.     

极坐标法证一竞赛题及其推广

高中数学新课程把“坐标系与参数方程”列入选修系列4,使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中．为说明其应用,笔者应用极坐标法对一道美国数学竞赛题及其推广进行研究和探索．     

巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

巧用向量法求空间距离

向量法是将几何问题代数化,用代数的方法研究和解决几何问题.由于向量法是将空间元素的位置关系转化为数量关系,将形式逻辑证明转化为数值计算,因此用向量解题有时不仅不会增加解题难度,相反在一定程度上还能降低思维强度,增强可操作性.这对于丰富学生的思维结构,消除学生由于学习立体几何而产生的心理压力,培养学生从多角度、多方面思考和探索问题的能力,无疑将有着非常重要的意义.同时这也有利于落实新课改、新理念、新教材的教学实验.     

简证竞赛题

2012年上海市高中数学竞赛（新知杯）第11题：     

用向量解竞赛题

向量是数学中的重要角色 ,是沟通数和形内在联系的有力工具 ,也有着深刻的物理背景 ,用它来解决复数问题既简捷又直观 ,不仅免去了冗长的运算 ,而且能直接抓住问题的本质 ,是数形结合不可多得的例证 ,对学生数学能力的培养及数学素养的养成都具有重要的作用 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛加试第二题 )给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .解　∵ |ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,∴ |ｚ1ｚ2|=|ｚ2ｚ3|=|ｚ3ｚ1|=|- 1|.又ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1,∴ ｚ1ｚ2 ｚ2…     

巧用配对法解竞赛题

在解一些数学问题时,通过构造一个同类结构的式子（或图形）和原式（或图形）相互作用,使问题获得解决的方法称为“配对法”．配对的方式是多种多样的,有对称配对、互余配对、和差配对或整体配对等．用配对法解题的一般程序是：     

巧用平行四边形解题两例

<正>利用或构造平行四边形不但能够得到相等的线段,而且可以得到相等的角,使问题解决起来方便快捷.例1("时代杯"2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题)如图1,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边     

巧用一个等式解竞赛题

由完全平方公式可得a2 b2 c2-ab-bc -ca=1/2[(a-b)2 (b-c)2 (c—a)2]．下面举倒说明这个等式在解初中数学竞赛题中的广泛应用．     

巧用极端化方法解竞赛题

在一些存在性和与之相关的问题中,其解答常常处于极端情形中,而极端处的条件会更多一些、强一些,因此,我们从最值处,极端处入手,以此为突破口来设计解法,往往能快捷的求出解答或找到解题思路.